(第21讲)向量及其线性运算.ppt
3.2 向量及其线性运算（向量及其线性运算（第第21讲）讲）1向量概念向量概念2向量的加减法向量的加减法3数与向量的乘法数与向量的乘法4向量的坐标表示向量的坐标表示5向量的方向余弦与方向角向量的方向余弦与方向角1、向量的概念、向量的概念u向量向量:既有大小既有大小,又有方向的量又有方向的量,称为称为向量向量(或或矢量矢量).用一条有方向的线段来表示向量用一条有方向的线段来表示向量.u向量的几何表示法向量的几何表示法以线段的以线段的长度长度表示向量的表示向量的大小大小,AB有向线段的有向线段的方向方向表示向量的方向表示向量的方向.以以A为起点为起点,B为终点的向量为终点的向量,记为记为 或或 .AB向量向量 的大小叫做向量的的大小叫做向量的模模.记为记为 或或 .ABAB|为方便起见，常用黑体的字母为方便起见，常用黑体的字母a a、b b、x x、来表示向量来表示向量.手写时可用带箭头的小写字母手写时可用带箭头的小写字母、来表示向量，本书采用手写的表示方式。来表示向量，本书采用手写的表示方式。大小相等且方向相同大小相等且方向相同,u向量相等向量相等即通过平移即通过平移可以使它们可以使它们重合重合,u自由向量自由向量自由向量自由向量：只有大小、方向：只有大小、方向,而无特定起点的向量而无特定起点的向量.具有在空间中可以任意平移的性质具有在空间中可以任意平移的性质.u相反向量相反向量相反向量相反向量:大小相等而方向相反的两个向量称为相大小相等而方向相反的两个向量称为相反向量（简称反向量）。反向量（简称反向量）。向量向量的反向量，的反向量，记记作作。ABAB 模为模为0 0的向量称为的向量称为零向量零向量.记为记为 ,它的方向可以它的方向可以看作是任意的看作是任意的.模为模为1 1的向量称为的向量称为单位向量单位向量.常用常用 表示与非零向表示与非零向量量 具有同一方向的单位向量。具有同一方向的单位向量。（1）向量的加法向量的加法平行四边形法则平行四边形法则三角形法则三角形法则向量的加法向量的加法2、向量的加减法、向量的加减法ABC多个向量相加多个向量相加:例如例如,向量加法的三角形法则推广到有限多个向量的情形。向量加法的三角形法则推广到有限多个向量的情形。向量加法的运算规律：向量加法的运算规律：p交换律交换律:p结合律结合律:（2）向量的减法：向量的减法：向量的减法也象实数减法一样有等式：向量的减法也象实数减法一样有等式：，u向量减法向量减法.规定规定:将将 之一平移之一平移,使起使起点重合点重合,由由 的终点向的终点向 的终点作一向量的终点作一向量,即为即为 3、数与向量的乘法数与向量的乘法定义定义3模为：模为：当当 0时时,当当 0时时,当当 =0时时,为向量的数乘，记为为向量的数乘，记为 。它是一个向量。它是一个向量.方向：方向：设给定实数设给定实数 与向量与向量为为 ，与与 的乘积称的乘积称 并由此得到并由此得到 即，非零向量除以它的模（即乘以模的倒数）的即，非零向量除以它的模（即乘以模的倒数）的结果是一个与它同向的单位向量。结果是一个与它同向的单位向量。向量与数的乘积的运算规律向量与数的乘积的运算规律:(3)结合律结合律:(4)分配律分配律:(5)分配律分配律:(1)(2)向量的加、减法及向量的数乘运算统称为向量的加、减法及向量的数乘运算统称为向量的向量的线性运算线性运算。4、向量的坐标表示、向量的坐标表示 起点在原点的向量起点在原点的向量OA设点设点 A(x,y,z)。zijkAoxyA3A1A2zyxP建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系 ，设，设 为空间一向量，平移为空间一向量，平移 使其起点置于原点使其起点置于原点O O，若其，若其终点终点A A的坐标是的坐标是 ,则则向量向量 =唯一对应于有唯一对应于有序数组序数组 ；反之，对于给定的任意一个有序数组反之，对于给定的任意一个有序数组 ，在空，在空间就惟一确定一点间就惟一确定一点A A ，从而确定一个向量，从而确定一个向量 。即，向量。即，向量 与有序数组与有序数组 之间建立了一一对应之间建立了一一对应关系。关系。zijkAoxyA3A1A2zyxP以以 分别表示沿分别表示沿x,y,z轴正向的单位向量轴正向的单位向量,称为称为基本单基本单位向量位向量.OA=OA1+A1P+PA=OA1+OA2+OA3称称 OA1、OA2、OA3分别是分别是OA 在在 x 轴轴,y 轴轴,z 轴上的轴上的分向量分向量,而而x,y,z,分别是分别是OA 在三坐标轴上的在三坐标轴上的投影投影,称为称为OA 的的坐标坐标.称为向量称为向量 的的坐标表示式坐标表示式.称这个数组称这个数组 为为向量向量 的坐标，记为：的坐标，记为：向量的模的坐标表示向量的模的坐标表示由勾股定理知，由勾股定理知，此即向量此即向量模的坐标表示模的坐标表示.5、向量的方向余弦与方向角向量的方向余弦与方向角 非零向量与三条坐标轴的正向的夹角非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为称为方向角方向角.方向角余弦称为方向角余弦称为方向余弦方向余弦.由图分析可知由图分析可知向向量量的的方方向向余余弦弦方向余弦通常用来表示方向余弦通常用来表示向量的方向向量的方向.向量方向余弦的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式方向角余弦称为方向角余弦称为方向余弦方向余弦.方向余弦的特征方向余弦的特征特殊地：单位向量的方向余弦为特殊地：单位向量的方向余弦为 例例3-33-3解解O 例例3-3-44解解 因为因为所以所以，课堂小结课堂小结 1 向量概念向量概念 2向量的加减法向量的加减法 3数与向量的乘法数与向量的乘法 4向量的坐标表示向量的坐标表示 5向量的方向余弦与方向角向量的方向余弦与方向角作业作业:P 练习练习3.2 2 4 6
