（本科）概率论与数理统计试卷4.doc
（本科）概率论与数理统计试卷4概率论与数理统计试卷4一、填空题（每小题3分，共15分）1. 已知随机变量X的分布函数为F(x)=A+Barctanx，则A=_，B=_ _，概率密度函数f (x)=_ _.2. 设随机变量X和Y的数学期望都是2，方差分别为1和4，而相关系数为0.5，则根据切比雪夫不等式P|XY| ³ 6£ .3. 设X1，X2，X3，X4是来自正态总体N (0, 32)的简单随机样本，X = a (X12X2)2b (3X34X4)2.则当a = ，b = 时，统计量X服从c2分布，其自由度为 .4. 设总体X，则_ _分布, E (S 2 ) =_ _，D (S 2)=_ _.5. 设随机变量X，Y相互独立都服从正态分布，而X1, X2, X9和Y1, Y2, Y9分别是来自总体X和Y的简单随机样本，则统计量服从_ _ _分布，参数为_ _.二、选择题（每小题3分，共15分）1 已知X服从参数为n, p的二项分布且，则n, p的值分别为 ( ) (A) 6, 0.6 (B) 12, 0.3 (C) 36, 0.1 (D) 24, 0.152 设两个相互独立的随机变量X和Y分别服从正态分布N(0,1)和N(1,1), 则( )(A) PX+Y£0=0.5 (B) PX+Y£1=0.5 (C) PX-Y£0=0.5 (D) PX-Y£1=0.53 设随机变量X，Y都服从标准正态分布，则（ ） （A）X+Y服从正态分布 （B）X2+Y2服从c2分布 （C）X2和Y2都服从c2分布 （D）X2/Y2服从F分布4 设两个随机变量X与Y相互独立同分布：PX = 1 = 0.5，PX = 1= 0.5，则下列各式成立的是（ ） （A） PX = Y = 0.5 （B）PX = Y = 1 （C）PXY = 0 = 0.25 （D）PX Y = 1 = 0.255 设X1，X2，Xn是来自正态总体N (0，1)的简单随机样本，、S分别是样本的均值和样本标准差，则有（ ）（A） （B） （C） （D）三、（10分）某射手进行射击，每次射击击中目标的概率为p（0 < p < 1），射击进行到击中目标两次时为止.令X表示第一次击中目标时的射击次数，Y表示第二次击中目标时的射击次数，试求X、Y的联合分布列pij，条件分布列pi|j, pj|i及条件期望EX|Y = n.四、（15分）某种电子仪器由甲乙两部件构成，以X，Y分别表示甲乙两部件的寿命（以小时计）.已知X和Y的联合分布函数为(1) 关于X，Y的边缘分布函数FX(x)及FY(y)； （2）问X和Y是否相互独立，为什么？（3）求X与Y的联合概率密度f (x, y)； （4）计算两个部件的寿命都超过100小时的概率.五、（10分）某单位内部有260部电话分机，每个分机有4的时间要用外线通话，可以认为各个电话分机用不用外线是相互独立的，问总机要备有多少条外线才能以95的把握保证各个分机在用外线时不必等候.( F (1.65)=0.9505 F (1.64)=0.9495 )六、（10分）某化工厂的产品中含硫量的百分比在正常情形下服从正态分布N (m, s 2).为了知道设备经过维修后产品中平均含硫量的百分比m是否改变，测试了9个产品，它们含硫量的百分比的均值和方差分别为：，试求（1） m的置信水平为0.9的置信区间；（2） 能否认为含硫量的百分比显著小于4.55？（显著性水平a0.05）七、（10分）设某种商品每年的需求量X（以万吨计）服从2, 4上的均匀分布，设每售出1吨这种商品可以获利3万元，假设销售不出而囤积于仓库，则每吨需要花费1万元保管费，问需要组织多少货源，才能使商店获得的期望利润最大.八、（15分）设X1, X2, , Xn是取自下列指数分布的一个样本，(1) 试求q的矩估计量；(2) 证明是q 的无偏、一致、有效估计.参考答案：一、填空题 1. 1/2 ，1/p， 1/p (1+x2) 2. 1/12 3. 1/45，1/225，2 4. c2, s 2, 2s4/ (n-1) 5. t, 9二、选择题1. A 2. B 3. C 4. A 5. D三、解：据题意知Pij = PX = i, Y = j = p2q j2, 1 £ i < j = 2, 3, 其中q =1p，又, i=1, 2, , j=2, 3, 于是条件分布列为 1 £ i < j = 2, 3, j > i, i = 1, 2, 这时EX|Y = n.四、解：（1）FX(x)FX(x，µ)FY(x)FY(µ，y)（2）因为 F(x，y)FX(x)·FY(y)，所以X和Y相互独立（3）f (x, y)（4）P(X >100, Y >100) =五、解：令 i=1, 2, , 260则P (Xi = 1) = 0.04 = p (q =1p = 0.96)如果260架分机中同时使用外线的分机数为X，显然有X据题意是要求确定最小的整数x，使得P (X< x) ³ 0.95成立.因为n = 260较大，所以有P (X < x) 其中b =.查标准正态分布表，知道F (1.65) = 0.9505 > 0.95，故取b = 1.65，于是以 p = 0.04、q = 0.96及b = 1.65代入，即可求得x » 15.61取x = 16，所以总机要备有16条外线才能以95的把握保证各个分机在用外线时不必等候.六、解：（1）m的置信水平为0.1的置信区间为（）（4.297, 4.397）假设H0：m ³ m0 = 4.55，备择假设H1：m <m0 = 4.55由，查表t0.05(8) =1.8595，计算=10.28，故拒绝H0，认为含硫量的百分比显著小于4.55.（t0.1(8)=1.3968, t0.1(9)=1.3830, t0.05(8)=1.8595, t0.05(9)=1.8331）七、解：设需要组织货源a吨，商店获得的利润L(X,a) = X的分布函数为期望利润为= 令，得2a7a13 = 0，解得 a = 2.6八、证明：（1）总体均值所以q 的矩估计量（2） 1° 因为E= E= q ，所以是q 的无偏估计2° 由辛钦大数定律，对任意的e > 0, , 所以是q 的一致估计.3° 先求出信息量I(q), 所以是q 的有效估计.感谢您的支持与使用如果内容侵权请联系删除仅供教学交流使用
