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一阶电路分析5-1 电容元件和电感元件电容元件和电感元件5-1-1 电容元件电容元件定义定义：如果一个二端元件在任一时：如果一个二端元件在任一时刻，其电荷与电压之间的关系由刻，其电荷与电压之间的关系由q-u平面上一条曲线所确定，则称此二平面上一条曲线所确定，则称此二端元件为电容元件。端元件为电容元件。代表积聚电荷、储存电场能的元件代表积聚电荷、储存电场能的元件符号和特性曲线：符号和特性曲线：+u(t)-+q(t)-i(t)线性电容线性电容特性曲线是通过坐标原特性曲线是通过坐标原点一条直线，否则为非线性电容。时点一条直线，否则为非线性电容。时不变不变特性曲线不随时间变化，否特性曲线不随时间变化，否则为时变电容元件。则为时变电容元件。uq斜率为斜率为C线性时不变电容的特性线性时不变电容的特性线性非时变电容元件的数学表达式：线性非时变电容元件的数学表达式：系数系数 C 为常量，为直线的斜率，为常量，为直线的斜率，称为电容，表征积聚电荷的能力。称为电容，表征积聚电荷的能力。单位是法单位是法 拉拉,用用F F表示。表示。电容元件的电压电流关系电容元件的电压电流关系 电容的电流与其电压对时间的变化率电容的电流与其电压对时间的变化率成正比。假如电容的电压保持不变，成正比。假如电容的电压保持不变，则电容的电流为零。电容元件相当于则电容的电流为零。电容元件相当于开路开路(i=0)。1.电容是动态元件电容是动态元件电压电流参考方向关联时，电容吸收功率电压电流参考方向关联时，电容吸收功率 p p 可正可负。当可正可负。当 p p 0 0 时，电容时，电容吸收功率（吞），储存电场能量增加；吸收功率（吞），储存电场能量增加；当当p p 0 0 0 时，时，w(t)不可能为负值，电不可能为负值，电容不可能放出多于它储存的能量，这容不可能放出多于它储存的能量，这说明电容是一种储能元件。说明电容是一种储能元件。上式也可以理解为什么电容电压上式也可以理解为什么电容电压不能轻易跃变，因为电压的跃变要伴不能轻易跃变，因为电压的跃变要伴随储能的跃变，在电流有界的情况下，随储能的跃变，在电流有界的情况下，是不可能造成电场能发生跃变和电容是不可能造成电场能发生跃变和电容电压发生跃变的电压发生跃变的。例例1 1 C=4F=4F，其上电压如图其上电压如图(b)(b)，试求，试求iC C(t t),),pC C(t t)和和 wC C(t t),),并画出波形。并画出波形。+uC-+uS-iCCuS1-11 2 3 4 t(b)解：解：uS1-11 2 3 4 t(b)iC4-41 2 3 4 tpC4-41 2 3 4 twC2 0 1 2 3 4 t解：解：例例2 2 C =2F=2F，电流如图，电流如图(b)(b)，初始电压，初始电压u(0)=0.5V,(0)=0.5V,试求试求 时电容电压时电容电压,并画并画出波形。出波形。+uC-iSiCCiS0 1 t(b)1uC 0 1 t1 0.55-1-2 电感元件电感元件代表建立磁场、储存磁场能的元件代表建立磁场、储存磁场能的元件定义定义：如果一个二端元件在任一时刻，：如果一个二端元件在任一时刻，其磁链与电流之间的关系由其磁链与电流之间的关系由 平面上一条曲线所确定，则称此二端平面上一条曲线所确定，则称此二端 元件为电感元件。元件为电感元件。线性电感线性电感特性曲线是通过坐标原特性曲线是通过坐标原点一条直线，否则为非线性；非时变点一条直线，否则为非线性；非时变特性曲线不随时间变化，否则为特性曲线不随时间变化，否则为时变电感元件。时变电感元件。符号和特性曲线：符号和特性曲线：i 斜率为斜率为L线性非时变电感的特性线性非时变电感的特性+-(t)i(t)Lu(t)线性非时变电感元件的数学表达式：线性非时变电感元件的数学表达式：系数系数L为常量，直线的斜率，称为为常量，直线的斜率，称为电感，表征产生磁链的能力。电感，表征产生磁链的能力。单位是亨单位是亨 利利,用用H H表示。表示。电感元件的电压电流关系电感元件的电压电流关系 电感的电压与其电流对时间的变化率电感的电压与其电流对时间的变化率成正比。假如电感的电流保持不变，成正比。假如电感的电流保持不变，则电感的电压为零。电感元件相当于则电感的电压为零。电感元件相当于短路短路(u=0)。1.电感是动态元件电感是动态元件2.电感是惯性元件电感是惯性元件u 有限时，电流变化率有限时，电流变化率 必然有限；必然有限；电流只能连续变化而不能跳变。电流只能连续变化而不能跳变。3.电感是记忆元件电感是记忆元件电感电流电感电流i有有“记忆记忆”电压全部历史的电压全部历史的作用。取决于电压作用。取决于电压 的值。的值。1.t0 时刻电感的初始电流时刻电感的初始电流;2.t t0 后电压作用的结果后电压作用的结果.电压电流参考方向关联时，电感吸收功率电压电流参考方向关联时，电感吸收功率 p p 可正可负。当可正可负。当 p p 0 0 时，电感时，电感吸收功率吸收功率(吞吞)，储存磁场能量增加；，储存磁场能量增加；当当p p 0 0 时，时，w(t)不可能为负值，电感不可能为负值，电感不可能放出多于它储存的能量，这说不可能放出多于它储存的能量，这说明电感是一种储能元件。明电感是一种储能元件。上式也可以理解为什么电感电流上式也可以理解为什么电感电流不能轻易跃变，因为电流的跃变要伴不能轻易跃变，因为电流的跃变要伴随储能的跃变，在电压有界的情况下，随储能的跃变，在电压有界的情况下，是不可能造成磁场能发生跃变和电感是不可能造成磁场能发生跃变和电感电流发生跃变的电流发生跃变的。例例3 3 L L=5=5 H H，求电感电压，求电感电压u u(t t),),并画出波并画出波形图。形图。解：解：例例4 4 L=5mH，求电感电流。并画出，求电感电流。并画出波形图。波形图。L+uS-+u-i(a)uS/mV10-100 1 2 3 t(b)解：解：当当00t t 1s1s时，时，u(t t)=10mV)=10mV，当当1s1st t 2s2s时，时，u(t t)=-10mV)=-10mV，当当2s2st t 3s3s时，时，u(t t)=10mV)=10mV，根据以上结果，可画出电感电流根据以上结果，可画出电感电流的波形如图的波形如图(c)(c)。当当3s3st t 4s4s时，时，u(t t)=-10mV)=-10mV，u/mV10-100 1 2 3 t(b)iL20 1 2 3 t(c)实际使用的电感线圈类型很多，可以实际使用的电感线圈类型很多，可以用一个电感或一个电感与电阻的串联作用一个电感或一个电感与电阻的串联作为电路模型。在工作频率很高时，还需为电路模型。在工作频率很高时，还需要增加一个电容来构成线圈的电路模型。要增加一个电容来构成线圈的电路模型。5-1-3 电容器和电感器的模型电容器和电感器的模型电容器除了标明容量外，还须说明它的电容器除了标明容量外，还须说明它的工作电压，电解电容还须标明极性。漏工作电压，电解电容还须标明极性。漏电很小，工作电压低时，可用一个电容电很小，工作电压低时，可用一个电容作为它的电路模型。当漏电不能忽略时，作为它的电路模型。当漏电不能忽略时，需用一个电阻与电容的并联作为电路模需用一个电阻与电容的并联作为电路模型。工作频率很高时，还需要增加一个型。工作频率很高时，还需要增加一个电感来构成它的电路模型电感来构成它的电路模型 电电阻阻，电电容容和和电电感感是是三三种种最最基基本本的的电电路路元元件件。它它们们是是用用两两个个电电路路变变量量之之间间的的关关系系来来定定义义的的：电电压压和和电电流流间间存存在在确确定定关关系系的的元元件件是是电电阻阻元元件件；电电荷荷和和电电压压间间存存在在确确定定关关系系的的元元件件是是电电容容元元件件；磁磁链链和和电电流流间间存存在在确确定定关关系系的的元元件是电感元件。这些关系从下图可以清楚看到。件是电感元件。这些关系从下图可以清楚看到。四个基本变量四个基本变量间定义的另外间定义的另外两个关系是两个关系是四个基本四个基本电路变量电路变量之间的关之间的关系图系图 5 52 2 换路定则及初始值计算换路定则及初始值计算换路换路：电路元件连接方：电路元件连接方式或参数的突然改变。式或参数的突然改变。+uS-+uC(0)-RCt=0换路前瞬间换路前瞬间 换路后换路后 t=0 t=0+uC(0)、iL(0)；uC(0+)、iL(0+)初始初始状态状态 ；初始；初始值值状态状态：（某时刻）电容电压和电感电流：（某时刻）电容电压和电感电流(0+状态状态)(0 状态状态)瞬态分析（动态分析）：分析动态电瞬态分析（动态分析）：分析动态电路从换路开始直至进入稳态全过程的路从换路开始直至进入稳态全过程的电压及电流的变化规律。电压及电流的变化规律。分析步骤分析步骤：1 依据电路两类约束，以所求响应依据电路两类约束，以所求响应为变量，列换路后的微分方程；为变量，列换路后的微分方程；2 找所须初始条件，解微分方程。找所须初始条件，解微分方程。换路定则换路定则(或或开闭定理开闭定理)：1.若电容中电流不为无穷大，则电容若电容中电流不为无穷大，则电容电压不会跳变，即电压不会跳变，即:uC(0+)=uC(0-)；2.若电感中电压不为无穷大，则电感若电感中电压不为无穷大，则电感电流不会跳变，即电流不会跳变，即:iL(0+)i L(0-)。说说 明明：1.电路中无全电容回路电路中无全电容回路(C-C,uS-C)，或或 无全电感割集无全电感割集(L-L,iS-L)；2.只适合只适合 uC和和 iL,它们是联系换路它们是联系换路前后的唯一纽带，其他变量可能会跳前后的唯一纽带，其他变量可能会跳变；变；.实质是电荷守恒，磁链守恒。实质是电荷守恒，磁链守恒。元件电容电感元件电容电感数学式数学式 uC(0+)=uC(0-)iL(0+)=i L(0-)qC(0+)=qC(0-)L(0+)=L(0-)等效图等效图t=0=0-t=0=0+uC(0-)=U0 -C+U0 -应用条件应用条件 iC有限有限 uL有限有限 LiL(0-)=I0 I0初始值的计算初始值的计算：1.求换路前初始状态求换路前初始状态 uC(0)及及 iL(0);2.由换路定则，求由换路定则，求uC(0+)及及 iL(0+);3.画画t=0+时的等效电路电容用电压时的等效电路电容用电压等于等于uC(0+)的电压源替代；电感用的电压源替代；电感用iL(0+)的电流源替代；的电流源替代；.求待求电压和电流的初始值。求待求电压和电流的初始值。例例 开关闭合已久开关闭合已久,求电容初始值求电容初始值u uC C(0(0+)解：由于开关闭合已久，由直流电源驱解：由于开关闭合已久，由直流电源驱动的电路中，各电压电流均为不随时间动的电路中，各电压电流均为不随时间变化的恒定值，造成电容电流等于零，变化的恒定值，造成电容电流等于零，电容相当于开路。得电容相当于开路。得t=0等效图等效图开关断开时，在电阻开关断开时，在电阻R R2 2和和R R3 3不为零的情不为零的情况下，电容电流为有限值，电容电压不况下，电容电流为有限值，电容电压不能跃变，即：能跃变，即：+uC(0-)-+US-R1R2R3t=0等效图等效图例例6 6 开关闭合前电路已稳定开关闭合前电路已稳定,uS S=10V,10V,R1 1=30=30,R2 2=20=20,R3 3=40=40。求开关闭合求开关闭合时各电压、电流的初始值时各电压、电流的初始值.LR R1 1R R2 2R R3 3+vC-Ct=0+uS-iL解：解：(1)求初始状态求初始状态uC(0)及及 iL(0)由于由于t00时电时电路已稳定路已稳定,电电感看作短路，感看作短路，电容看作开电容看作开路，作路，作t=0-等等效图效图R R1 1R R2 2R R3 3+uC(0-)-t=0-图图+uS-iL(0-)R R1 1R R2 2R R3 3 +uC(0+)-t=0+图图+uS-iL(0+)+uL(0+)-+u1(0+)-i2(0+)iC(0+)i3(0+)(2)(2)由换路定则由换路定则，,作作t=0+等效图等效图(3)求初始值求初始值R R1 1R R2 2R R3 3 +4V -t=0+图图+uS-0.2 A+uL(0+)-+u1(0+)-i2(0+)iC(0+)i3(0+)例例7 7 开关打开前电路已稳定开关打开前电路已稳定,求初始值求初始值解：解：(1)求初始状态求初始状态uC(0)及及 iL(0)1H 4 4+uC-0.5Ft=0+10V-iL2 2 4 4 i1t00t0的电容电压的电容电压 解解：在开关闭合瞬间，电容电压不：在开关闭合瞬间，电容电压不能跃变，则能跃变，则连接于电容两端的电阻等效为连接于电容两端的电阻等效为 因此因此 假如还要计算电容中的电流假如还要计算电容中的电流iC(t)，则，则 开关连接于开关连接于1 1端已很久，电感中的电流端已很久，电感中的电流等于等于I0 0，换路后的电路如图，换路后的电路如图(b)(b)。在开关。在开关转换瞬间，由于电感电压有界，电感电转换瞬间，由于电感电压有界，电感电流不能跃变，即流不能跃变，即iL L(0(0+)=)=iL L(0(0-)=)=I0 0 5-3-2 5-3-2 RL电路的零输入响应电路的零输入响应 列方程列方程:得到以下微分方程得到以下微分方程 微分方程的通解为微分方程的通解为 代元件代元件VCRVCR，得，得代入初始条件代入初始条件iL L(0(0+)=I)=I0 0求得：求得：最后得到电感电流和电感电压为最后得到电感电流和电感电压为 其中其中 =GL=L/R,具有时间的量纲，具有时间的量纲，称它为称它为RLRL电路的电路的时间常数时间常数。其波形如下图。结果表明，其波形如下图。结果表明，RL电路零电路零输入响应也是按指数规律衰减，衰减输入响应也是按指数规律衰减，衰减的快慢取决于常数的快慢取决于常数 。例例1111 开关开关S S1 1连连1 1端已很久，端已很久，t=0=0时时S S1 1倒倒向向2 2端，开关端，开关S S2 2也同时闭合。求也同时闭合。求t 0 0时时的的iL L(t)和和uL L(t)。解：换路瞬间，电感电压有界，电感解：换路瞬间，电感电压有界，电感电流不能跃变，故电流不能跃变，故 图图(b)(b)电路的时间常数为电路的时间常数为 电感电流和电感电压为电感电流和电感电压为 一阶电路零输入响应一阶电路零输入响应各电压电流各电压电流均从其初始值开始，按照指数规律衰均从其初始值开始，按照指数规律衰减到零，一般表达式为减到零，一般表达式为 5-3-3 5-3-3 一阶电路零输入响应的一般公式一阶电路零输入响应的一般公式 rzizi(t)一阶电路任意需求的零输入一阶电路任意需求的零输入响应响应rzizi(0(0+)响应的初始值响应的初始值 时间常数时间常数例例1212 已知已知iL L(0(0-)=1.5A,)=1.5A,L=0.5H,=0.5H,求求i1 1(t)(t)和和uL L(t)(t)。解：（解：（1 1）由换）由换路定则，得：路定则，得：+uL-LiL-4i1 +i15 10（2）画）画0+图，求初始值图，求初始值i1 1(0+)和和uL L(0+)。+uL(0+)-4i1(0+)+i1(0+)5 10 1.5A网孔法，得：网孔法，得：（3）求时间常数：）求时间常数：先求等效电阻，用先求等效电阻，用加压求流法加压求流法+u-4i1 +i15 10 i消去消去i1得：得：所以所以（4）初始值和时间常数代入下式）初始值和时间常数代入下式得结果得结果5-4 5-4 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应 零状态响应：初始状态为零，仅零状态响应：初始状态为零，仅由独立电源由独立电源(称为外激励或输入称为外激励或输入)引起的响应。引起的响应。这里仅讨论一阶电路在直流激励这里仅讨论一阶电路在直流激励下的零状态响应下的零状态响应图图示示电电路路中中的的电电容容原原来来未未充充电电，uC C(0(0-)=0)=0。换换路路时时，由由于于电电容容电电流流有有界界，电电容容电电压压不不会会跃跃变变，uC C(0(0+)=)=uC C(0(0-)=0)=05-4-1 RC5-4-1 RC电路的零状态响应电路的零状态响应 iCCR+-uC+-USt=0以电容电压为变量，以电容电压为变量，列微分方程列微分方程 这是一个常系数线性非齐次一阶微分这是一个常系数线性非齐次一阶微分方程。其解由两部分组成，即方程。其解由两部分组成，即 iCCR+-uC+-US换路后如右图换路后如右图UChCh(t)是与齐次微分方程相应的通是与齐次微分方程相应的通解，其形式与零输入响应相同，即解，其形式与零输入响应相同，即 uCpCp(t)是是非非齐齐次次微微分分方方程程的的特特解解。一一般般来来说说，它它的的模模式式与与输输入入函函数数相相同同。对对于于直流激励的电路，它是一个常数，令直流激励的电路，它是一个常数，令将它代入微分方程，求得将它代入微分方程，求得 因而完全解为因而完全解为 式中的常数式中的常数A A由初始条件确定。由初始条件确定。得零状态响应为得零状态响应为 波形图波形图 0.632USUSUS零状态响应变化的快慢也取决于时间常零状态响应变化的快慢也取决于时间常数数 =RC。越大，充电过程越长。越大，充电过程越长。电容电压的特解与激励形式相同电容电压的特解与激励形式相同强强制响应分量。直流激励的一阶电路，它制响应分量。直流激励的一阶电路，它就是就是t t时的电容电压，即时的电容电压，即UCpCp(t)=)=UC C()稳态响应分量。稳态响应分量。通解由激励引起，响应形式与激励无关，通解由激励引起，响应形式与激励无关，反映电路自身特性反映电路自身特性固有响应分量或固有响应分量或自然响应分量。有耗电路，自然响应分量。有耗电路，t时这一时这一分量趋于分量趋于0 0 暂态响应分量。暂态响应分量。电阻在电容充电过程中消耗的总能量：电阻在电容充电过程中消耗的总能量：结果表明：与充电结束时电容所储存结果表明：与充电结束时电容所储存的电场能量相同。充电效率的电场能量相同。充电效率5050图图(a)(a)电路换路前已稳定，即电路换路前已稳定，即iL L(0(0-)=0)=0。t=0=0时开关由时开关由a a倒向倒向b b，如图，如图(b)(b)。由于电。由于电感电压有界时，电感电流不能跃变，即感电压有界时，电感电流不能跃变，即iL L(0(0+)=)=iL L(0(0-)=0)=0。因此是零状态问题。因此是零状态问题。5-4-2 RL5-4-2 RL电路的零状态响应电路的零状态响应 图图(b)(b)电路列方程电路列方程 这是常系数非齐次一这是常系数非齐次一阶微分方程。其解与阶微分方程。其解与RCRC电路相似，即电路相似，即 =L/R是该电路的时间常数。常数是该电路的时间常数。常数B由由初始条件确定，即由下式初始条件确定，即由下式 +uL-LiLiRRIS(b)最后得最后得RLRL一阶电路的零状态响应为一阶电路的零状态响应为 波形波形曲线曲线uL(t)0.632IS直流激励下零状态电路的动态过程是直流激励下零状态电路的动态过程是动态元件的充电过程。一般表达式为动态元件的充电过程。一般表达式为 5-4-3 5-4-3 一阶电路电容电压、电感电流一阶电路电容电压、电感电流零状态响应的一般公式零状态响应的一般公式 uCzSCzS()、iLzSLzS()稳态值或终值稳态值或终值 时间常数时间常数例例13 13 图图(a)(a)电路原已稳定，求电路原已稳定，求t t 0 0的的uC C(t),(t),iC C(t)(t)及及i1 1(t)(t)。uCuCUOC解：先求等效戴维南电路，得图解：先求等效戴维南电路，得图(b)(b)，其，其中中 当电路达到新的稳定状态时，电容相当电路达到新的稳定状态时，电容相当开路，可得当开路，可得 图图(a)(a)用用KCL可得可得 例例14 14 图图(a)(a)电路原已稳定，求电路原已稳定，求 t 0 0 的电感电流和电感电压。的电感电流和电感电压。解：换路后如图解：换路后如图(b)(b)，开关闭合瞬间电，开关闭合瞬间电感电压有界，电感电流不能跃变，即感电压有界，电感电流不能跃变，即 将图将图(b)(b)用诺顿等用诺顿等效电路代替，得效电路代替，得到图到图(c)(c)电路。电路。求得时间常数为求得时间常数为 +uL-8 iL0.4H1.5A(c)ab因此因此例例1515 图图(a)(a)为一继电器延时电路模型。继电为一继电器延时电路模型。继电器参数：器参数：R=100=100，L=4H=4H，当线圈电流达到，当线圈电流达到6mA6mA时，继电器动作，将触头接通。从开关闭时，继电器动作，将触头接通。从开关闭合到触头接通时间称为延时时间。为改变延合到触头接通时间称为延时时间。为改变延时时间，在电路中串联一个电位器，阻值从时时间，在电路中串联一个电位器，阻值从零到零到900900 间变化。若间变化。若US S=12V=12V，试求电位器，试求电位器电阻值变化所引起的延时时间的变化范围电阻值变化所引起的延时时间的变化范围 US解：开关闭合前，电路处于零状态，解：开关闭合前，电路处于零状态，iL L(0(0-)=0)=0。由换路定则得：由换路定则得：iL L(0(0+)=)=iL L(0(0-)=0)=0。用图。用图(b)(b)所示诺顿等效电路代替，其中所示诺顿等效电路代替，其中 电感电流的表达式为电感电流的表达式为 设设t0 0为延时时为延时时间，则有间，则有 由此求得由此求得 当当Rw w=0=0 时时,=0.04s 当当Rw w=900=900 时时,=0.004s 作业作业10：p1535-75-85-9（c、d）5-10作业作业11：p1545-125-13(a)5-14 （d、e、f）5-195-20