瑞利-金斯公式.ppt

能量子的再发现科学发现系列讲座背景 物体不仅能够发射电磁波，而且也可以吸收和物体不仅能够发射电磁波，而且也可以吸收和反射电磁波。实验表明，同一温度下，物体吸反射电磁波。实验表明，同一温度下，物体吸收电磁波的能力与其发射能力成正比。收电磁波的能力与其发射能力成正比。物体在某个频率范围内发射电磁波的能力越大，物体在某个频率范围内发射电磁波的能力越大，则它吸收该频率范围内电磁波的能力也越大。则它吸收该频率范围内电磁波的能力也越大。不同物体在同一频率范围内发射或吸收电磁波不同物体在同一频率范围内发射或吸收电磁波的能力不同，一般来说深色物体比浅色物体吸的能力不同，一般来说深色物体比浅色物体吸收和发射电磁波的能力强；颜色越深，吸收和收和发射电磁波的能力强；颜色越深，吸收和发射电磁波的能力越强。发射电磁波的能力越强。理想模型 我们把能够全部吸收外来一切电磁辐射的物体我们把能够全部吸收外来一切电磁辐射的物体称为绝对黑体，简称黑体称为绝对黑体，简称黑体(black body)black body)。黑体只是一种理想的模型，碳黑能够很好地吸黑体只是一种理想的模型，碳黑能够很好地吸收外来的电磁波，可以近似地看成黑体。一个收外来的电磁波，可以近似地看成黑体。一个开小孔的不透光空腔几乎可以全部吸收外来的开小孔的不透光空腔几乎可以全部吸收外来的电磁波，可作为黑体来进行观测和实验。电磁波，可作为黑体来进行观测和实验。黑体发射出来的电磁辐射称为黑体辐射，单位黑体发射出来的电磁辐射称为黑体辐射，单位时间内单位面积黑体辐射的能量时间内单位面积黑体辐射的能量(辐出度辐出度)记为记为M MB B(T)(T)，其中在频率其中在频率 附近的单位频率间隔内的附近的单位频率间隔内的能量能量(单色单色辐出度辐出度)记为记为M MB B(,T)T)。实验现象 根据实验，在不同根据实验，在不同温度下黑体辐射能温度下黑体辐射能量按频率的分布曲量按频率的分布曲线如下图所示线如下图所示 。其其中频率的单位为中频率的单位为6.256.2510106 6 MHzMHz，由由内到外的内到外的4 4条曲线对条曲线对应的温度分别是应的温度分别是900900K K、1200K1200K、1500K1500K和和18001800K K。经验公式 通过对实验数据进行分析，可以得到通过对实验数据进行分析，可以得到 1 1）斯特藩斯特藩斯特藩斯特藩-玻耳玻耳玻耳玻耳兹兹曼定律曼定律曼定律曼定律 (Stefan-Stefan-BoltzmannBoltzmann law)law)黑体的辐出度（即图黑体的辐出度（即图19-219-2中曲线与横坐标轴所围的面中曲线与横坐标轴所围的面积）与黑体的热力学温度的四次方成正比，即积）与黑体的热力学温度的四次方成正比，即 MMB B(T)=(T)=T T4 4 其中比例系数其中比例系数 =5.670=5.67010108 8 W mW m2 K2 K4 4，称为斯称为斯特藩常量特藩常量(Stefan constant)Stefan constant)。2 2 2 2）维维恩位移定律恩位移定律恩位移定律恩位移定律 (WienWien displacement law)displacement law)当黑体的热力学温度当黑体的热力学温度T T升高时，与单色辐出度升高时，与单色辐出度MMB B(,T),T)的最大值相对应的频率的最大值相对应的频率 mm以同样的比例向高频方向移以同样的比例向高频方向移动，即动，即 mm T T。理论说明 为了说明上述实验结果为了说明上述实验结果 ，人们进行了，人们进行了理论研究。理论研究。在热平衡的条件下，小孔的单色辐出度在热平衡的条件下，小孔的单色辐出度M MB B(,T),T)应该与空腔内的能量密度应该与空腔内的能量密度u(u(,T),T)成成正正比。比。维恩公式（维恩公式（WienWien formula formula）18961896年年，德德国国物物理理学学家家维维恩恩（WienWien,1864-1928,1864-1928年年）把把空空腔腔内内的的热热辐辐射射与与气气体体分分子子类类比比，得得到到了了一一个个能能量密度按频率分布的公式量密度按频率分布的公式 u(u(,T)=A,T)=A 3 3e eB B/T/T式中的常量式中的常量A A和和B B由实验确定。由实验确定。瑞利瑞利-金斯公式金斯公式 19001900年年6 6月，英国物理学家瑞利月，英国物理学家瑞利(RayleighRayleigh,1842191218421912年年)发表论文批评维恩在推导辐发表论文批评维恩在推导辐射公式时引入的假设不可靠。他利用电磁波射公式时引入的假设不可靠。他利用电磁波振动模型导出了一个新的辐射公式，后经金振动模型导出了一个新的辐射公式，后经金斯（斯（Jeans,l8771946Jeans,l8771946年）改进，合称瑞利年）改进，合称瑞利金斯公式（金斯公式（RayleighRayleigh-Jeans-Jeans Wien Wien formula formula）u(u(,T)=8,T)=82 2kT/ckT/c3 3公式中公式中c c为光速，为光速，k k为玻尔兹曼常量，没有需为玻尔兹曼常量，没有需要用实验确定的待定常量。要用实验确定的待定常量。矛盾与问题 上述两个理论公上述两个理论公式与实验数据的式与实验数据的对比如图所示，对比如图所示，绿线为维恩公式，绿线为维恩公式，红线为瑞利红线为瑞利-金斯金斯公式，而兰色为公式，而兰色为实验结果。实验结果。维恩公式在理论上不够严格，与实验不完全符合可以理解。瑞利-金斯公式是严格按照经典电磁场理论和经典统计物理理论导出的，它在高频（短波）部分与实验的矛盾不可调和，给物理学界带来很大困惑，在当时被称为是“紫外灾难”，它动摇了经典物理的基础。归纳与猜想 在得知上述理论与实验的矛盾之后，德国物理学在得知上述理论与实验的矛盾之后，德国物理学家普朗克（家普朗克（Max Planck,1858-1947Max Planck,1858-1947年）坚信实践年）坚信实践第一的观点，认为理论仅仅在符合实际时才是正第一的观点，认为理论仅仅在符合实际时才是正确的。确的。维恩公式仅在高频部分是正确的，而瑞利维恩公式仅在高频部分是正确的，而瑞利-金斯金斯公式仅在低频部分才正确，一个在全频范围内都公式仅在低频部分才正确，一个在全频范围内都正确的公式应该以瑞利正确的公式应该以瑞利-金斯公式为低频极限，金斯公式为低频极限，而以维恩辐射定律为高频极限，即而以维恩辐射定律为高频极限，即 上式可以简化为上式可以简化为 满足此条件的最简单的函数是 令令，可以得到，可以得到 B=cB=c3 3A/(8A/(8k)k)利用上面的结果，我们推出利用上面的结果，我们推出 上式称为普朗克公式（Planck formula），式中 h=B k=6.6261034 J s 称为普朗克常数（Planck constant）。实验验证 普朗克所导出的新普朗克所导出的新的辐射公式，虽然的辐射公式，虽然没有现成的理论依没有现成的理论依据，但是在高频时据，但是在高频时趋近维恩公式，在趋近维恩公式，在低频时则趋近瑞利低频时则趋近瑞利公式，与实验完全公式，与实验完全一致，而且在中频一致，而且在中频部分和实验曲线符部分和实验曲线符合得也非常好。合得也非常好。原因的探求 普朗克公式取得了成功，但是不能从已知的理普朗克公式取得了成功，但是不能从已知的理论中得到说明。他决定进一步寻找隐藏在上述论中得到说明。他决定进一步寻找隐藏在上述公式背后的物理实质。公式背后的物理实质。普朗克把研究的角度从热力学转换为统计力学；普朗克把研究的角度从热力学转换为统计力学；并把研究的对象从空腔内的辐射改为空腔腔壁并把研究的对象从空腔内的辐射改为空腔腔壁的物质，并假设腔壁物质由简谐振子组成。的物质，并假设腔壁物质由简谐振子组成。由辐射与腔壁的热平衡条件，得到由辐射与腔壁的热平衡条件，得到 u(u(,T)=8,T)=82 2 /c/c3 3 (1)(1)其中其中 为为简谐振子的平均能量。简谐振子的平均能量。由玻尔兹曼统计 lnzlnz/（2 2）其中其中 1/(1/(kTkT)，配分函数和配分函数和平均能量分别平均能量分别为为积分中的积分中的D D()为态密度。为态密度。按经典理论，能量是连续的，简谐振子的态密按经典理论，能量是连续的，简谐振子的态密度度D D()为常数，由此容易得到为常数，由此容易得到 =kTkT，代代入入(1)(1)后又回到了后又回到了瑞利瑞利金斯公式金斯公式，与实验不，与实验不符合。符合。这说明了简谐振子的态密度这说明了简谐振子的态密度D D()不是常数。不是常数。正确的态密度公式应该是什么？我们可以用逆正确的态密度公式应该是什么？我们可以用逆向思维的方法，从已经实验证明的普朗克公式向思维的方法，从已经实验证明的普朗克公式出发来进行倒推。出发来进行倒推。由普朗克公式可以得出简谐振子的平均能量为由普朗克公式可以得出简谐振子的平均能量为 对上式进行积分，我们得到 ln z=ln(1 e h)即 z=(1 e h)1=e hn 利用狄拉克函数，上式可以改写成 普朗克的假设 与配分函数的公式相比较后，我们得到态密度与配分函数的公式相比较后，我们得到态密度公式为公式为 D(D()=)=(h h n)n)上面的结果表明：要从理论上导出普朗克公式，上面的结果表明：要从理论上导出普朗克公式，线性谐振子的能量只能等概率地取一系列不连线性谐振子的能量只能等概率地取一系列不连续的量续的量h h n n。这与经典物理学关于能量是连续的观点尖锐对这与经典物理学关于能量是连续的观点尖锐对立。立。是尊重事实，还是尊重书本和权威？是尊重事实，还是尊重书本和权威？经过一段时间的犹豫之后，普朗克提出一个大经过一段时间的犹豫之后，普朗克提出一个大胆的、革命性的假设：每个简谐振子发射和吸胆的、革命性的假设：每个简谐振子发射和吸收的能量是不连续的。收的能量是不连续的。这些能量值只能是某个最小能量元这些能量值只能是某个最小能量元 的整数倍，的整数倍，而每个能量元和振子的频率成正比，后来人们而每个能量元和振子的频率成正比，后来人们称称 =h h 为为“能量子能量子”。19001900年年1212月月1414日，普朗克在德国物理学会的一日，普朗克在德国物理学会的一次会议上宣布了他的能量子假说，从此开创了次会议上宣布了他的能量子假说，从此开创了近代物理的新纪元，这一天被定为近代物理的新纪元，这一天被定为“量子论诞量子论诞生日生日”。普朗克本人也由于创建量子论，而荣。普朗克本人也由于创建量子论，而荣获获19181918年的诺贝尔物理学奖。年的诺贝尔物理学奖。