概率论与数理统计(1).ppt
概率论与数理统计福建师范大学福清分校数计系福建师范大学福清分校数计系1第四章 随机变量的数字特征第2讲2例1 设随机变量X具有数学期望E(X)=m,方差D(X)=s20.记X*=(X-m)/s.称X*为X的标准化变量.3例2 设随机变量X具有(0-1)分布,其分布律为PX=0=1-p,PX=1=p.求D(X).解 E(X)=0(1-p)+1p=p,E(X2)=02(1-p)+12p=p.由(2.4)式D(X)=E(X2)-E(X)2=p-p2=p(1-p).4例3 设Xp(l),求D(X).解 X的分布律为上节例6已算得E(X)=l,而E(X2)=EX(X-1)+X=EX(X-1)+E(X)=l2e-lel+l=l2+l.所以 D(X)=E(X2)-E(X)2=l.5例4 设XU(a,b),求D(X).解 X的概率密度为6例5 设随机变量X服从指数分布,其概率密度为其中q0,求E(X),D(X).解7于是 D(X)=E(X2)-E(X)2=2q 2-q 2=q 2.即有 E(X)=q,D(X)=q 2.8方差的几个重要性质(1)设C是常数,则D(C)=0.(2)设X是随机变量,C是常数,D(CX)=C2D(X).(3)对任意两个随机变量X,Y,D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2EX-E(X)Y-E(Y)(2.5)特别,若X,Y相互独立,则D(X+Y)=D(X)+D(Y)(2.6)(4)D(X)=0的充要条件是X以概率1取常数C,PX=C=1.9证(4)证略.下面证明(1),(2),(3)(1)D(C)=EC-E(C)2=0(2)D(CX)=ECX-E(CX)2=C2EX-E(X)2=C2D(X).(3)D(X+Y)=E(X+Y)-E(X+Y)2=EX-E(X)2+EY-E(Y)2+2EX-E(X)Y-E(Y)=D(X)+D(Y)+2EX-E(X)Y-E(Y).如X,Y相互独立,则X-E(X)与Y-E(Y)也相互独立,则EX-E(X)Y-E(Y)=EX-E(X)EY-E(Y)=010例6 设Xb(n,p)求E(X),D(X).解 由二项分布的定义知,随机变量X是n重伯努利试验中事件A发生的次数,且在每次试验中A发生的概率为p.引入随机变量:易知 X=X1+X2+.+Xn,(2.7)由于Xk只依赖于第k次试验,而各次试验相互独立,于是X1,X2,.,Xn相互独立.11又知Xk,k=1,2,.,n服从同一(0-1)分布:(2.7)表明以n,p为参数的二项分布变量,可分解为n个相互独立且都服从以p为参数的(0-1)分布的随机变量之和.由例2知E(Xk)=p,D(Xk)=p(1-p),k=1,2,.,n,则12又由于X1,X2,.,Xn相互独立,得即E(X)=np,D(X)=np(1-p)13例7 设XN(m,s 2),求E(X),D(X).解 先求标准正态变量的数学期望和方差,Z的概率密度为14因X=m+sZ,即得E(X)=E(m+sZ)=m,D(X)=D(m+sZ)=Em+sZ-E(m+sZ)2=E(s2Z2)=s2E(Z2)=s2D(Z)=s2.这就是说,正态分布的概率密度中的两个参数m和s分别就是数学期望和方差.15若XiN(mi,si2),i=1,2,.,n,且它们相互独立,则它们的线性组合:C1X1+C2X2+.+CnXn(C1,C2,.,Cn)是不全为0的常数)仍然服从正态分布,于是由数学期望和方差的性质知道:这是一个重要结果.16例如,若XN(1,3),YN(2,4)且X,Y相互独立,则Z=2X-3Y也服从正态分布,而E(Z)=21-32=-4,D(Z)=223+324=48.故有ZN(-4,48).17例8 设活塞的直径(以cm计)XN(22.40,0.032),气缸的直径YN(22.50,0.042),X,Y相互独立.任取一只活塞,任取一只气缸,求活塞能装入气缸的概率.解 按题意须求PXY=PX-Y0.由于X-YN(-0.10,0.0025),故有 PXY=PX-Y018定理 设随机变量X具有数学期望E(X)=m,方差D(X)=s2,则对于任意正数e,不等式成立.这一不等式称为切比雪夫不等式.f(x)m-em+emx19证 只就连续型随机变量的情况来证明,设X的概率密度为f(x),则有此不等式也可写为:20这个不等式给出了,在随机变量X的分布未知的情况下事件|X-m|e的概率的下限估计.例如,在(2.10)式中分别取e=3s,4s得到P|X-m|3s0.8889,P|X-m|4s0.9375.在书末附表1中列出了多种常用的随机变量的数学期望和方差,供读者查用.213 协方差及相关函数22定义 量EX-E(X)Y-E(Y)称为随机变量X与Y的协方差.记为Cov(X,Y),即Cov(X,Y)=EX-E(X)Y-E(Y).称为随机变量X与Y的相关系数.rXY是一个无量纲的量.由定义,知CovX,Y=CovY,X,CovX,X=D(X).23由上述定义及(2.5)式知道,对于任意两个随机变量和Y,下列等式成立:D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y).(3.1)将Cov(X,Y)的定义式展开,易得Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)(3.2)常利用这一式子计算协方差.协方差具有下述性质:(1)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),a,b是常数.(2)Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y).24考虑以X的线性函数a+bX来近似表示Y,希望 e=EY-(a+bX)2 (3.3)=E(Y2)+b2E(X2)+a2-2bE(XY)+2abE(X)-2aE(Y)最小,则将e看作是a和b的函数求最小值,不难证明当a=a0,b=b0时e取到最小值,其中将a0,b0代入(3.3)得25定理(1)|rXY|1.(2)|rXY|=1的充要条件是,存在常数a,b使PY=a+bX=1.rXY是一个可以用来表征X,Y之间线性关系线性关系紧密程度的量.当|rXY|较大时,通常说X,Y线性相关的程度较好;当|rXY|较小时,说X,Y线性相关的程度较差.当rXY=0时,称X和Y不相关.如如X,Y相互独立相互独立,则必不相关则必不相关.但X,Y不相关,却不一定相互独立.26设(X,Y)服从二维正态分布,它的概率密度为则可以证明X,Y的相关系数rXY正好就是r,即rXY=r,而且服从二维正态分布的随机变量X,Y相互独立的充分必要条件是此相关系数为0.274 矩,协方差矩阵28定义 设X和Y是随机变量,若E(Xk),k=1,2,.存在,称它为X的k阶原点矩,简称k阶矩.若EX-E(X)k,k=1,2,.存在,称它为X的k阶中心矩.若 E(XkYl),k,l=1,2,.存在,称它为X和Y的k+l阶混合矩.若 EX-E(X)kY-E(Y)l,k,l=1,2,.存在,称它为X和Y的k+l阶混合中心矩.因此,E(X)是X的一阶原点矩,D(X)是X的二阶中心矩,Cov(X,Y)是X和Y的二阶混合中心矩.29二维随机变量(X1,X2)有四个二阶中心矩(设它们都存在),分别记为c11=EX1-E(X1)2,c12=EX1-E(X1)X2-E(X2),c21=EX2-E(X2)X1-E(X1),c22=EX2-E(X2)2.将它们排成矩阵的形式:这个矩阵称为随机变量(X1,X2)的协方差矩阵.30设n维随机变量(X1,X2,.,Xn)的二阶混合中心矩 cij=Cov(Xi,Xj)=EXi-E(Xi)Xj-E(Xj),i,j=1,2,.,n都存在,则称矩阵为n维随机变量(X1,X2,.,Xn)的协方差矩阵,易知此矩阵是一个对称矩阵.31二维正态随机变量(X1,X2)的概率密度为现要将上式用矩阵形式表示,引入下面列矩阵:32(X1,X2)的协方差矩阵为它的行列式det C=s12s22(1-r2),C的逆阵为33可以证明于是(X1,X2)的概率密度可写成34引入列矩阵n维正态随机变量(X1,X2,.,Xn)的概率密度为35n维正态随机变量有四条重要性质:(1)n维正态变量(X1,X2,.,Xn)的每一个分量Xi,i=1,2,.,n都是正态变量;反之,若X1,X2,.,Xn都是正态变量,且相互独立,则(X1,X2,.,Xn)是n维正态变量.(2)n维随机变量(X1,X2,.,Xn)服从n维正态分布的充要条件是X1,X2,.,Xn的任意线性组合:l1X1+l2X2+.+lnXn服从一维正态分布(其中l1,l2,.,ln)不全为零.36(3)若(X1,X2,.,Xn)服从n维正态分布,设Y1,Y2,.,Yk是X1,X2,.,Xn的线性函数,则Y1,Y2,.,Yk也服从多维正态分布.这一性质称为正态变量的线性变换不变性.(4)设(X1,X2,.,Xn)服从n维正态分布,则X1,X2,.,Xn相互独立与X1,X2,.,Xn两两不相关是等价的.n维正态分布在随机过程和数理统计中常会遇到.37作业 第四章习题 第138页第21,22,25,28题38请提问39
