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第第8 8章章 扭转扭转18-1 扭转的概念及实例扭转的概念及实例变形特点：变形特点：.杆表面的纵向线变成螺旋线；.相邻横截面绕杆的轴线有相对转动；.实际构件在工作时除发生扭转变形外，还伴随有弯曲或拉、压等变形。受力特点：受力特点：圆截面直杆在与杆的轴线垂直平面内的外力偶Me作用下发生扭转。MeMe2Meme（c）（a）MeMeMemeMe 雨篷板 雨篷梁（d）MeFF（b）Me实例：实例：3剪切角：剪切角：螺旋线的切线与原纵向线的螺旋线的切线与原纵向线的夹角夹角称为剪切角。称为剪切角。MeADB CMej jg gl相对扭转角：相对扭转角：截面截面B相对于截面相对于截面A转转动的角度动的角度 ，称为相对扭转角。，称为相对扭转角。4 本章研究杆件发生除扭转变形外，其它变形可本章研究杆件发生除扭转变形外，其它变形可忽略的情况，并且忽略的情况，并且以圆截面以圆截面(实心圆截面或空心圆实心圆截面或空心圆截面截面)杆为主要研究对象杆为主要研究对象。此外，所研究的问题限。此外，所研究的问题限于杆在线弹性范围内工作的情况。着重讨论等直于杆在线弹性范围内工作的情况。着重讨论等直圆杆受扭时的强度和刚度的计算。圆杆受扭时的强度和刚度的计算。58-2 扭矩的计算和扭矩图扭矩的计算和扭矩图.传动轴的外力偶矩传动轴的外力偶矩 当传动轴稳定转动时，作用于某一轮上的外当传动轴稳定转动时，作用于某一轮上的外力偶在力偶在t秒秒钟内所作功等于外力偶之矩钟内所作功等于外力偶之矩Me乘以轮乘以轮在在t秒钟内的转角秒钟内的转角a a。6 因此，外力偶因此，外力偶Me每秒钟所作功，每秒钟所作功，即该轮所传递的功率为即该轮所传递的功率为 因此，在已知传动轴的转速因此，在已知传动轴的转速n(亦即传动轴上亦即传动轴上每个轮的转速每个轮的转速)和主动轮或从动轮所传递的功率和主动轮或从动轮所传递的功率P之后，即可由下式计算作用于每一轮上的外力偶之后，即可由下式计算作用于每一轮上的外力偶矩：矩：7 主动轮上的外力偶其转向与传动轴的转动方向主动轮上的外力偶其转向与传动轴的转动方向相同，而从动轮上的外力偶则转向与传动轴的转相同，而从动轮上的外力偶则转向与传动轴的转动方向相反。动方向相反。8.扭矩及扭矩图 传动轴横截面上的扭矩T 可利用截面法来计算。TMeMeTT=MeMeMe119 扭矩的正负可按右手螺旋法则确定：扭矩矢量（大拇指）背离截面为正，指向截面为负。T(+)T(-)10 例题例题8-1 一传动轴如图，转速一传动轴如图，转速 ；主动轮输入的功率主动轮输入的功率P1=500 kW，三个从动轮输出的三个从动轮输出的功率分别为：功率分别为：P2=150 kW，P3=150 kW，P4=200 kW。试作轴的扭矩图。试作轴的扭矩图。11解解：1.计算作用在各轮上的外力偶矩计算作用在各轮上的外力偶矩122.计算各段的扭矩计算各段的扭矩BC段内：AD段内：CA段内：BT2C22xM2M3133.作扭矩图作扭矩图 由扭矩图可见，传动轴的最大扭矩由扭矩图可见，传动轴的最大扭矩Tmax在在CA段段内，其值为内，其值为9.56 kNm。14思考：思考：如果将从动轮如果将从动轮D与与C的位置对调，试作该传的位置对调，试作该传动轴的扭矩图。这样的布置是否合理？动轴的扭矩图。这样的布置是否合理？1515.94.786.37 4.7816用简便法求扭矩：用简便法求扭矩：任一横截面上的扭矩等于该截面一侧上所有外任一横截面上的扭矩等于该截面一侧上所有外力对轴之矩的代数和。背离该截面的外力矩矢取力对轴之矩的代数和。背离该截面的外力矩矢取+号，指向该截面的外力矩矢取号，指向该截面的外力矩矢取-号。号。习题习题8-1178-3 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒薄壁圆筒通常指 的圆筒 当其两端面上作用有外力偶矩时，任一横截面上的内力偶矩扭矩mmTMe lMemmMed dr0Od d18.薄壁圆筒横截面上各点处切应力的变化规律薄壁圆筒横截面上各点处切应力的变化规律推论：推论：(1)横截面保持为形状、大小未改变的平面，即横截面如 同刚性平面一样；(2)相邻横截面只是绕圆筒轴线相对转动，横截面之间的距离未变。MeADB CMej jg g19横截面上的应力横截面上的应力：(1)只有与圆周相切的切应力，且圆周上所有点处的切应力相同；(2)对于薄壁圆筒，可认为切应力沿壁厚均匀分布；(3)横截面上无正应力。Memmxr0t dA20.薄壁圆筒横截面上切应力的计算公式薄壁圆筒横截面上切应力的计算公式：由 根据应力分布可知引进，上式亦可写作 ，于是有Memmxr0t dA21 以横截面、径向截面以及与表面平行的面(切向截面)从受扭的薄壁圆筒或等直圆杆内任一点处截取一微小的正六面体单元体单元体。1.1.单元体单元体 切应力互等定理切应力互等定理8-4 切应力互等定理和剪切胡克定律切应力互等定理和剪切胡克定律 lMemmMed d22可得：由单元体的平衡条件Fx=0 知单元体的上、下两个平面(即杆的径向截面上)必有大小相等、指向相反的一对力tdxdz并组成其矩为tdxdz)dy 力偶。由23 即单元体的两个相互垂直的面上，与该两个面的交线垂直的切应力t 和t 数值相等，且均指向(或背离)该两个面的交线切应力互等定理切应力互等定理。24 薄壁圆筒的扭转实验表明：当横截面上切应力t 不超过材料的剪切比例极限tp时，外力偶矩Me(数值上等于扭矩T)与相对扭转角j 成线性正比例关系，从而可知t 与g 亦成线性正比关系：这就是材料的剪切胡克定律剪切胡克定律，式中的比例系数G称为材料的切变模量切变模量。2.2.剪切胡克定律剪切胡克定律258-5 圆截面杆扭转时横截面上的应力圆截面杆扭转时横截面上的应力横截面上的应力公式推导：表面变形情况推断横截面的变形情况(问题的几何方面问题的几何方面)横截面上应变的变化规律横截面上应力变化规律应力-应变关系(问题的物理方面问题的物理方面)内力与应力的关系横截面上应力的计算公式(问题的静力学方面问题的静力学方面)26（1）表面变形情况：(a)相邻圆周线绕杆的轴线相对转动，但它们的大小和形状未变，小变形情况下它们的间距也未变；(b)纵向线倾斜了一个角度g。平面假设等直圆杆受扭转时横截面如同刚性平面绕杆的轴线转动，小变形情况下相邻横截面的间距不变。推知：杆的横截面上只有切应力，且垂直于半径。1、几何方面27（2）横截面上一点处的切应变随点的位置的变化规律：即bbTTO1O2dj GGDDaadxAEggrrEAO1Ddj DGGO2d/2dxgrgr28 式中 相对扭转角j 沿杆长的变化率，常用 来表示，对于给定的横截面为常量。可见，在横截面的同一半径 r 的圆周上各点处的切应变gr 均相同；gr 与r 成正比，且发生在与半径垂直的平面内。bbTTO1O2dj GGDDaadxAEggrr292、物理方面由剪切胡克定律 t=Gg 知 可见，在横截面的同一半径 r 的圆周上各点处的切应力tr 均相同，其值 与r 成正比，其方向垂直于半径。303、静力学方面其中 称为横截面的极惯性矩Ip，它是横截面的几何性质。从而得等直圆杆在线弹性范围内扭转时，横截面上任一点处切应力计算公式以 代入上式得：31式中Wp称为扭转截面系数，其单位为 m3。横截面周边上各点处(r=r)的最大切应力为32实心圆截面：圆截面的极惯性矩Ip和扭转截面系数Wp：33空心圆截面：34 现分析单元体内垂直于前、后两平面的任一斜截面 ef(如图)上的应力。8-6 斜截面上的应力斜截面上的应力35分离体上作用力的平衡方程为利用t=t，经整理得36由此可知：(1)单元体的四个侧面(a=0和 a=90)上切应力的绝对值最大；(2)a=-45和a=+45截面上切应力为零，而正应力的绝对值最大。，如图所示。37 至于上图所示单元体内不垂直于前、后两平面的任意斜截面上的应力，经类似上面所作的分析可知，也只与单元体四个侧面上的切应力相关。因此这种应力状态称为纯纯剪切应力状态剪切应力状态。38低碳钢扭转破坏断口 39铸铁扭转破坏断口40 思考：低碳钢和铸铁的圆截面试件其扭转破坏的断口分别如图a及图b所示，试问为什么它们的断口形式不同？418-7圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形 等直圆杆的扭转变形可用两个横截面的相对扭转角(相对角位移)j 来度量。MeADB CMej jg g42 当等直圆杆相距 l 的两横截面之间，扭矩T及材料的切变模量G为常量时有 由前已得到的扭转角沿杆长的变化率(亦称单位长度扭转角)为 可知，杆的相距 l 的两横截面之间的相对扭转角j为431 1.强度条件强度条件此处t为材料的许用切应力8-8 扭转的强度和刚度条件扭转的强度和刚度条件对于等直圆轴亦即442.2.刚度条件刚度条件式中的许可单位长度扭转角的常用单位是()/m。此时，等直圆杆在扭转时的刚度条件表示为：对于精密机器的轴0.150.30 ()/m；对于一般的传动轴2()/m。453.3.解决问题解决问题（1）校核圆杆的强度、刚度（2）选截面（3）选荷载46例题83 一电机的传动轴直径d=40mm，轴传递的功率P=30kW，转速n=1400 r/min。材料的许用切应力=40 MPa，切变模量G=80GPa，单位长度的许用扭转角=1/m。试校核此轴的强度和刚度。解：（1）计算传动轴的扭矩（3）刚度校核（2）强度校核此轴分别满足强度条件和刚度条件47例题例题84 图图a所示为装有四个皮带轮的一根实心圆轴的计算简图。已知；Me1=1.5kNm，Me2=3kNm，Me3=9kNm，Me4=4.5kNm；材料的切变模量G=80GPa，许用切应力=80MPa，单位长度许可扭转角=0.005rad/m。（1）设计轴的直径D；（2）若轴的直径D0=105mm，试计算全轴的相对扭转角。DCBAMe2Me1Me3Me4（a）0.8m1.0m1.2m48（b）4.5T图（kNm)1.54.5+DCBAMe2Me1Me3Me4（a）0.8m1.0m1.2m解：（解：（1）画轴的扭矩图，如图b所示。（2）设计轴的直径）设计轴的直径根据式强度条件：可以得到轴的直径为49根据刚度条件：可以得到轴的直径为 根据上述强度计算和刚度计算的结果可知，该轴的直径应选用D=103 mm。50（3）全轴的相对扭转角AD的计算若选用轴的直径D0=105mm，其极惯性矩为全轴的相对扭转角为：其中即51解解:1.按强度条件求所需外直径D 例题例题8-5 由45号 钢制成的某空心圆截面轴，内、外直径之比a=0.5。已知材料的许用切应力t =40 MPa，切变模量G=80 GPa。轴的横截面上扭矩的最大者为Tmax=9.56 kNm，轴的许可单位长度扭转角=0.3()/m。试选择轴的直径。522.按刚度条件求所需外直径D3.空心圆截面轴所需外直径为D125.5 mm(由刚度条件控制)，内直径则根据a=d/D=0.5知53