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数学分析(华东师大版)上第一章1-2记号与术语一、有界集定义定义1 因此因此 S 无上界无上界.证证 故故 S 有下界有下界.取取 L=1,例例1例例2 2证证二、确界定义定义2若数集若数集 S 有上界有上界,则必有无穷多个上界则必有无穷多个上界,而其而其中最小的一个具有重要的作用中最小的一个具有重要的作用.最小的上界称为最小的上界称为上确界上确界.同样同样,若若S 有下界有下界,则最大的下界称为下则最大的下界称为下确界确界.点击上图动画演示点击上图动画演示注注2 2注注1 1 条件条件(i)说明说明 是是 的一个上界的一个上界,条件条件(ii)说明说明比比 小的数都不是小的数都不是 的上界的上界,从而从而 是最小的上是最小的上界界,即上确界是最小的上界即上确界是最小的上界.定义定义3注注2 2注注1 1 由定义由定义,下确界是最大的下界下确界是最大的下界.证证 先证先证 sup S=1.例例2 以下确界原理也可作公理以下确界原理也可作公理,不予证明不予证明.虽然我们定义了上确界虽然我们定义了上确界,但并没有证明上确界的但并没有证明上确界的存在性存在性,这是由于上界集是无限集这是由于上界集是无限集,而无限数集而无限数集不一定有最小值不一定有最小值,例如例如(0,)无最小值无最小值.三、确界存在性定理证法一证法一 设设 S 是有上界的非空集合是有上界的非空集合.为叙述方便起为叙述方便起见见,不妨设不妨设 S 含有非负数含有非负数.定理定理1.1 (确界原理确界原理)证明分以下四步证明分以下四步:1.S 是有上界的集合是有上界的集合,从而从而 S+也是有上界的集合也是有上界的集合,是正规小数表示是正规小数表示.证法二证法二 不妨设不妨设事实上事实上,例例3 3证明：证明：数集数集 A 有上确界，数集有上确界，数集 B 有下确界，有下确界，由定义由定义,上确界上确界 sup A 是最小的上界是最小的上界,因此因此,任意任意证证 由假设由假设,B 中任一数中任一数 y 都是都是 A 的上界的上界,A 中的任中的任一数一数 x 都是都是 B 的下界的下界.因此由确界原理因此由确界原理,A 有上确有上确界界,B 有下确界有下确界.例例4 4y B;sup A y.这样这样,sup A 又是又是 B 的一个下界的一个下界,而而 inf B 是最大的下界是最大的下界,因此因此 sup A inf B.证证必有必有于是于是使使从而从而且且因此因此其中其中必有必有于是于是则存在则存在使使因此因此这就证明了这就证明了四、非正常确界2.推广的确界原理推广的确界原理:非空数集必有上、下确界非空数集必有上、下确界.例例2 设数集设数集 求证求证:证证 设设于是于是因此因此反之反之,若若2.1.数集数集 S 有上界，则有上界，则 S 的所有上界组成的集合是否的所有上界组成的集合是否复习思考题3.在上确界的定义中，在上确界的定义中，能否改为能否改为或改为或改为谢谢