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新人教版七年级下册数学5.1.2垂线5.1.2 5.1.2 垂线垂线（第一课时）2021/5/222在相交线的模型中在相交线的模型中,固定木条固定木条a,a,转动木条转动木条b,b,当当=90=90时时,a,a与与b b垂直垂直.当当b b的位置变化时的位置变化时,a,a、b b所所成的角成的角也会发生变化也会发生变化.当当 90 90时时,a,a与与b b不垂不垂直，叫直，叫斜交斜交.两条直线相交两条直线相交斜交斜交垂直垂直垂直是相交的特殊情况垂直是相交的特殊情况观察思考）abbbbb）2021/5/2231.垂直定义：垂直定义：当两条直线相交所成的四个角当两条直线相交所成的四个角中，有中，有一个角一个角是是直角直角时，这两条直线互相时，这两条直线互相垂垂直直，其中一条直线叫另一条直线的，其中一条直线叫另一条直线的垂线垂线，它，它们的交点叫们的交点叫垂足垂足。例如、如图，例如、如图，a、b互相垂互相垂直直,O叫垂足叫垂足.a叫叫b的垂线，的垂线，b也叫也叫a的垂线。的垂线。baO O一、垂直的定义一、垂直的定义从垂直的定义可知，从垂直的定义可知，判断两条直线互相垂直的关键：判断两条直线互相垂直的关键：只要找到两条直线相交时四个交角中只要找到两条直线相交时四个交角中一个角是直角。一个角是直角。2021/5/2241.垂直定义：垂直定义：当两条直线相交所成的四个角当两条直线相交所成的四个角中，有中，有一个角是直角一个角是直角时，这两条直线互相时，这两条直线互相垂垂直直，其中一条直线叫另一条直线的，其中一条直线叫另一条直线的垂线垂线，它，它们的交点叫们的交点叫垂足垂足。ba用用“”和直线字母表示垂直和直线字母表示垂直O O 2.垂直的表示：垂直的表示：例如、如图，例如、如图，a、b互相垂直互相垂直,垂足为垂足为O，则记为：则记为：ab或或b a,若要强调垂足，则记为：若要强调垂足，则记为：a b,垂足为垂足为O.2021/5/225FEMNO记作：记作：MNEF,垂足为垂足为O.或者或者MNEF于于OABOE记作：记作：AB EO垂足为垂足为O.或者或者AB EO于于O2021/5/226 日常生活中日常生活中,两条直线互相垂直的情形很两条直线互相垂直的情形很常见常见,说出图说出图5.1-65.1-6中的一些互相垂直的线条中的一些互相垂直的线条.你能再举出其他例子吗你能再举出其他例子吗?2021/5/227生活中的垂直生活中的垂直2021/5/228生活中的垂直生活中的垂直2021/5/229生活中的垂直生活中的垂直2021/5/2210ABCDO几何语言几何语言 AOC90(已知已知)AB CD (垂直的定义垂直的定义)_已知已知AB.CD相交于点相交于点O,3.垂直的书写形式：垂直的书写形式：如图，当直线如图，当直线AB与与CD相交于相交于O点，点，AOC=90时时,ABCD，垂，垂足为足为O。2021/5/2211几何语言几何语言AB CD(已知已知)COB 90(垂直的定义垂直的定义)ABCD_o3.垂直的书写形式：垂直的书写形式：反之，若直线反之，若直线AB与与CD垂直，垂直，垂足为垂足为O，那么，那么，AOC=902021/5/22121、下面四种判定两条直线垂直的方法，正确的有、下面四种判定两条直线垂直的方法，正确的有 （）个）个（1）两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，）两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直则这两条直线互相垂直（2）两条直线相交，只要有一组邻补角相等，则这）两条直线相交，只要有一组邻补角相等，则这 两条直线互相垂直两条直线互相垂直（3）两条直线相交，所成的四个角相等，这两条直）两条直线相交，所成的四个角相等，这两条直 线互相垂直线互相垂直（4）两条直线相交，有一组对顶角互补，则这两条）两条直线相交，有一组对顶角互补，则这两条 直线互相垂直直线互相垂直 （A）4 （B）3 （C）2 （D）1A例题：例题：b ba a2021/5/2213例例2:如图如图ABCD垂足为垂足为O,COF=56，求求AOE？解：解：ABCD（已知）（已知）COB=90（垂直的定义）（垂直的定义）BOF=COBCOF =9056=34 AOE=BOF=34（对顶角相等）（对顶角相等）答：答：AOE=34.FEDCBAO?562021/5/2214例例3：如图：直线：如图：直线AB和和 CD相交于点相交于点O,OEA,OF,OF=40,求求OE和和AOC的度数的度数AFEDCBO40?12021/5/2215例例4：如图，已知为一直线，如图，已知为一直线，：，平分：，平分，（）求，（）求的度数；（）判断与的位置关的度数；（）判断与的位置关系系4545902021/5/22165.5.如图，直线如图，直线ABAB、CDCD相交于点相交于点OO，OE OEABAB，1=1251=125,求求COECOE的度数的度数.A AC CE EB BD DO O1 1）125?解：解：OEAB（已知）（已知）BOE=90（垂直的定义）（垂直的定义）BOC=1=125（对顶角相等）（对顶角相等）COE=BOCBOE =12590 =35 答：答：COE=35.2021/5/2217ODCBA1.直线直线AB与直线与直线CD相交于点相交于点O,若若AOC=90则则直线直线AB与直线与直线CD互相互相_.记作记作_ .交点交点O又叫做又叫做_.直线直线AB的的垂线垂线是是_.BOC=_,AOD=_,BOD=_.所以所以,_=_=_=_=90课堂抢答：垂直垂直ABCD于点于点O垂足垂足直线直线CD2021/5/22182.两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能判两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能判定两条直线垂直的是定两条直线垂直的是()（A）有两个角相等有两个角相等 （B）有两对角相等）有两对角相等 （C）有三个角相等有三个角相等 （D）有四对邻补角有四对邻补角 C课堂抢答：2021/5/22193.若直线m、n相交于点O，190，则_。4.若直线AB、CD相交于点O，且ABCD，那么BOD_。5.如图，BOAO，BOC与BOA的度数之比为1:5，那么COA_,BOC的补角为_度。Omn1BCAOmn90721622021/5/2220解：解：1 13535，2 25555（已知）（已知）垂直垂直 AOE18012 1803555 90OE AB (垂直的定义垂直的定义)6、如图，已知直线、如图，已知直线AB、CD都经过都经过O点，点，OE为射线，若为射线，若135 255，则则OE与与AB的位置关系是的位置关系是_ CDA BOE122021/5/2221探究探究：用三角尺或量角器画已知直线用三角尺或量角器画已知直线l 的垂的垂线，这样的垂线能画出几条？线，这样的垂线能画出几条？经过直线经过直线l上一点上一点A A画画 l 的垂线，这样的垂的垂线，这样的垂线能画出几条？线能画出几条？经过直线经过直线l 外一点外一点B B画画 l 的垂线，这样的的垂线，这样的垂线能画出几条？垂线能画出几条？二、垂线的画法二、垂线的画法2021/5/2222垂线的画法：垂线的画法：问题：问题：这样画这样画l的的垂线可以垂线可以画几条？画几条？1放、放、2靠、靠、3画线、画线、lO O如图，已知直线如图，已知直线 l,作作l的垂线。的垂线。工具：直尺、三角板工具：直尺、三角板A A无数条无数条2021/5/2223垂线的画法：垂线的画法：lA如图，已知直线如图，已知直线 l 和和l上的一点上的一点A,作作l l的垂线的垂线.B4 4 4 4画线画线画线画线:沿着三角板的另一直角边画出垂线沿着三角板的另一直角边画出垂线沿着三角板的另一直角边画出垂线沿着三角板的另一直角边画出垂线.1 1 1 1放放放放:放直尺放直尺放直尺放直尺,直尺的一边要与已知直线重合直尺的一边要与已知直线重合直尺的一边要与已知直线重合直尺的一边要与已知直线重合;3 3 3 3移移移移:移动三角板到已知点移动三角板到已知点移动三角板到已知点移动三角板到已知点;2 2 2 2靠靠靠靠:靠三角板靠三角板靠三角板靠三角板,把三角板的一直角边靠在直尺上把三角板的一直角边靠在直尺上把三角板的一直角边靠在直尺上把三角板的一直角边靠在直尺上;则所画直线则所画直线AB是过点是过点A的直线的直线l的的垂线垂线.结论：过结论：过直线上的一直线上的一点有且只有点有且只有一条直线与一条直线与已知直线互已知直线互相垂直。相垂直。2021/5/2224垂线的画法：垂线的画法：lA如图，已知直线如图，已知直线 l 和和l外外的一点的一点A,作作l的垂线的垂线.B4 4 4 4画线画线画线画线:沿着三角板的另一直角边画出垂线沿着三角板的另一直角边画出垂线沿着三角板的另一直角边画出垂线沿着三角板的另一直角边画出垂线.1 1 1 1放放放放:放直尺放直尺放直尺放直尺,直尺的一边要与已知直线重合直尺的一边要与已知直线重合直尺的一边要与已知直线重合直尺的一边要与已知直线重合;3 3 3 3移移移移:移动三角板到已知点移动三角板到已知点移动三角板到已知点移动三角板到已知点;2 2 2 2靠靠靠靠:靠三角板靠三角板靠三角板靠三角板,把三角板的一直角边靠在直尺上把三角板的一直角边靠在直尺上把三角板的一直角边靠在直尺上把三角板的一直角边靠在直尺上;则所画直线则所画直线AB是经过点是经过点A的直线的直线l l的垂线的垂线.结论：过结论：过直线外一点直线外一点有且只有一有且只有一条直线与已条直线与已知直线垂直知直线垂直.2021/5/2225 垂线的性质垂线的性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.能作一条能作一条,而且只能作一条而且只能作一条.问题问题:过已知直线过已知直线 l 和和l上上(或外或外)的一点的一点A,作作l的垂线的垂线,可以作几条可以作几条?注意注意:过一点画已知线段过一点画已知线段(或射线或射线)的垂线的垂线,就是画这条线段就是画这条线段(或射线或射线)所在直线的垂线所在直线的垂线.2021/5/2226垂线的性质垂线的性质垂线的性质垂线的性质1 1：过一点有且只有一条直线与过一点有且只有一条直线与 已知直线垂直已知直线垂直 问题：问题：（1）“过一点过一点”包括几种情况？包括几种情况？（2）“有且只有有且只有”是什么意思？是什么意思？直线直线上上的一点的一点直线直线外外的一点的一点有：有：存在性存在性只有：只有：唯一性唯一性2021/5/2227课堂练习课堂练习1选择题选择题 过点过点 向线段向线段 所在直线引垂线，正确的是（所在直线引垂线，正确的是（）.A B C DC2.2.画一条线段的垂线，垂足在画一条线段的垂线，垂足在 （）A A线段上线段上 B B线段的端点上线段的端点上 C C线段的延长线上线段的延长线上 D D以上都有可能以上都有可能D2021/5/22282.如图，请你过点如图，请你过点P画出线段画出线段AB或或射线射线AB的垂线的垂线AP2021/5/2229E EE EE E注意注意:画线段画线段(或射线或射线)的的垂线时垂线时,有时要将线段延有时要将线段延长长(或将射线反向延长或将射线反向延长)后后再画垂线再画垂线.问题：如何画一条线段或射线的垂线？问题：如何画一条线段或射线的垂线？2021/5/22303、如图、如图，已知，已知AB.CD相交于相交于O,OE CD于于 O,AOC=36，则，则 BOE=（）（A）36 (B)64 (C)144 (D)54 36?D2021/5/2231在图中，过点A分别作BD和DE的垂线.DABEDABEDABENM结论：直线AM,AN为所求垂线。练一练练一练2021/5/2233小结小结1、本节课你学到了什么？、本节课你学到了什么？相交线相交线垂线垂线垂线性质垂线性质垂线画法垂线画法2、在这节课中你还有什么疑问？、在这节课中你还有什么疑问？2021/5/2234两两条条直直线线相相交交一一般般情情况况垂直垂直对顶角：相等对顶角：相等邻补角：互补邻补角：互补垂线的性质垂线的性质特殊情况特殊情况相交成直角相交成直角2021/5/2235 5.1.2垂线 第二课时2021/5/2236一、知识回顾1、同一平面内，两条直线的位置关系：、同一平面内，两条直线的位置关系：_.2、怎样的两条直线我们称它们互相垂直？、怎样的两条直线我们称它们互相垂直？3、一条直线仅有一条垂线。对吗？、一条直线仅有一条垂线。对吗？2021/5/2237 初中数学资源网2021/5/2238 初中数学资源网2021/5/2239 初中数学资源网思考思考 有人不慎掉入有鳄鱼的湖中。如图，他有人不慎掉入有鳄鱼的湖中。如图，他在在P点，应选择什么样的路线尽快游到岸边点，应选择什么样的路线尽快游到岸边m呢？呢？2021/5/2240二、知识探究 OA1A2A3A42021/5/2241 初中数学资源网二、知识探究 OA1A2A3A4连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。垂线段最短。简单说成简单说成垂线段最短垂线段最短2021/5/2242 初中数学资源网二、知识探究 OA1A2A3A4直线直线外一点外一点到这条直线的到这条直线的垂线段垂线段的的长度长度，叫做叫做点到直线的距离。点到直线的距离。2021/5/2243 初中数学资源网连接直线外一点与直线上各点的所有连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。线段中，垂线段最短。垂线段最短垂线段最短直线外一点到这条直线的直线外一点到这条直线的垂线段的长度垂线段的长度，叫做叫做点到直线的距离点到直线的距离。PABCmmD垂线段的垂线段的长度长度简单说成：简单说成：垂线段最短垂线段最短垂线的性质垂线的性质2：线段线段PB叫做叫做点点P到直线到直线mm的的垂线段垂线段。2021/5/2244 线段线段AB直线直线CD，如图，如图，垂足垂足为为B，我们就把，我们就把线线段段AB叫做点叫做点A到直线到直线CD的的垂线段垂线段。ACDB垂垂线线段段垂线与垂垂线与垂线段有何线段有何 区别和联区别和联系？系？区别区别：垂线是：垂线是直线直线，垂线段是，垂线段是线段线段；联系联系：垂线和垂线段都：垂线和垂线段都垂直垂直于已知直线于已知直线注注 意意：点点A到直线到直线CD的的距离距离是是垂线段垂线段AB的的长度长度，而不是垂线段，而不是垂线段AB。2021/5/2245拓 展 应 用 如图：要把水渠中的水引到水池如图：要把水渠中的水引到水池C中，在渠岸的什么地方开沟，水沟中，在渠岸的什么地方开沟，水沟的长度才能最短？的长度才能最短？请画出图来，并说明理由。请画出图来，并说明理由。C垂线段最短垂线段最短2021/5/2246三、知识应用AO1、如图，点、如图，点A处是一座小屋，处是一座小屋，BC是一条公是一条公路，一人在路，一人在O处。处。（1）此人到小屋去，怎样走最近？为什么？）此人到小屋去，怎样走最近？为什么？（2）此人要到公路去，怎样走最近？为什么？）此人要到公路去，怎样走最近？为什么？2021/5/2247 初中数学资源网三、知识应用2、下列说法正确的是（、下列说法正确的是（）ABCD（A）线段）线段AB叫做点叫做点B到直线到直线AC的距离。的距离。（B）线段）线段AB的长度叫做点的长度叫做点A到直线到直线AC的距离的距离（C）线段）线段BD的长度叫做点的长度叫做点D到直线到直线BC的距离的距离（D）线段）线段BD的长度叫做点的长度叫做点B到直线到直线AC的距离的距离2021/5/2248 初中数学资源网3、如图所示，有两条高速公路、如图所示，有两条高速公路l，m，点，点P为公路为公路l上的一个出口，现要经过点上的一个出口，现要经过点P建建一连接两高速公路的一段通道，欲使通一连接两高速公路的一段通道，欲使通道最短，应怎样施工？说明理由。道最短，应怎样施工？说明理由。lm三、知识应用2021/5/2249 初中数学资源网ABC4、如图，、如图，P为为 ABC的平分线上一点的平分线上一点.（1）分别画出点）分别画出点P到边到边BA、BC的垂线段；的垂线段；（2）分别量出点）分别量出点P到边到边BA、BC的距离。的距离。三、知识应用2021/5/2250 初中数学资源网5 .文峰学校第六届运动会上，文峰学校第六届运动会上，701班一名班一名运动员第五跳打破了年级记录。如图运动员第五跳打破了年级记录。如图A、B为这一跳的脚印落点，起跳线为为这一跳的脚印落点，起跳线为CD。请。请画图说明如何测量他的成绩。画图说明如何测量他的成绩。解：解：过脚印过脚印B的的后跟后跟E作作EFCD，垂足为点垂足为点F。那么垂线段那么垂线段EF的长的长度就是这名运动员度就是这名运动员跳远的成绩。跳远的成绩。BCD EF三、知识应用A2021/5/2251 初中数学资源网 6 6、如图所示，在、如图所示，在 ABCABC中中,ABC=90,ABC=90，过点过点B B作作ABCABC的的ACAC边上的高边上的高BDBD，过过D D点作点作 ABDABD的的ABAB边上的高边上的高DEDE。ACB三、知识应用2021/5/2252 初中数学资源网 6、如图所示，在ABCABC中，ABC=90ABC=90 ，点A A到直线BCBC的距离是线段 的长度.点B B到直线ACAC的距离是线段 的长度.点D D到直线ABAB的距离是线段 的长度线段ADAD的长度是点 到直线 的距离.ABBDDEABD三、知识应用ACB2021/5/2253 初中数学资源网1.直线直线AB外一点外一点P到直线到直线AB的的距离距离指的是指的是（）（A）从）从P点到点到AB的垂线段的垂线段 (B)从从P点到点到AB的垂线段长的垂线段长（C）从）从P点到点到AB的垂线（的垂线（D）从）从 P点到点到AB的垂线长的垂线长B巩固巩固练习练习2.点点P为直线为直线l外一点，点外一点，点A、B、C在直线在直线l 上，上，若若PA=4cm,PB=5cm，PC=6cm，则，则P到直线到直线l的距离是（的距离是（）A4cm B.小于小于4cm C、不大于、不大于4cm D、5cmC2021/5/2254巩固巩固练习练习（1）AB与与AC互相垂直；互相垂直；（2）AD与与AC互相垂直；互相垂直；（3）点）点C到到AB的垂线段是线段的垂线段是线段AB；（4）点）点A到到BC的距离是线段的距离是线段AD;（5）线段）线段AB的长度是点的长度是点B到到AC的距离；的距离；（6）线段）线段AB是点是点B到到AC的距离。的距离。其中正确的有（其中正确的有（）A.1个个 B.2个个C.3个个 D.4个个3.C2021/5/22554.如图如图,ACBC,C=900,线段线段AC、BC、CD中最短的是中最短的是()(A)AC (B)BC (C)CD (D)不能确定不能确定DABCC2021/5/2256ABCDEFGM 问题问题1 1：长方体的顶点长方体的顶点A A处有一处有一只蚂蚁想爬到点只蚂蚁想爬到点C C处，请你帮处，请你帮它画出爬行的最佳路线。并说它画出爬行的最佳路线。并说明理由。明理由。问题问题2 2：若若A A处的蚂蚁想爬到棱处的蚂蚁想爬到棱BCBC上，你认为它的最佳路线是什上，你认为它的最佳路线是什么？么？问题问题3：若蚂蚁在点若蚂蚁在点M M处，想爬处，想爬到棱到棱BCBC上，请你设计一条最佳上，请你设计一条最佳路线。路线。N你会设计吗？2021/5/22576、如图如图,ABC=90,1=60,过过B作作AC的垂线的垂线BO,垂足是垂足是O,过过O作作BC的垂线的垂线,垂垂足是足是D,若若1=2,求求ABO,BOD.BOBOACAC于于OO点点12ABCDO）)（已知）（已知）ABC=90ABC=90()()1=601=60（）已知已知ABO=30ABO=30解：解：（已知）（已知）BOC=90BOC=90BOD=30BOD=30（互余的定义）（互余的定义）（互余的定义）（互余的定义）已知已知（垂直的定义）（垂直的定义）又又2=12=12=602=60（等量代换）（等量代换）2021/5/2258谢谢