高中数学课堂笔记必修5.docx

高中数学必修5知识点第一章 解三角形1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°-(A+B)；2、三角形三边关系：a+b>c; a-b<c3、三角形中的基本关系：sin(A+B) =sinC,cos(A+B) = -cosC,tan(A+B) = -tanC,sinA+BC=cos ,cos2A+BC=sin ,tan2A+B =cotC22224、正弦定理：在 DABC 中，a、 、c分别为角 、 、 的对边， 为A B C R DABC 的外ba接圆的半径，则有sin A sinB sinCbc=2R5、正弦定理的变形公式：化角为边：a =2Rsin A，b =2RsinB，c =2RsinC；abc2R ；化边为角：sin A =，sinB =，sinC =a +b+c2R2Rabca:b:c =sin A:sin B:sinC；=sin A+sinB+sinC sin A sinB sinC6、两类正弦定理解三角形的问题：已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.已知两角和其中一边的对角，求其他边角.(对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、三解）)7、余弦定理：在DABC中，有a2 =b2 +c2 -2bccosA，b2 =a2 +c2 -2accosB，c2 =a2 +b2 -2abcosC+c2bc-a，cosB =a+c2ac-b，cosC =a+b2ab-c8、余弦定理的推论：cosA =b222222222(余弦定理主要解决的问题：1.已知两边和夹角，求其余的量。2.已知三边求角)9、余弦定理主要解决的问题：已知两边和夹角，求其余的量。已知三边求角）10、如何判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式设a、b、c是DABC的角 A 、B、C的对边，则：BA若a2 +b2 =c2，则C =90 ；若a2 +b2 >c2，则C <90 ；若a2 +b2 <c2，则C >90 注：正余弦定理的综合应用：如图所示：隔河看两目标CD A、B,但不能到达，在岸边选取相距3千米的C、D两点，并测得ACB=75O,BCD=45O,ADC=30O,ADB=45O(A、B、C、D在同一平面内)，求两目标A、B之间的距离。（本题解答过程略）11、三角形面积公式：12、三角形的四心：垂心三角形的三边上的高相交于一点重心三角形三条中线的相交于一点（重心到顶点距离与到对边距离之比为2:1）外心三角形三边垂直平分线相交于一点（外心到三顶点距离相等）内心三角形三内角的平分线相交于一点（内心到三边距离相等）13、请同学们自己复习巩固三角函数中诱导公式及辅助角公式（和差角、倍角等）。附加：第二章数列1、数列：按照一定顺序排列着的一列数2、数列的项：数列中的每一个数 3、有穷数列：项数有限的数列4、无穷数列：项数无限的数列5、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列（即：a>a）n+1 n6、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列（即：a<a）n+1 n7、常数列：各项相等的数列（即：a=a）n+1 n8、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 9、数列的通项公式：表示数列 a的第n项与序号n之间的关系的公式n10、数列的递推公式：表示任一项a与它的前一项a（或前几项）间的关系的公式n-1n11、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称-a =d。注：看数列是不是n为等差数列，这个常数称为等差数列的公差符号表示:an+1等差数列有以下三种方法： a -an-1 =d(n ³2,d为常数)2n(n ³2 )(为常数a =a +aa =kn+b n,knn+1n-1nA bAb12、由三个数a，组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则称为a 与的a +c等差中项若b =b，则称为a与c的等差中项2a ( )a =a + n-1d13、若等差数列的首项是a，公差是d，则1nn1=a -a( )( )14、通项公式的变形：a =a +n-md；a =a -n-1d；dn1；n-1nm1na -aa -an1 +1；d =n=mnn-mdp qÎ N*），则a +a =a +a 15、若 a是等差数列，且m+n =p +q（m、n 、q；mnpn2a =a +aq 若 a是等差数列，且2n = p +q（n、p、qÎ N*），则npn( +a )n(n-1)na16.等差数列的前n项和的公式：S =；S =na +1nd 2n2n1s =a +a + +an12n( )( )S na a= +，且n+117、等差数列的前n项和的性质：若项数为2n nÎN*，则2nn S，S a偶奇 = aS -S =ndn偶奇n+1若项数为2n-1(nÎN )* ，则S = 2n-1 anS奇 =n( )，且S -S =a，n（其中n-12n-1奇偶S偶( )S = na，Sn= n -1 a）n奇偶18、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称a为等比数列，这个常数称为等比数列的公比符号表示：n+1 =q（注：等比数列中不an会出现值为0的项；同号位上的值同号）注：看数列是不是等比数列有以下四种方法：a =an-1q(n ³2,q为常数,且 ¹0)n( ³，¹0)+1 n-1a2 =an+1 ×an-1 n 2 a a ann n(为非零常数).a =cqn c,qn正数列a成等比的充要条件是数列（x 1）成等比数列.log axnn19、在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，则G称为a与b的等比中项若G2 =ab，则称G为a与b的等比中项（注：由G2 =ab不能得出a，G，b成等比，=ab）由a，G，b Þ G2 20、若等比数列 a的首项是a，公比是q，则a =aqn-1n1n121、通项公式的变形：a =a qn 1a =a q- -( )；q n -1aan-m；=nnm1n1aa=qn -mnm 22、若 a是等比数列，且m+n =p +q（m、n、qÎ N*），则a ×a =a ×a；pnmnpq若 a2 =a ×aa是等比数列，且2n = p +q（n、p、qÎ N*），则npqnìna (q =1)ï( )=a -aq( ) n123、等比数列 a的前n项和的公式：S í -a 1 q =nnï¹q 111nî 1-q1-qs =a +a + +an12n ì =s a (n =1)a = í 1124、对任意的数列a 的前n项和S 与通项a 的关系：nîsn -sn-1(n ³2)nnn( )( )（ 可为零也可不为零为等差数列充要条件（即常d1注： a =a +n -1d =nd + a -dn1数列也是等差数列）若d不为0，则是等差数列充分条件）.æd ö æ d öd 可以为零也可不为零为等差2等差a 前 n 项和nS =An2+Bn =nç ÷n +ça - ÷n2è2 ø è1 2 ø的充要条件若d为零，则是等差数列的充分条件；若d 不为零，则是等差数列的充分条件.非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列）附：几种常见的数列的思想方法：1.等差数列的前n项和为S ，在dp0时，有最大值. 如何确定使S 取最大值时的n值，有nn两种方法：=d2dp0，成立的n值；二是由S)n利用二次函数的性质求一是求使a ³0,ann2 +(a-1n+1n2n的值.2.数列通项公式、求和公式与函数对应关系如下：数列通项公式对应函数等差数列（时为一次函数）等比数列（指数型函数）数列前n项和公式对应函数等差数列（ 时为二次函数）等比数列（指数型函数）我们用函数的观点揭开了数列神秘的“面纱”，将数列的通项公式以及前 n 项和看成是关于n的函数，为我们解决数列有关问题提供了非常有益的启示。3.例题：1、等差数列 中， .分析：因为 是等差数列，所以 是关于n的一次函数，一次函数图像是一条直线，则（n,m）,(m,n),(m+n, )三点共线，则 所以利用每两点形成直线斜率相等，即，得=0（图像如上），这里利用等差数列通项公式与一次函数的对应关系，并结合图像，直观、简洁。例题：2、等差数列中，前n项和为，若，n为何值时最大？分析：等差数列前n项和可以看成关于n的二次函数=，是抛物线=上的离散点，根据题意，则因为欲求最大值，故其对应二次函数图像开口向下，并且对称轴为，即当时，最大。例题：3递增数列 ，对任意正整数n，分析：构造一次函数，由数列恒成立，求递增得到：对于一切恒成立，即恒成立，所以对一切恒成立，设，则只需求出。的最大值即可，显然有最大值，所以的取值范围是：构造二次函数，看成函数，它的定义域是，因为是递增数列，即函数为递增函数，单调增区间为,抛物线对称轴，因为函数f(x)为离散函数，要函数单调递增，就看动轴与已知区间的位置。从对应图像上看，对称轴在的左侧也可以（如图），因为此时B点比A点高。于是，得 4.如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前n项和可依1×1,31,.(2n -1) 1,.照等比数列前n项和的推倒导方法：错位相减求和. 例如：2 42n5.两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差的最小公倍数.2d ，d16. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于 n2 的任意自然a数,验证 a-a () 为同一常数。(2)通项公式法。(3)中项公式法:验证nnn-1an-12a =a +a (a2 =a a )n ÎN都成立。n+1nn-2n+1nn+2ìa ³0mîam+1 £07. 在等差数列a 中,有关S 的最值问题：(1)当a >0,d<0时，满足í的项数n1nìa £0m 使得s 取最大值. (2)当a <0,d>0 时，满足í的项数 m 使得s 取最小值。在解mm³01amîm+1含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。附：数列求和的常用方法1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。ìüc2.裂项相消法:适用于íý其中 a 是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理a an+1 þînn数列、含阶乘的数列等。1例题：已知数列a的通项为a=n,求这个数列的前n项和S.nn(n+1)n1 - 1解：观察后发现：a=nn n+1s =a +a +×××+ an12n=(1-1)+(1 -1)+×××+ ( -1 1)22 3n n+11=1-n+1 n n n3.错位相减法:适用于 a b 其中 a 是等差数列， b 是各项不为0的等比数列。n例题：已知数列a的通项公式为a =n×2n，求这个数列的前n项之和s 。nnn解：由题设得： s =a +a +a +××× +an123n =1×21 +2×22 +3×23 +×××+ n×2ns即 =1×21 +2×22 +3×23 +×××+ n×2nn把式两边同乘2后得2s =1×22 +2×23 +3×24 +×××+ n×2n+1n用-，即：s =1×21 +2×22 +3×23 +×××+ n×2nn2s =1×22 +2×23 +3×24 +×××+ n×2n+1 n得-s =1×2+22 +23 +××× +2n -n×2n+1n=2(1-2n) -n×2n+11-2=2n+1 -2-n×2n+1=(1-n)2n+1 -2s =(n-1)2 +2n+1n4.倒序相加法: 类似于等差数列前n项和公式的推导方法.5.常用结论n(n +1)1）: 1+2+3+.+n = 2） 1+3+5+.+(2n-1) =n22é1ù2+23 +L+n3 = n(n +1) 3）13êúë2û4) 12 +22 +32 +L+n2 =1n(n +1)(2n +1)61= -n(n +1) n n +1115)，;11 1= ( -n(n +2) 2 n n +2 ；111 1 1( - ) (p <q)pq q -p p q)6）= 附加：重点归纳等差数列和等比数列（表中m,n,p,qÎN）+等差数列a 等比数列a 类别项目nnan+1 =qaa -a =dn定义n+1n( )a =a + n-1 dna =aqn-1通项公式11n( )a =a + n-m da =a qn-mnmnm( )ìna q=1( )n(n-1)前n项和S = íïa 1-1( )q=a -aq(q¹1)nS =n a +a=na +1d1n22nï1în1n1-q1-q等差（比）中项2a =a +an2 =a ×anan+1n+2n+1n+2公差ad =a -a，(m ¹n)qn-m =nnmn -ma（比）mm +n = p+qÞa +a =a +am +n = p+qÞa ×a =a ×amnpqmnpqm +n =2pÞa +a =2am+n =2pÞa ×a =a 2mnpmnpT T2mT TT , , 3m,m成等比数列，公S ,S -S ,S -S ,成等差m2mm3m2mm2m性质数列，公差为m2d（S是前n项和）n比为qm2（T是前n项积）na ,a ,a ,仍然是等比数ma ,a ,a ,仍然是等差数列，mm+km+2km+km+2k其公差为kd列，其公比为qk ka +b是等差数列是等比数列（b ¹0）ba knnd >0,；>0时，q>1,，0 <q<1,；<0时，q>1,，0 <q<1,；a1单调性d <0,；a1d =0,常数列q=1为常数列；q<0为摆动数列 2.等差数列的判定方法：（a,b,d为常数）.定义法：若 a -a =dn+1nÞ .等差中项法：若 2a =a +an+2a为等差数列.n+1nn.通项公式法：若a =an +bn.前n项和法：S =an2 +bnn3.等比数列的判定方法：（k，q为非零常数）a=q.定义法：若 n+1anÞ .等比中项法：若a 2 =a ×aa为等比数列.n+1nn+2n.通项公式法：若a =kqnn.前n项和法：S =k -kqnn第三章不等式一、不等式的主要性质：（1）对称性： a >b Ûb <a（2）传递性：a >b,b >c Þa >c（3）加法法则：a >b Þa +c >b +c；（4）同向不等式加法法则：a >b,c >d Þa +c >b +d（5）乘法法则：a >b,c >0 Þac >bc；a >b,c <0 Þac <bc（6）同向不等式乘法法则：a >b >0,c >d >0 Þac >bda b 0（7）乘方法则： > > Þan >bn(n ÎN*且n >1)（8）开方法则：a >b >0 Þ na > nb(n ÎN*且n >1)（9）倒数法则：a >b,ab >0 Þ 1 < 1a b二、一元二次不等式ax2 +bx +c >0和ax2 +bx +c <0(a ¹0)及其解法D >0D =0D <0 y =ax2 +bx +cy =ax2 +bx +cy =ax2 +bx +c=a(x -x )(x -x )1=a(x - x )(x - x )122二次函数y =ax2 +bx +c（a >0）的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根ax2 +bx+c =0( )a >0的根无实根= - bx=x1 2x ,x (x1 2<x )212axx<x或x>xax2 +bx+c >0(a >0)的解集íìxx¹ -îb üý2aþR12xx <x<x ax2 +bx+c <0(a >0)的解集ÆÆ12.一元二次不等式先化标准形式（a化正）.常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式。口诀：在二次项系数为正的前提下：“大于取两边，小于取中间”三、均值不等式a +b1、设a、b是两个正数，则称为正数a、b的算术平均数， ab称为正数a、b的2几何平均数2、基本不等式（也称均值不等式）：若a >0均值不等式：如果a,b是正数，那么a +b ³2 ab即a +b ³ ab(当且仅当a =b时取"="号).2注意：使用均值不等式的条件：一正、二定、三相等a2 +b2 ³a +b ³ ab ³23、平均不等式：（a、b为正数），即（当a=b时取等）221 +1a ba2 +b2 (a,bÎR)；2(4、常用的基本不等式：a2 +b2 ³2ab a,bÎR)；ab £æa +b ö(a >0,b >0)；a +b2 æa +b ö22(a,bÎR)2ab £³ç÷ç÷è2 ø2è2 ø 5、极值定理：设、都为正数，则有：x ys2若x +y =s（和为定值），则当x =y时，积 取得最大值 若xy =p（积为定xy4值），则当x =y时，和x +y取得最小值2 p四、含有绝对值的不等式1绝对值的几何意义：|x|是指数轴上点x到原点的距离；|x -x |是指数轴上 ,两点x x1212ìaa >0a =0ï间的距离；代数意义：|a|= 0íï-a a <0î2、如果a >0,则不等式：|x|>a <=> x >a或x < -a；|x|³a <=> x ³a或x £ -a|x|<a <=> -a < x <a； |x|£a <=> -a £ x £a4、解含有绝对值不等式的主要方法：解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号五、其他常见不等式形式总结：分式不等式的解法：先移项通分标准化，则f(x) >0 Û f(x)g(x) >0； f(x)ìf(x)g(x) ³0³0 Û íîg(x) ¹0g(x)g(x)指数不等式：转化为代数不等式a f(x) >ag(x)(a >1) Û f(x) >g(x)；a f(x) >ag x( )(0 <a <1) Û f(x) <g(x)对数不等式：转化为代数不等式f(x) >0ìïlog f(x) >log g(x)(a >1) Û g(x) >0íaaïf(x) >g(x)îf(x) >0ìïlog f(x) >log g(x)(0 <a <1) Û g(x) >0íaaïf(x) <g(x)î高次不等式：数轴穿线法口诀:“从右向左，自上而下；奇穿偶不穿，遇偶转个弯；小于取下边，大于取上边”例题：不等式(x2 -3x +2)(x -4)2x +3£0的解为（）A1<x1或x2Bx<3或1x2Cx=4或3<x1或x2Dx=4或x<3或1x2六、不等式证明的常用方法：作差法、作商法 七、线性规划1、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式2、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组3、二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式组的 x和y的取值构成有序数对( ) ( )x,y，所有这样的有序数对 x,y构成的集合( )4、在平面直角坐标系中，已知直线Ax +By+C =0，坐标平面内的点 x,yR00( )R若B >0，Ax + B + >y C 0，则点 x,y在直线Ax +By+C =0的上方0000( )R若B >0，Ax + B + <y C 0，则点 x,y在直线Ax +By+C =0的下方00005、在平面直角坐标系中，已知直线Ax +By+C =0（一）由B确定：若B >0，则Ax +By+C >0表示直线Ax +By+C =0上方的区域；Ax +By+C <0表示直线Ax +By+C =0下方的区域若B <0，则Ax +By+C >0表示直线Ax +By+C =0下方的区域；Ax +By+C <0表示直线Ax +By+C =0上方的区域（二）由A的符号来确定：先把x的系数A化为正后，看不等号方向：若是“>”号，则Ax +By+C >0所表示的区域为直线l: Ax +By+C =0的右边部分。若是“<”号，则Ax +By+C <0所表示的区域为直线l: Ax +By+C =0的左边部分。（三）确定不等式组所表示区域的步骤：画线：画出不等式所对应的方程所表示的直线定测：由上面（一）（二）来确定求交：取出满足各个不等式所表示的区域的公共部分。ì2x +y-5 >0ï例题：画出不等式组íy>3x -5所表示的平面区域。解：略ï2y-x -5 >0î6、线性约束条件：由x，y的不等式（或方程）组成的不等式组，是x，y的线性约束条 件目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x，y的解析式线性目标函数：目标函数为x，y的一次解析式线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题( )可行解：满足线性约束条件的解 x,y可行域：所有可行解组成的集合最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解附加：1二元一次不等式（组）表示的平面区域直线l:Ax +By +C >0（或<0 ）：直线定界，特殊点定域。注意： Ax +By+C >0(或 <0)不包括边界；Ax +By+C ³0(£0)包括边界2.线性规划我们把求线性目标函数在线性目标条件下的最值问题称为线性规划问题。解决这类问题的基本步骤是：注意：1.线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得；2.线性目标函数的最大值、最小值也可在可行域的边界上取得，即满足条件的最优解有无数个。