教学课件5.1不定积分（合）.pptx

山东理工职业学院 高等数学不 定 积 分第五章5.1 5.1 不定积分的概念和性质不定积分的概念和性质分析分析:(1):(1)边际成本即成本函数的导数边际成本即成本函数的导数;(2)(2)固定成本固定成本50005000元即产量为零时的成本元即产量为零时的成本(引例引例)某工厂生产某种产品，已知每月生产的产品的边际某工厂生产某种产品，已知每月生产的产品的边际成本是成本是,且固定成本是且固定成本是5000元元.求总成本求总成本C与月产量与月产量 的函数关系的函数关系.工作中遇到这样的经济问题：工作中遇到这样的经济问题：?已知一个函数的已知一个函数的导函数，如何求导函数，如何求这个函数？这个函数？第五章 乘法乘法 1.原函数定义原函数定义 微分法微分法 逆运算逆运算 积分法积分法 在微分学中在微分学中,我们所研究的我们所研究的问题是寻求已知函数的导数问题是寻求已知函数的导数.但在许多实际问题中但在许多实际问题中,常常常常需要研究相反问题需要研究相反问题,就是已知就是已知函数的导数函数的导数,求原来的函数求原来的函数.除法除法 逆运算逆运算5.1 5.1 不定积分的概念和性质不定积分的概念和性质第五章 积分法积分法 逆运算逆运算 微分法微分法 微分法是研究如何从已微分法是研究如何从已知函数求出其导函数知函数求出其导函数.如已知函数如已知函数要求它的导函数要求它的导函数:还会遇到的问题是还会遇到的问题是:已已知函数知函数 ,要求一要求一个函数个函数 ,使其导函数使其导函数恰是恰是:已知函数已知函数 ,要求要求它的导函数它的导函数 已知导函数已知导函数 ,要要还原函数还原函数 逆问题逆问题5.1 5.1 不定积分的概念和性质不定积分的概念和性质第五章5.1 5.1 不定积分的概念和性质不定积分的概念和性质原函数举例原函数举例因为因为 ,定义定义1设函数设函数 和和 在区间在区间 上有定义，若对上有定义，若对 ，有有 或或则称函数则称函数 是是 在区间在区间 上的一个原函数上的一个原函数.又因为又因为 ,所以所以 是是 在区间在区间 上上的一个原函数的一个原函数.所以所以 是是 在区间在区间 上上的一个原函数的一个原函数.你明白了吗？你明白了吗？第五章v定理定理1（原函数存在定理）（原函数存在定理）如果函数如果函数 f(x)在区间在区间 I 上连续上连续,则它在该区间上存在原函数则它在该区间上存在原函数.注：连续函数一定有原函数注：连续函数一定有原函数.每个初等函数在其定义区间上都有原函数每个初等函数在其定义区间上都有原函数.提问：在什么条件下提问：在什么条件下,函数的原函数存在？函数的原函数存在？如果存在，是否只有一个？如果存在，是否只有一个？5.1 5.1 不定积分的概念和性质不定积分的概念和性质第五章v原函数有如下特性：原函数有如下特性：（1）如如果果函函数数F(x)是是函函数数f(x)在在区区间间I上上的的一一个个原原函函数数,那那么么函函数族数族F(x)C（C为任意常数）也是函数为任意常数）也是函数f(x)的原函数；的原函数；（2）函数函数 f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数的任意两个原函数之间只差一个常数,即：如果即：如果(x)和和F(x)都是都是f(x)的原函数的原函数,则则 (x)F(x)C (C为某个常数为某个常数).是是 在区间在区间 上上的一个原函数的一个原函数.5.1 5.1 不定积分的概念和性质不定积分的概念和性质第五章2.不定积分不定积分 函数函数f(x)的所有原函数称为的所有原函数称为f(x)的不定积分的不定积分,定义定义2根据定义根据定义,如果如果 F(x)是是 f(x)的一个原函数的一个原函数,那么那么 F(x)C 就是就是 f(x)的不定积分的不定积分,即即积积分分号号被被积积函函数数被被积积表表达达式式积积分分变变量量积积分分常常数数5.1 5.1 不定积分的概念和性质不定积分的概念和性质记作记作第五章5.1 5.1 不定积分的概念和性质不定积分的概念和性质 是是 的一个原函数的一个原函数 是是 的一个原函数的一个原函数如：如：例例1 求求.解：解：因为因为 ，即，即 是是 的一个原函数，的一个原函数，所以所以第五章5.1 5.1 不定积分的概念和性质不定积分的概念和性质解：解：因为因为故故 例例2 求求 所以所以分析：与 有关的求导公式第五章 例例3 3 求函数 的不定积分 合并上面两式合并上面两式,得到得到 解：解：5.1 5.1 不定积分的概念和性质不定积分的概念和性质第五章5.1 5.1 不定积分的概念和性质不定积分的概念和性质解：解：因为因为 ,所以所以 (引例引例)某工厂生产某种产品，已知每月生产的产品的某工厂生产某种产品，已知每月生产的产品的边际成本是边际成本是 ,且固定成本是且固定成本是5000元元.求总成本求总成本 与月产量与月产量 的函数关系的函数关系.=?=?不定积分的运算第五章从几何上看从几何上看,函数函数 的任意一个原函数的任意一个原函数 的图像是一条曲线；的图像是一条曲线；不定积分不定积分 代表一族曲线代表一族曲线,称为函数称为函数 的的积分曲线族积分曲线族.不定积分不定积分的几何意义的几何意义5.1 5.1 不定积分的概念和不定积分的概念和性质性质-几何意义、性质几何意义、性质每条曲线上相同每条曲线上相同横坐标点处的切横坐标点处的切线的斜率相等线的斜率相等第五章解解 由题意知由题意知此曲线的方程为此曲线的方程为设所求曲线方程为设所求曲线方程为：xyo112例例4.求过求过 点，且在任意一点点，且在任意一点 处切线的斜率为处切线的斜率为 的的 曲线方程曲线方程.又曲线通过点又曲线通过点 ，5.1 5.1 不定积分的概念和不定积分的概念和性质性质-几何意义、性质几何意义、性质第五章不定积分不定积分的性质的性质性质性质1 求不定积分与求导数求不定积分与求导数(或微分或微分)互为逆运算互为逆运算性质性质2 被积函数中不为零的常数因子可以提到积分符号的前面被积函数中不为零的常数因子可以提到积分符号的前面性质性质3 两个函数代数和的不定积分等于它们不定积分的代数和两个函数代数和的不定积分等于它们不定积分的代数和（可推广）（可推广）5.1 5.1 不定积分的概念和不定积分的概念和性质性质-几何意义、性质几何意义、性质第五章3.若 的一个原函数为 ，则 （）1.若若 ，则则 2.若 ，则 课课 堂堂 练练 习习（A）（B）（C）（D）析：根据不定积分的定义，析：根据不定积分的定义，B B析：析：5.1 5.1 不定积分的概念和不定积分的概念和性质性质-几何意义、性质几何意义、性质第五章4.设 是区间 内连续函数 的两个不同的原函数，且 ，则在区间 内必有（）.（A）（B）析：函数析：函数 f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数的任意两个原函数之间只差一个常数5.设曲线通过点 ,且其上任意一点处的切线斜率等于该点横坐标的平方,求此曲线的方程.（C）（D）D D解：设曲线的方程为：即由题意：所以又曲线过点故曲线的方程为课课课课 堂堂堂堂 练练练练 习习习习5.1 5.1 不定积分的概念和不定积分的概念和性质性质-几何意义、性质几何意义、性质第五章基基本本积积分分公公式式(k是常数是常数)说明：说明：5.2 5.2 不定积分的基本公式和直接积分法不定积分的基本公式和直接积分法第五章5.2 5.2 不定积分的基本公式和直接积分法不定积分的基本公式和直接积分法第五章熟熟 记记5.2 5.2 不定积分的基本公式和直接积分法不定积分的基本公式和直接积分法第五章直接直接积分法积分法 直接利用基本积分公式和不定积分的运算性质直接利用基本积分公式和不定积分的运算性质,有时须先将被积函数进行恒等变形有时须先将被积函数进行恒等变形,便可求得一些便可求得一些函数的不定积分函数的不定积分.5.2 5.2 不定积分的基本公式和直接积分法不定积分的基本公式和直接积分法例例1.求求解：解：不要忘记常数不要忘记常数C C第五章例例2.求求解：解：5.2 5.2 不定积分的基本公式和直接积分法不定积分的基本公式和直接积分法第五章5.2 5.2 不定积分的基本公式和直接积分法不定积分的基本公式和直接积分法例例3.求求解：解：例例4.求解：解：第五章 例5 例6 5.2 5.2 不定积分的基本公式和直接积分法不定积分的基本公式和直接积分法第五章例7 5.2 5.2 不定积分的基本公式和直接积分法不定积分的基本公式和直接积分法第五章5.2 5.2 不定积分的基本公式和直接积分法不定积分的基本公式和直接积分法注意：注意：当不定积分不能直接应用基本积分当不定积分不能直接应用基本积分表和不定积分的性质进行计算时，需先将被积表和不定积分的性质进行计算时，需先将被积函数化简或变形再进行计算计算的结果是否函数化简或变形再进行计算计算的结果是否正确，只需对结果求导，看其导数是否等于被正确，只需对结果求导，看其导数是否等于被积函数积函数例如，要检查例例如，要检查例3 3的结果是否正确，只需计算的结果是否正确，只需计算，就可以肯定计算结果一定正确就可以肯定计算结果一定正确第五章5.2 5.2 不定积分的基本公式和直接积分法不定积分的基本公式和直接积分法课课 堂堂 练练 习习1.求解解2.求解解第五章3.求解解解：解：课课 堂堂 练练 习习4.求5.2 5.2 不定积分的基本公式和直接积分法不定积分的基本公式和直接积分法第五章 5.3 换元积分法换元积分法5.3.1第一换元积分法（凑微分法）第一换元积分法（凑微分法）5.3.2第二换元积分法第二换元积分法5.3 换元积分法换元积分法-第一换元积分法（凑微分）第一换元积分法（凑微分）第五章这是因为这是因为例如例如,所以所以,的原函数的原函数.不是不是 换元换元 积分法积分法 要解决上述问题要解决上述问题,可进行适当的变量替换可进行适当的变量替换 在利用基本积分公式对被积函数在利用基本积分公式对被积函数 求不定积分求不定积分 时时,要求积分变量要求积分变量 与被积函数与被积函数 中的元中的元(即即 )必须严格对必须严格对应应.只有这样才能直接积分只有这样才能直接积分.否则否则,就不能利用直接积分法就不能利用直接积分法.5.3 换元积分法换元积分法-第一换元积分法（凑微分）第一换元积分法（凑微分）第五章这是因为这是因为例如例如,的原函数的原函数.不是不是 换元换元 积分法积分法 所以所以,令令则则被积函数被积函数被积表达式被积表达式所以所以,将将 代回代回 换元换元 积分法积分法 5.3.15.3.1第一换元积分法第一换元积分法第五章 换元换元 积分法积分法 令令则则由于由于即即 是是 的原函数的原函数.所求不定积分是正确的所求不定积分是正确的.上述方法具有普遍性上述方法具有普遍性是否是否正正 确确呢呢?5.3.15.3.1第一换元积分法第一换元积分法第五章=变量替换变量替换=用积分公式用积分公式=变量还原变量还原 第一换元第一换元 积分法积分法 设设 若若 可导可导,则有则有5.3.15.3.1第一换元积分法第一换元积分法第五章对对照照案案例例一一换元积分法公式换元积分法公式 这是这是 的函数的函数 案例的计算过程案例的计算过程 这是这是 的函数的函数 的导数的导数 的导数的导数 关键是找到关键是找到 ，使使 与与 结合凑结合凑成微分成微分凑微分法凑微分法 5.3.15.3.1第一换元积分法第一换元积分法第五章恰是恰是的导数的导数.例例1 1求求解解被积函数是两个因子被积函数是两个因子:和和 的乘积的乘积 注意到注意到视视则则因子因子是是的函数的函数 因子因子由此由此 正是正是 形式形式.设设则则于是于是可用换元可用换元 积分法积分法 5.3.15.3.1第一换元积分法第一换元积分法第五章例例2 2求求解解被积函数是两个因子被积函数是两个因子:和和 的乘积的乘积 视视于是被积函数具有形式于是被积函数具有形式 可用换元可用换元 积分法积分法 因因本例可不设出中间变量本例可不设出中间变量 ,按如下格式书写按如下格式书写:5.3.15.3.1第一换元积分法第一换元积分法第五章例例3 3求求解解5.3.15.3.1第一换元积分法第一换元积分法第五章例例4 4求求解解因为因为，而，而所以所以5.3.15.3.1第一换元积分法第一换元积分法第五章1.下列各题求积方法有何不同下列各题求积方法有何不同?思思考考与与练练习习5.3.15.3.1第一换元积分法第一换元积分法第五章应用第一类换元法的常见的积分类型如下：应用第一类换元法的常见的积分类型如下：1.1.；2.2.；3.3.；4.4.；5.3.15.3.1第一换元积分法第一换元积分法第五章应用第一类换元法的常见的积分类型如下：应用第一类换元法的常见的积分类型如下：1.1.；2.2.；3.3.；4.4.；5.3.15.3.1第一换元积分法第一换元积分法第五章6.6.，5.5.；7.7.8.8.5.3.15.3.1第一换元积分法第一换元积分法第五章第一类换元法解决的问题第一类换元法解决的问题难求难求易求易求若所求积分若所求积分易求易求则得第二类换元积分法则得第二类换元积分法.难求难求5.3.25.3.2第二换元积分法第二换元积分法第五章设函数设函数 连续，连续，具有连续的导数具有连续的导数 ，且且 ，是其反函数。是其反函数。定理定理2若若则则称为不定积分的称为不定积分的第二类换元积分公式第二类换元积分公式5.3.25.3.2第二换元积分法第二换元积分法第五章第二换元法的步骤第二换元法的步骤对于被积函数含有根式的不定积分对于被积函数含有根式的不定积分,常用第二换元法常用第二换元法,引入适当的代换引入适当的代换,以去掉根号以去掉根号.说明说明5.3.25.3.2第二换元积分法第二换元积分法第五章例例 求求解解 令5.3.25.3.2第二换元积分法第二换元积分法第五章根式根式代换代换例如例如 求求解解 令5.3.25.3.2第二换元积分法第二换元积分法第五章例例1 1求求设设 ，则，则 ，解解5.3.25.3.2第二换元积分法第二换元积分法第五章例例2 求解解 令5.3.25.3.2第二换元积分法第二换元积分法第五章思思考考与与练练习习1.下列积分应如何换元才使积分简便?令令令5.3.25.3.2第二换元积分法第二换元积分法第五章三三角代换角代换5.3.25.3.2第二换元积分法第二换元积分法第五章 例例1.求求解解:令令则则 原式原式5.3.25.3.2第二换元积分法第二换元积分法第五章例例2.求求解解:令令则则 原式原式5.3.25.3.2第二换元积分法第二换元积分法第五章小小结结1.第二类换元法常见类型第二类换元法常见类型:令令令令令令5.3.25.3.2第二换元积分法第二换元积分法第五章常用常用基本积分公式的补充基本积分公式的补充 小小结结5.3.25.3.2第二换元积分法第二换元积分法第五章小小结结5.3.25.3.2第二换元积分法第二换元积分法第五章分部积分公式分部积分公式设设函数函数u u(x)及及v v(x)具有连续导数具有连续导数.那么那么,(uv)u v uv,移项得移项得 uv(uv)u v.对这个等式两边求不定积分对这个等式两边求不定积分,得得 分部分部积分积分公式公式5.4 5.4 分部积分法分部积分法或或第五章5.4 5.4 分部积分法分部积分法（1 1）分部积分公式主要解决被积函数是两类函数乘积）分部积分公式主要解决被积函数是两类函数乘积的的 不定积分不定积分（2 2）使用分部积分公式的关键是恰当地选择）使用分部积分公式的关键是恰当地选择 和和 ，一般地一般地,公式使用时，应注意：公式使用时，应注意：易求易求,且新积分且新积分 比原积分比原积分 易求易求.第五章 例1 解：设 如果令如果令 于是则计算更计算更复杂复杂则则5.4 5.4 分部积分法分部积分法第五章设设 ，例2 解：试一试：5.4 5.4 分部积分法分部积分法第五章当被积函数为当被积函数为幂函数与三角函数之积幂函数与三角函数之积时时,如如:要用分部积分公式要用分部积分公式.并选幂函数为并选幂函数为即即说明说明对某些不定积分来说对某些不定积分来说,有时需用连续用若干次分部积分公式有时需用连续用若干次分部积分公式.当被积函数为当被积函数为幂函数与指数函数之积幂函数与指数函数之积时时,如如:要用分部积分公式要用分部积分公式.并选幂函数为并选幂函数为即即5.4 5.4 分部积分法分部积分法第五章 例3 求：求：被积函数可看作 与 1 1 的乘积解：解：5.4 5.4 分部积分法分部积分法第五章 例4 解：解：5.4 5.4 分部积分法分部积分法第五章 例5 解：解：5.4 5.4 分部积分法分部积分法第五章当被积函数为当被积函数为幂函数与对数函数、反三角函数之积幂函数与对数函数、反三角函数之积时时,如如:要用分部积分公式要用分部积分公式.并选对数函数、反三角函数为并选对数函数、反三角函数为说明说明当被积函数当被积函数单纯为对数函数单纯为对数函数,反三角函数反三角函数时时,也用分部积分公式也用分部积分公式5.4 5.4 分部积分法分部积分法第五章 解 例6 5.4 5.4 分部积分法分部积分法因此因此第五章当被积函数为当被积函数为指数函数与指数函数与三角函数之积三角函数之积时时,如如:要用分部积分公式要用分部积分公式.说明说明连续两次积分，后解方程得出连续两次积分，后解方程得出5.4 5.4 分部积分法分部积分法第五章 结结合合变变量量代代换换来来求求解解解 例7 令xt2,则dx2tdt.5.4 5.4 分部积分法分部积分法还原还原第五章可用分部积分法的积分小结 (1)被积函数为幂函数与三角函数或指数函数的积:(2)被积函数为幂函数与对数函数或反三角函数的积:(3)被积函数为指数函数与三角函数的积:(4)其它情况5.4 5.4 分部积分法分部积分法第五章