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现代控制工程现代控制工程1Modern Control Engineering第第1章章 绪论绪论 3第1章 绪论：现代控制工程的发展1769年瓦特（年瓦特（J.Watt）发明）发明蒸汽机，提供动力；蒸汽机，提供动力；1788年年发明离心调速器，解决调速发明离心调速器，解决调速问题，加速了第一次工业革问题，加速了第一次工业革命的步伐。命的步伐。随之而来的问题：调速器随之而来的问题：调速器的不稳定问题。的不稳定问题。瓦特瓦特4第1章 绪论：现代控制工程的发展1868年英国的麦克斯韦尔(J.C.Maxwell)发表“论调速器”论文，被公认为自动控制理论的开端。20世纪50年代以前的控制理论一般称为经典控制理论，主要包括以微分方程、拉普拉斯变换为主要数学工具的时域法、频率法、根轨迹法等。麦克斯韦尔（麦克斯韦尔（J.C.MaxwellJ.C.Maxwell）5第1章 绪论：现代控制工程的发展o在在在在二二二二十十十十世世世世纪纪纪纪五五五五十十十十年年年年代代代代末末末末开开开开始始始始，随随随随着着着着计计计计算算算算机机机机的的的的飞飞飞飞速速速速发发发发展展展展，推推推推动动动动了了了了核核核核能能能能技技技技术术术术、空空空空间间间间技技技技术术术术的的的的发发发发展展展展，从从从从而而而而出出出出现现现现了了了了复复复复杂杂杂杂多多多多输输输输入入入入多多多多输输输输出出出出系系系系统统统统、非非非非线线线线性性性性系系系系统统统统和和和和时时时时变变变变系系系系统统统统需需需需要要要要解解解解决决决决，这就需要寻找新的控制理论和方法。这就需要寻找新的控制理论和方法。这就需要寻找新的控制理论和方法。这就需要寻找新的控制理论和方法。o科科科科学学学学技技技技术术术术的的的的发发发发展展展展不不不不仅仅仅仅需需需需要要要要迅迅迅迅速速速速地地地地发发发发展展展展控控控控制制制制理理理理论论论论，而而而而且且且且也也也也给给给给现现现现代代代代控控控控制制制制理理理理论论论论的的的的发发发发展展展展提提提提供供供供了了了了两两两两个个个个重重重重要要要要的的的的条条条条件件件件现现现现代数学和数字计算机。代数学和数字计算机。代数学和数字计算机。代数学和数字计算机。o现现现现代代代代数数数数学学学学，例例例例如如如如泛泛泛泛函函函函分分分分析析析析、现现现现代代代代代代代代数数数数等等等等，为为为为现现现现代代代代控控控控制制制制理理理理论论论论提提提提供供供供了了了了多多多多种种种种多多多多样样样样的的的的分分分分析析析析工工工工具具具具；而而而而数数数数字字字字计计计计算算算算机机机机为为为为现现现现代控制理论发展提供了应用的平台。代控制理论发展提供了应用的平台。代控制理论发展提供了应用的平台。代控制理论发展提供了应用的平台。6第1章 绪论：现代控制工程的发展19561956年，苏联庞特里亚年，苏联庞特里亚提出了极大值原理，解决提出了极大值原理，解决了发射人造卫星的火箭控了发射人造卫星的火箭控制问题，揭开了最优控制制问题，揭开了最优控制理论的序幕。理论的序幕。同年，美国贝尔曼提出了同年，美国贝尔曼提出了动态规划方法，便于用数动态规划方法，便于用数字计算机实现最优控制。字计算机实现最优控制。贝尔曼贝尔曼庞特里亚金庞特里亚金719581958年，美国惠特克等研制出第一个模型参考适应控年，美国惠特克等研制出第一个模型参考适应控制系统。卡尔曼提出递推估计的自动优化控制原理，制系统。卡尔曼提出递推估计的自动优化控制原理，解决了随机噪声干扰下的系统状态的估计问题，奠定解决了随机噪声干扰下的系统状态的估计问题，奠定了自校正控制器的基础。了自校正控制器的基础。19591959年，罗马尼亚波波夫提出超稳定性理论。年，罗马尼亚波波夫提出超稳定性理论。第1章 绪论：现代控制工程的发展81960年，卡尔曼引入状态空间法分析系统，提出能控性、能观测性、最佳调节器和卡尔曼滤波等重要概念，奠定了现代控制理论的基础。1963年，中外学者提出极点配置基本定理。第1章 绪论：现代控制工程的发展卡尔曼91970年，英国年，英国UMIST的罗森布罗克的罗森布罗克(H.H.Rosenbrock)提出多变量频域法，提出多变量频域法，将经典控制理论中将经典控制理论中的频域方法推广到多变量系统，的频域方法推广到多变量系统，架起了现代控制理论架起了现代控制理论与经典控制理论的桥梁。与经典控制理论的桥梁。控制理论是基于数学模型分析与设计系统，所以，如控制理论是基于数学模型分析与设计系统，所以，如何得到系统的数学模型成为控制理论应用的瓶颈问题。何得到系统的数学模型成为控制理论应用的瓶颈问题。1967年，瑞典阿斯特勒姆（年，瑞典阿斯特勒姆（K.J.Astrom）提出最小）提出最小二乘系统辨识方法，解决了线性定常系统的参数估计二乘系统辨识方法，解决了线性定常系统的参数估计和定阶问题。和定阶问题。第1章 绪论：现代控制工程的发展1020世世纪纪80年年代代以以来来，计计算算机机的的快快速速更更新新换换代代极极大大地地推动了控制理论的发展。推动了控制理论的发展。世世界界各各国国工工业业向向着着大大型型、连连续续、综综合合化化发发展展，其其构构成的控制系统也变得越来越复杂。成的控制系统也变得越来越复杂。实际控制系统的复杂性可归纳为：实际控制系统的复杂性可归纳为：（1）对象复杂。）对象复杂。（2）环境复杂。）环境复杂。（3）任务复杂。）任务复杂。第1章 绪论：现代控制工程的发展11第1章 绪论：现代控制工程的发展12系系统统的的不不确确定定性性（对对象象和和环环境境）是是最最困困难难的的问问题题，也也是是对对传传统统控控制制方方法法的的最最大大挑挑战战，导导致致了了智智能能控控制制策略的产生。策略的产生。自动控制与人工智能的结合产生了智能控制。自动控制与人工智能的结合产生了智能控制。提提出出的的模模糊糊逻逻辑辑控控制制、神神经经网网络络和和专专家家控控制制三三种种典典型的智能控制为大多数人接受。型的智能控制为大多数人接受。分分级级递递阶阶智智能能控控制制、仿仿人人智智能能控控制制、学学习习控控制制以以及及遗传算法也有研究和应用。遗传算法也有研究和应用。复合控制模式是控制策略的发展方向。复合控制模式是控制策略的发展方向。第1章 绪论：现代控制工程的发展13智能控制是一门新兴的理论和技术，具有非常广泛的应用，例如智能机器人、智能过程控制、智能调度与规划、专家控制、智能故障诊断、智能仪器、医院监控、语音控制、飞行器控制及自动制造系统控制等。第1章 绪论：现代控制工程的发展洗衣机智能控制洗衣机智能控制电冰箱智能控制电冰箱智能控制14复合控制模式是控制策略的发展方向。第1章 绪论：现代控制工程的发展15THE ENDModern Control Engineering第第 2 章章 状态空间数学模型状态空间数学模型 第2章 状态空间数学模型o状态空间方法是基于状态空间模型分析与设计自动控制系统。状态空间模型描述了系统内部状态和系统输入、输出之间的关系，比输入输出模型更深入地揭示了系统的动态特性。o本章首先介绍状态的概念以及状态空间模型的建立方法，然后介绍系统的状态空间模型的实现，为系统分析与设计奠定基础。17第2章 状态空间数学模型o2.1 状态与状态空间的概念状态与状态空间的概念 o2.2 系统的状态空间模型系统的状态空间模型o2.3 线性系统的状态空间模型与线性变换线性系统的状态空间模型与线性变换o2.4 控制系统的实现控制系统的实现o2.5 多变量系统的传递矩阵多变量系统的传递矩阵o2.6 控制系统的离散状态空间模型控制系统的离散状态空间模型182.1 状态与状态空间的概念 o例：图例：图2.1所示弹簧所示弹簧-阻尼器系统阻尼器系统19o在在外外作作用用力力F(t)已已知知的的情情况况下下，如如果果知知道道了了物物体体在在某某一一时时刻刻的的位位移移及及速速度度,就能确定系统未来的动态响应。就能确定系统未来的动态响应。o如如果果仅仅知知道道物物体体的的位位移移或或速速度度，就就不不能确定系统未来的动态响应。能确定系统未来的动态响应。o物物体体的的位位移移、速速度度及及加加速速度度这这三三个个量量显显然然是是不不独独立立的的，可可以以根根据据其其中中两两个个量量确确定定另另外外一一个个量量，因因此此这这个个量量对对于于描述系统状态是多余的。描述系统状态是多余的。o可可选选择择物物体体在在某某一一时时刻刻的的位位移移及及速速度度为弹簧为弹簧-阻尼器系统在某一时刻的状态。阻尼器系统在某一时刻的状态。20o状状态态是系统中一些信息的集合，在已知未来外部输入的情况下，这些信息对于确定系统未来的行为是充分且必要的。o系统在各个时刻的状态是变化的，能够确定系统各个时刻状态的具有最少个数变量的一组变量称为状态变量状态变量。o以n个状态变量作为坐标轴所组成的维空间称为状态空间状态空间。2.1 状态与状态空间的概念q状态轨迹状态轨迹：以以 为起点，随着时间的为起点，随着时间的推移，推移，在状态空间绘出的一条轨迹。在状态空间绘出的一条轨迹。2.2 系统的状态空间模型212.2.1 建立状态空间模型的方法建立状态空间模型的方法描述系统状态变量和输入变量之间关系的一阶微分方描述系统状态变量和输入变量之间关系的一阶微分方程组称为程组称为状态方程状态方程。描述系统输出变量与系统状态变量、输入变量之间关描述系统输出变量与系统状态变量、输入变量之间关系的方程称为系的方程称为输出方程输出方程。系统的状态方程和输出方程组成系统的系统的状态方程和输出方程组成系统的状态空间模型状态空间模型，或称为动态方程。或称为动态方程。状态空间模型描述了系统内部状态和系统输入、输出状态空间模型描述了系统内部状态和系统输入、输出之间的关系，所以又称为内部描述模型。它比输入输之间的关系，所以又称为内部描述模型。它比输入输出模型更深入地揭示了系统的动态特性。出模型更深入地揭示了系统的动态特性。22选取的状态变量一定要满足状态的定义，首先检查是否选取的状态变量一定要满足状态的定义，首先检查是否相互独立，即不能由其它变量导出某一变量；其次检查相互独立，即不能由其它变量导出某一变量；其次检查是否充分，即是否完全决定了系统的状态。是否充分，即是否完全决定了系统的状态。状态变量的个数应等于系统中独立储能元件的个数状态变量的个数应等于系统中独立储能元件的个数。选择状态变量一般有三条途径选择状态变量一般有三条途径(不限于不限于)：（1）选择系统中储能元件的输出物理量作为状态变量；）选择系统中储能元件的输出物理量作为状态变量；（2）选择系统的输出变量及其阶导数作为状态变量）选择系统的输出变量及其阶导数作为状态变量（为系统独立储能元件的个数）；（为系统独立储能元件的个数）；（3）选择能使状态方程成为某种标准形式的变量作为）选择能使状态方程成为某种标准形式的变量作为状态变量。状态变量。2.2.1 建立状态空间模型的方法2.2.1 建立状态空间模型的方法23 例例2.1 建立图示质量建立图示质量-弹簧弹簧-阻尼器系统的状态空间模型。阻尼器系统的状态空间模型。选取状态变量为选取状态变量为 根据牛顿定律得根据牛顿定律得 系统的状态方程系统的状态方程 系统的输出方程为系统的输出方程为 状态空间表达式状态空间表达式 2.2.1 建立状态空间模型的方法24例例2.2 2.2 建立图示建立图示RLCRLC网络的状态空间模型。网络的状态空间模型。选取状态变量为选取状态变量为 根据电压电流定律得根据电压电流定律得 2.2.1 建立状态空间模型的方法25从上面例题可以看出：从上面例题可以看出：（1）状态变量的选择不唯一，因此状态方程也不唯一状态变量的选择不唯一，因此状态方程也不唯一（但在相似意义下是唯一的）；（但在相似意义下是唯一的）；（2）状态变量的个数一定；）状态变量的个数一定；（3）状态变量可以是有明显物理意义的量，也可以是）状态变量可以是有明显物理意义的量，也可以是没有明显物理意义的量。状态变量可以是可测的量，没有明显物理意义的量。状态变量可以是可测的量，也可以是不可测的量。也可以是不可测的量。很多系统虽然具有不同的物理特性，但却具有相同形很多系统虽然具有不同的物理特性，但却具有相同形式的数学模型。式的数学模型。2.2.2 由状态空间模型求微分方程26如果已经得到了系统的状态空间模型，只要消除状态如果已经得到了系统的状态空间模型，只要消除状态空间模型中的状态变量，即可得到系统输出变量与输空间模型中的状态变量，即可得到系统输出变量与输入变量之间的关系，就得到系统的微分方程描述。入变量之间的关系，就得到系统的微分方程描述。例例2.4 例例2.1所示弹簧所示弹簧-阻尼器系统的状态空间模型为阻尼器系统的状态空间模型为微分方程为微分方程为 2.2.2 由状态空间模型求微分方程27例例2.5 对于例对于例2.2所示的所示的RLC网络，若选状态变量为电网络，若选状态变量为电感中的电流和电容上的电压，则状态空间模型为感中的电流和电容上的电压，则状态空间模型为微分方程为微分方程为 2.3 线性系统的状态空间模型与线性变换28 状态空间模型的一般表示式（状态空间模型的一般表示式（1）2.3.1 SISO线性系统的状态空间模型线性系统的状态空间模型2.3.2 MIMO线性系统的状态空间模型29多输入多输出线性系统的状态方程可以表示为多输入多输出线性系统的状态方程可以表示为输出方程表示为输出方程表示为2.3.2 MIMO线性系统的状态空间模型30简记为简记为多输入多输出线性系统的状态方程矩阵形式为多输入多输出线性系统的状态方程矩阵形式为 2.3.2 MIMO线性系统的状态空间模型31多输入多输出系统的矩阵方框图多输入多输出系统的矩阵方框图 2.3.3 状态方程的线性变换32状态变量的选择不唯一，状态方程也不唯一，但这些状态变量的选择不唯一，状态方程也不唯一，但这些状态方程可以通过线性变换得到，因此状态方程在相状态方程可以通过线性变换得到，因此状态方程在相似意义下是唯一的。似意义下是唯一的。可以通过线性变换将系统的一般模型变换为简单规范可以通过线性变换将系统的一般模型变换为简单规范的标准型，从而简化系统的分析和设计。的标准型，从而简化系统的分析和设计。332.3.3 状态方程的线性变换设状态变量取为设状态变量取为x时，系统的状态空间模型为时，系统的状态空间模型为取线性变换取线性变换系统的状态空间模型变换为系统的状态空间模型变换为 P?第第5章介绍章介绍2.3.3 状态方程的线性变换34考察经非奇异线性变换后，特征值的变化情况。考察经非奇异线性变换后，特征值的变化情况。经非奇异线性变换后，状态方程的特征值不变，所经非奇异线性变换后，状态方程的特征值不变，所以，一般称特征值是系统的不变量。以，一般称特征值是系统的不变量。2.3.3 状态方程的线性变换例例2.6 已知系统的状态方程为已知系统的状态方程为35取线性变换为取线性变换为求变换后的系统的状态方程。求变换后的系统的状态方程。2.3.3 状态方程的线性变换36 解：取解：取2.4 控制系统的实现372.4.1 系统的实现问题系统的实现问题系统的实现是根据系统的外部描述构造一个内部结构，系统的实现是根据系统的外部描述构造一个内部结构，要求既保持外部描述的输入输出关系，又要将系统的要求既保持外部描述的输入输出关系，又要将系统的内部结构确定下来。内部结构确定下来。根据输入输出关系求得的状态空间模型不是唯一的，根据输入输出关系求得的状态空间模型不是唯一的，有无穷多个状态空间模型具有相同的输入输出关系。有无穷多个状态空间模型具有相同的输入输出关系。由状态空间模型求微分方程较容易，只要消除状态变由状态空间模型求微分方程较容易，只要消除状态变量，得到输出与输入的关系式就行了。量，得到输出与输入的关系式就行了。由系统的微分方程、传递函数等外部数学模型确定等由系统的微分方程、传递函数等外部数学模型确定等价的状态空间等内部数学模型称为系统的实现。价的状态空间等内部数学模型称为系统的实现。2.4.2 不含有输入导数项的微分方程的实现38不含有输入导数项的微分方程不含有输入导数项的微分方程的一般描述为的一般描述为若将状态变量选为若将状态变量选为系统的状态方程为系统的状态方程为 392.4.2 不含有输入导数项的微分方程的实现表达为矩阵形式表达为矩阵形式2.4.3 含有输入导数项的微分方程的实现o含有输入导数项的微分方程含有输入导数项的微分方程的一般描述为的一般描述为40这时，不能选输出及其各阶导数，否则状态变量中包含这时，不能选输出及其各阶导数，否则状态变量中包含输入信号的导数，使得当输入信号出现阶跃时，状态变输入信号的导数，使得当输入信号出现阶跃时，状态变量将是不确定的，不满足选择状态变量的要求。量将是不确定的，不满足选择状态变量的要求。（1）方法一）方法一:选取系统的状态变量为选取系统的状态变量为2.4.3 含有输入导数项的微分方程的实现412.4.3 含有输入导数项的微分方程的实现例例2.8 求系统的状态空间模型。求系统的状态空间模型。422.4.3 含有输入导数项的微分方程的实现（2）方法二：基于方框图变换）方法二：基于方框图变换与微分方程等效的方框图进行等效变换。与微分方程等效的方框图进行等效变换。432.4.3 含有输入导数项的微分方程的实现44取状态变量为取状态变量为引入中间变量引入中间变量z，则微分方程可化成下面两个方程表示，则微分方程可化成下面两个方程表示所以，状态方程为所以，状态方程为2.4.3 含有输入导数项的微分方程的实现o输出方程为输出方程为45这种方案选择的状态变量已不具有明显的物理意义。这种方案选择的状态变量已不具有明显的物理意义。例例2.9 求系统的状态空间实现。求系统的状态空间实现。解解 2.5 多变量系统的传递矩阵o2.5.1 多变量系统传递矩阵的概念多变量系统传递矩阵的概念o对对于于多多变变量量系系统统，每每个个输输入入和和每每个个输输出出之之间间的的关关系系都都用用一一个个传传递递函函数数描描述述，这这些些传传递递函函数数构构成成了了一一个个矩阵，称为传递矩阵。矩阵，称为传递矩阵。46由于线性系统满足叠加原理，由于线性系统满足叠加原理，所以，系统的各个输出分别为所以，系统的各个输出分别为2.5.1 多变量系统传递矩阵的概念表示为矩阵形式表示为矩阵形式47传递矩阵定义为传递矩阵定义为 2.5.2 从状态空间模型求传递矩阵从状态空间模型求传递矩阵o设设MIMO线性定常系统的状态空间模型为线性定常系统的状态空间模型为48传递矩阵为传递矩阵为2.5.2 从状态空间模型求传递矩阵从状态空间模型求传递矩阵49例例2.10 已知系统状态空间模型，求传递矩阵。已知系统状态空间模型，求传递矩阵。2.5.3 多变量控制系统的结构图简化50系统的传递矩阵为系统的传递矩阵为 512.6 控制系统的离散状态空间模型设线性定常系统的差分方程描述为设线性定常系统的差分方程描述为若状态变量选择为若状态变量选择为 522.6 控制系统的离散状态空间模型当差分方程中含有输入量的差分项时，类似于连续状态当差分方程中含有输入量的差分项时，类似于连续状态空间模型中的方法，状态变量可以选择为空间模型中的方法，状态变量可以选择为2.6 控制系统的离散状态空间模型53例例2.12 已知系统的差分方程，求离散状态空间模型。已知系统的差分方程，求离散状态空间模型。2.6 控制系统的离散状态空间模型54552.8 本章小结状态是系统中一些信息的集合，在已知未来外部输入的情况下，状态是系统中一些信息的集合，在已知未来外部输入的情况下，这些信息对于确定系统未来的行为是充分且必要的。这些信息对于确定系统未来的行为是充分且必要的。描述系统状态变量和输入变量之间关系的一阶微分方程组称为描述系统状态变量和输入变量之间关系的一阶微分方程组称为状态方程。描述系统输出变量与系统状态变量、输入变量之间状态方程。描述系统输出变量与系统状态变量、输入变量之间关系的方程称为输出方程。关系的方程称为输出方程。状态变量可以选择：系统中储能元件的输出物理量、输出变量状态变量可以选择：系统中储能元件的输出物理量、输出变量及其阶导数、使状态方程成为某种标准形式的变量。及其阶导数、使状态方程成为某种标准形式的变量。状态变量的选择不唯一，但个数一定。状态变量可以是有明显状态变量的选择不唯一，但个数一定。状态变量可以是有明显物理意义的量，也可以是没有明显物理意义的量；可以是可测物理意义的量，也可以是没有明显物理意义的量；可以是可测量，也可以是不可测量。状态方程不唯一，在相似意义下唯一。量，也可以是不可测量。状态方程不唯一，在相似意义下唯一。消除状态空间模型中的状态变量，可得到系统的微分方程描述。消除状态空间模型中的状态变量，可得到系统的微分方程描述。状态方程可以通过线性变换得到状态方程的其他形式。状态方程可以通过线性变换得到状态方程的其他形式。562.8 本章小结由系统的微分方程等外部数学模型确定等价的状态空间等内部由系统的微分方程等外部数学模型确定等价的状态空间等内部数学模型，通常称为系统的实现问题。数学模型，通常称为系统的实现问题。对于不含有输入导数项的微分方程，取输出变量及其对于不含有输入导数项的微分方程，取输出变量及其n-1阶导数阶导数作为状态变量可以得到状态空间模型实现。作为状态变量可以得到状态空间模型实现。对于多变量系统，每个输入和每个输出之间的关系都用一个传对于多变量系统，每个输入和每个输出之间的关系都用一个传递函数描述，这些传递函数构成的矩阵称为传递矩阵。递函数描述，这些传递函数构成的矩阵称为传递矩阵。除第除第i个输入外，设其余输入均为个输入外，设其余输入均为0，且在零初始条件下，第，且在零初始条件下，第j个个输出的拉氏变换与第输出的拉氏变换与第i个输入的拉氏变换之比，定义为第个输入的拉氏变换之比，定义为第i个输入个输入和第和第j个输出之间的传递函数，记为个输出之间的传递函数，记为从状态空间模型求传递矩阵：从状态空间模型求传递矩阵：差分方程（差分方程（2.54）的离散状态空间模型为式（）的离散状态空间模型为式（2.55）。）。THE END57Modern Control Engineering第第3章章 控制系统稳定性分析控制系统稳定性分析 第3章 控制系统稳定性分析o系系统统稳稳定定是是保保证证系系统统能能正正常常工工作作的的首首要要条条件件。稳稳定性是控制系统最基本的性质。定性是控制系统最基本的性质。o本本章章首首先先介介绍绍李李雅雅普普诺诺夫夫稳稳定定性性定定义义和和系系统统稳稳定定的的条条件件，然然后后介介绍绍李李雅雅普普诺诺夫夫稳稳定定判判据据和和非非线线性性系系统统的的克克拉拉索索夫夫斯斯基基稳稳定定判判据据。最最后后简简要要介介绍绍非非线线性性系系统统的的小小偏偏差差线线性性化化和和李李雅雅普普诺诺夫夫第第一法。动态特性。一法。动态特性。59第3章 控制系统稳定性分析o3.1 控制系统稳定性定义控制系统稳定性定义 o3.2 控制系统稳定的条件控制系统稳定的条件o3.3 李雅普诺夫稳定判据李雅普诺夫稳定判据o3.4 线性系统的李雅普诺夫稳定判据线性系统的李雅普诺夫稳定判据603.1 控制系统稳定性定义 o当当系系统统受受到到扰扰动动后后，其其状状态态偏偏离离平平衡衡状状态态，在在随随后后所所有有时时间间内内，系统的响应可能出现下列情况之一：系统的响应可能出现下列情况之一：(1)系统的自由响应是有界的；系统的自由响应是有界的；(2)系统的自由响应是无界的；系统的自由响应是无界的；(3)系统的自由响应不但是有界的，而且最终回到原先的平衡状态。系统的自由响应不但是有界的，而且最终回到原先的平衡状态。o李李雅雅普普诺诺夫夫把把上上述述三三种种情情况况分分别别定定义义为为稳稳定定的的、不不稳稳定定的的和和渐渐近稳定的。近稳定的。o如如系系统统不不稳稳定定，则则系系统统响响应应是是无无界界的的，或或者者进进入入振振荡荡状状态态。因因此，系统稳定是系统正常工作的首要条件。此，系统稳定是系统正常工作的首要条件。o李李雅雅普普诺诺夫夫用用范范数数作作为为状状态态空空间间“尺尺度度”的的度度量量。作作为为预预备备知知识，下面首先介绍范数的概念。识，下面首先介绍范数的概念。6162o范范数数的的定定义义有有很很多多种种。下下面面介介绍绍常常用用的的欧欧氏氏范范数数，它是二维、三维空间中长度概念的推广。它是二维、三维空间中长度概念的推广。o1.向量的范数向量的范数n维向量空间的范数定义为维向量空间的范数定义为o2.矩阵的范数矩阵的范数 3.1.1 范数的概念3.1.2 平衡状态63系统没有输入作用时，处于自由运动状态，当系统到系统没有输入作用时，处于自由运动状态，当系统到达某一状态，并且维持在此状态而不再发生变化时，这达某一状态，并且维持在此状态而不再发生变化时，这样的状态称为系统的平衡状态。样的状态称为系统的平衡状态。连续系统连续系统 平衡状态是满足平衡方程平衡状态是满足平衡方程 的的系统状态。离散系统系统状态。离散系统 的平衡状态的平衡状态 ，是，是对所有的对所有的k，都满足平衡方程，都满足平衡方程 的系统状态。的系统状态。当当A非奇异时，线性系统只有一个平衡状态非奇异时，线性系统只有一个平衡状态当当A奇异时，线性系统有无穷多个平衡状态。奇异时，线性系统有无穷多个平衡状态。非线性系统可能有多个平衡状态。这些平衡状态都可非线性系统可能有多个平衡状态。这些平衡状态都可以由平衡方程解得。以由平衡方程解得。64例例3.1 求下列非线性系统的平衡状态求下列非线性系统的平衡状态3.1.2 平衡状态解解 由平衡状态定义，平衡状态应满足由平衡状态定义，平衡状态应满足因此，该系统有三个平衡状态：因此，该系统有三个平衡状态：3.1.3 李雅普诺夫稳定性定义65 1892年，李雅普诺夫给出了稳定性的一般定义。年，李雅普诺夫给出了稳定性的一般定义。（1）稳稳定定：如如果果对对于于任任意意给给定定的的每每个个实实数数 ，都都对对应应存存在在着着另另一一实实数数 ，使使得得从从满满足足 的的任任意意初初态态出出发发的的系系统统响响应应，在在所所有有的的时时间间内内都都满满足足 ，则则称称系系统统的的平平衡衡状状态态 是是稳稳定定的的。若若 与与 的的选选取取无无关关，则则称称平平衡状态是一致稳定的。衡状态是一致稳定的。S()S()x2x1xe x0 x李氏稳定李氏稳定系统响应有界系统响应有界663.1.3 李雅普诺夫稳定性定义（2）渐渐近近稳稳定定：若若平平衡衡状状态态是是李李雅雅普普诺诺夫夫意意义义下下稳稳定定的的，并并且且当当 时，时，即，即 ，则称平衡状态渐近稳定。，则称平衡状态渐近稳定。（3）大大范范围围（渐渐近近）稳稳定定：如如果果对对任任意意大大的的 ，系系统统总总是是稳稳定定的的，则则称称系系统统是是大大范范围围（渐渐近近）稳稳定定的的。如如果果系系统统总总是是渐渐近近稳稳定的，则称系统是大范围渐近稳定的。定的，则称系统是大范围渐近稳定的。x0 x1xeS()S()xx2系统响应有界且收系统响应有界且收敛于平衡状态敛于平衡状态经典控制理论中的稳定经典控制理论中的稳定等价于李氏渐近稳定等价于李氏渐近稳定673.1.3 李雅普诺夫稳定性定义（4）不不稳稳定定：如如果果对对于于某某一一实实数数 ，不不论论 取取多多小小，由由 内内出出发发的的轨轨迹迹，至至少少有有一一条条轨轨迹迹越越出出，则则称平衡状态为不稳定。称平衡状态为不稳定。系统响应无界系统响应无界683.1.3 李雅普诺夫稳定性定义注意：注意：1 1、大范围渐近稳定要求从状态空间中的所有大范围渐近稳定要求从状态空间中的所有点出发的轨迹都要收敛于点出发的轨迹都要收敛于x xe e，因此这类系统只能有一，因此这类系统只能有一个平衡状态，这也是大范围渐近稳定的个平衡状态，这也是大范围渐近稳定的必要条件必要条件。2 2、当当A A为非奇异的，则线性定常系统只有唯一为非奇异的，则线性定常系统只有唯一的平衡状态的平衡状态x xe e=0=0。所以。所以若其是渐近稳定的，则一定若其是渐近稳定的，则一定是大范围渐近稳定的是大范围渐近稳定的。3 3、由、由于非线性系统通常有多个平衡点，因此于非线性系统通常有多个平衡点，因此只能在小范围内渐近稳定只能在小范围内渐近稳定。3.2 控制系统稳定的条件693.2.1单变量线性定常连续系统稳定条件单变量线性定常连续系统稳定条件单变量线性定常连续系统稳定的充分必要条件是：单变量线性定常连续系统稳定的充分必要条件是：全部特征根或闭环极点都具有负实部，全部特征根或闭环极点都具有负实部，或或闭环极点都位于复平面左半部。闭环极点都位于复平面左半部。3.2.1单变量线性定常连续系统稳定条件70由韦达定理，特征方程的根与系数存在下列关系：由韦达定理，特征方程的根与系数存在下列关系：系统稳定的必要条件是：系统稳定的必要条件是：特征方程的系数同号，而特征方程的系数同号，而且都不为零。且都不为零。3.2.2 多变量线性定常连续系统稳定条件71描述描述MIMO线性定常连续系统的状态方程为线性定常连续系统的状态方程为设设A有相异特征值，则存在非奇异线性变换使其为对角矩阵有相异特征值，则存在非奇异线性变换使其为对角矩阵非奇异线性变换后的状态方程的零输入解为非奇异线性变换后的状态方程的零输入解为状态方程的零输入解为状态方程的零输入解为 多变量线性定常连续系统稳定的充分必要条件是：多变量线性定常连续系统稳定的充分必要条件是：系统矩阵系统矩阵A的全部特征值具有负实部，或者说都位于的全部特征值具有负实部，或者说都位于复平面左半部。复平面左半部。3.2.3 单变量线性定常离散系统的稳定条件72线性定常离散系统输出的线性定常离散系统输出的Z变换为变换为现在讨论系统单位脉冲响应现在讨论系统单位脉冲响应（1）脉冲传递函数有个互异的单极点）脉冲传递函数有个互异的单极点（2）脉冲传递函数有一对共轭复数极点）脉冲传递函数有一对共轭复数极点 3.2.3 单变量线性定常离散系统的稳定条件73 线性定常离散系统稳定的充分必要条件是：闭环脉冲线性定常离散系统稳定的充分必要条件是：闭环脉冲传递函数的所有极点都位于平面的单位圆内。传递函数的所有极点都位于平面的单位圆内。若在单位圆上有一对复数极点或一个实极点，而其它若在单位圆上有一对复数极点或一个实极点，而其它极点在单位圆内，极点在单位圆内，系统是临界稳定的。系统是临界稳定的。若在单位圆上有重极点或者在单位圆外有一个以上的若在单位圆上有重极点或者在单位圆外有一个以上的极点，极点，系统是不稳定的。系统是不稳定的。（3）含有重极点）含有重极点 3.2.4 多变量线性定常离散系统的稳定条件74设线性定常离散系统的状态方程为设线性定常离散系统的状态方程为（1）A有互异特征值有互异特征值非奇异线性变换非奇异线性变换（2）A的特征值中有重根的特征值中有重根线性定常离散系统稳定的充分必要条件是：线性定常离散系统稳定的充分必要条件是：A的所有特征值全部在复平面的单位圆内。的所有特征值全部在复平面的单位圆内。3.3 李雅普诺夫稳定判据75李雅普诺夫稳定判据是李雅普诺夫稳定判据是1892年提出的，它给出了连续非线性系年提出的，它给出了连续非线性系统渐近稳定的充分条件和连续线性定常系统渐近稳定的充分必统渐近稳定的充分条件和连续线性定常系统渐近稳定的充分必要条件。要条件。1958年被推广到离散系统。年被推广到离散系统。很多力学系统是一个能耗系统，其总能量随着时间的变化不断很多力学系统是一个能耗系统，其总能量随着时间的变化不断减少，最后回到它的最小储能状态。因此，能量的度量可以作减少，最后回到它的最小储能状态。因此，能量的度量可以作为力学系统稳定性的度量。但是，一般系统没有像力学问题那为力学系统稳定性的度量。但是，一般系统没有像力学问题那样有明显的动能和位能的概念。样有明显的动能和位能的概念。李雅普诺夫抽象了李雅普诺夫抽象了“能量能量”的概念，构造了一个类似于的概念，构造了一个类似于“能量能量”的正定函数，称为李雅普诺夫函数。通过分析这个表示的正定函数，称为李雅普诺夫函数。通过分析这个表示“能能量量”的正定函数是否随着时间的增长而减少，即分析李雅普诺的正定函数是否随着时间的增长而减少，即分析李雅普诺夫函数的导数是否一个负定的函数，从而可以判别系统的稳定夫函数的导数是否一个负定的函数，从而可以判别系统的稳定性。性。3.3.1 函数的正定性761.标量函数的正定性标量函数的正定性(1)当当x=0时，时，V(x)=0；当；当 时，时，V(x)0，则称，则称V(x)是正定的；是正定的；(2)若若V(x)除原点和某些状态下为零，而其余部分都大除原点和某些状态下为零，而其余部分都大于零，则称于零，则称V(x)为半正定的；为半正定的；(3)若若-V(x)是正定的，则称是正定的，则称V(x)是负定的；是负定的；(4)若若-V(x)是半正定的，则称是半正定的，则称V(x)是半负定的；是半负定的；(5)若若V(x)在某些状态下是正值，在另外一些状态下是在某些状态下是正值，在另外一些状态下是负值，则称负值，则称V(x)是不定的。是不定的。3.3.1 函数的正定性77容易检验下列标量函数的正定性：容易检验下列标量函数的正定性：(1)正定正定(2)半正定半正定(3)负定负定(4)半负定半负定(5)不定不定3.3.1 函数的正定性782.二次型标量函数及其正定性条件二次型标量函数及其正定性条件则称为二次型标量函数。其中则称为二次型标量函数。其中P一般表示为实对称矩阵。一般表示为实对称矩阵。塞尔维斯特准则：记塞尔维斯特准则：记P的主子行列式为的主子行列式为V(x)正定的充要条件：正定的充要条件：V(x)负定的充要条件：负定的充要条件：3.3.2 非线性系统的李雅普诺夫稳定判据若非线性连续系统的状态方程为若非线性连续系统的状态方程为79设系统的平衡状态为设系统的平衡状态为非线性连续系统的李雅普诺夫稳定判据：非线性连续系统的李雅普诺夫稳定判据：若存在一个标量函数若存在一个标量函数 ，对所有的，对所有的 有连续一阶偏导数，且有连续一阶偏导数，且 是正定的，则是正定的，则当当 为负定时，平衡状态是为负定时，平衡状态是渐近稳定渐近稳定的；的；当当 为负定的，且为负定的，且 时，平衡状态是时，平衡状态是大范围渐大范围渐近稳定近稳定的；的；当当 为半负定时，平衡状态是为半负定时，平衡状态是李雅普诺夫定义下稳定李雅普诺夫定义下稳定的；的；当当 为半负定的，且为半负定的，且 不恒等于不恒等于0时，平衡状态是时，平衡状态是大范围渐大范围渐近稳定近稳定的；的；当当 为正定时，平衡状态是为正定时，平衡状态是不稳定不稳定的。的。3.3.2 非线性系统的李雅普诺夫稳定判据80非线性离散系统的李雅普诺夫稳定判据：对于非线性离散系统非线性离散系统的李雅普诺夫稳定判据：对于非线性离散系统 若存在一个连续的标量函数若存在一个连续的标量函数 ,，对任意，对任意 ，是正定的，则当对任意是正定的，则当对任意 ，沿轨线有，沿轨线有为负定时，它的平衡状态是渐近稳定的；进一步，当为负定时，它的平衡状态是渐近稳定的；进一步，当 ，时，平衡状态则是大范围渐近稳定的；当时，平衡状态则是大范围渐近稳定的；当 是正是正定时，平衡状态是定时，平衡状态是不稳定不稳定的。的。标量函数标量函数 称为系统的李雅普诺夫函数。称为系统的李雅普诺夫函数。3.3.2 非线性系统的李雅普诺夫稳定判据81例例3.2分析非线性系统的平衡状态的稳定性。分析非线性系统的平衡状态的稳定性。解：确定平衡点解：确定平衡点即系统的平衡点为即系统的平衡点为 取李雅普诺夫函数为取李雅普诺夫函数为 负定，系统平衡状态是负定，系统平衡状态是渐近稳定渐近稳定的。的。时，时，是是大范围渐近稳定大范围渐近稳定的。的。3.3.2 非线性系统的李雅普诺夫稳定判据82例例3.3 判别系统稳定性判别系统稳定性解解（0，0）是唯一的平衡点。取