理论力学-课件第12章.pptx

第十二章第十二章碰 撞01碰撞问题的基本特征和基本概念02用于碰撞过程的基本定理03物体的正碰撞动能损失04碰撞冲量对转动刚体的作用 撞击中心目录目录第一节第一节碰撞问题的基本特征和基本概念第一节第一节 物体由于运动受到阻碍或冲击，在极短的时间内其速度发生有限的变化，这种现象称为碰撞碰撞。如射击、敲钉、球的弹跳、锤锻、飞机着陆等都是碰撞的实例。了解碰撞的基本特征，掌握它的规律，正是为了更好地利用碰撞的有利因素，避免它的不利影响设在敲击时，钉给手锤的力为F，手锤重为G，可写出手锤的动力学基本方程为由方程解得可见，碰撞力F远远大于手锤的重量G。如果碰撞时间再短一些或碰撞前后的速度变化更大一些，则碰撞力将更大。碰撞力的作用时间极短，而数值极大，这是碰撞力的重要特点，所以碰撞力又称瞬时力。在研究碰撞过程中，通常用碰撞力在碰撞时间内的积累效应即碰撞冲量来度量碰撞的强度若以I表示碰撞冲量，F表示变化的碰撞力，则有（12-1）根据上述碰撞的特点，为使问题简化，对于碰撞问题作如下基本假设。（1）在碰撞过程中，和碰撞力相比，非碰撞力，如重力、弹性力、空气阻力等普通力均略去不计。但应当注意，在碰撞前和碰撞后，普通力对物体的运动状态的变化起主要作用，不可不计。（2）由于碰撞过程非常短促，物体在碰撞开始和碰撞结束时的位置基本上没有改变，因此，在碰撞过程中物体的位移可以忽略不计。第二节第二节用于碰撞过程的基本定理第二节第二节一、碰撞过程的动量定理一、碰撞过程的动量定理冲量定理冲量定理设质点的质量为m，碰撞过程开始瞬时的速度为v，结束时的速度为u。则质点动量定理的积分形式为（12-2）式中，I为碰撞冲量，普通力的冲量不计。对于碰撞的质点系，作用于第i个质点上的碰撞冲量可分为外碰撞冲量 和内碰撞冲量 ，按照式（12-2）有设质点系有n个质点，对于每个质点都可列出如上的方程，将n个方程相加，得因为内碰撞冲量总是大小相等、方向相反且成对的存在，因此 ，于是得（12-3）式（12-3）与用于非碰撞过程的动量定理一样，但在此不计普通力的冲量，称为冲量定理。质点系的动量可用总质量M与质心速度的乘积计算。于是式（12-3）又可写成式中，和 分别是碰撞开始和结束时质心的速度。二、用于碰撞过程的动量矩定理二、用于碰撞过程的动量矩定理冲量矩定理冲量矩定理质点系动量矩定理的微分形式为对上式积分，得或式中，为质点系对于定点O的动量矩矢；为作用于质点系的外力对O点的主矩。上式可改写为前面已经假设，在碰撞过程中，各质点位置不变，因此，碰撞力作用点的矢径 为恒量，于是有或（12-5）即质点系在碰撞开始和结束时对O点动量矩的变化，等于作用于质点系的外碰撞冲量对同一点的主矩，称为冲量矩定理。式中，不计普通力的冲量矩。第三节第三节物体的正碰撞动能损失第三节第三节设两物体做平动，若两物体质心的连线与接触点的公切线垂直，碰撞开始时的速度沿此连线，如图12-1所示。这种碰撞称为对心正碰撞。图12-1一、两物体正碰撞结束时的速度一、两物体正碰撞结束时的速度首先，分析整个碰撞过程。碰撞过程可分为两个阶段：第一阶段，从两球开始发生碰撞的瞬时开始，到两球具有相同的速度u，如图12-2（b）所示，即变形达到最大时为止，此为变形阶段；第二阶段，从第一阶段结束时开始，两球的变形逐渐恢复，到两球各自获得不同的速度，即碰撞结束时为止，称为恢复阶段。（a）（b）（c）图12-2实验表明，对于两个具有确定材料的球，碰撞后两球的分离速度 ，与碰撞前两球趋近速度力 （即碰撞后与碰撞前两物体的质心相对速度大小）的比值是不变的，以k k表示，则（12-6）式中，比值k称为恢复因数。它表明碰撞时变形恢复的程度，其大小由材料的性质所决定。表12-1给出了几种常见材料的恢复因数。恢复因数k恒为正值，其数值范围为0到1碰撞物体的材料铁对铅木对胶木木对木 钢对钢象牙对象牙玻璃对玻璃恢复因数0.140.260.500.560.890.94由于两球组成的质点系不受外碰撞冲量作用，则由动量守恒方程在质心连线上的投影式，可得（12-7）联立式（12-6）和（12-7），解得（12-8）由此可见，当 时，再单独分析质量为 的球。应用冲量定理，求得在整个碰撞过程中，两球相互作用的碰撞冲量为（12-9）若球自由下落，则可通过球距离固定面的高度H和回跳的高度h来表示k。由自由落体公式可知于是得（12-10）图12-3将式（12-8）中的 值代入上式，解得如果平动物体与固定面碰撞，碰撞开始瞬时的质心速度v与接触点法线的夹角为（称为入射角），碰撞结束时返跳速度为u与接触点法线的夹角为（称为反射角），如图12-4所示。这种碰撞称为斜碰撞。设不计摩擦，两物体只在法线方向发生碰撞，于是材料的恢复因数为法线方向的投影，则有测出球的降落高度H和回跳高度h，即可计算出球和固定面两种材料碰撞时的恢复因数k。这也就是测定恢复因数的实验方法。图12-4于是由动量定理在切线上的投影式有（12-11）例12-1图12-5首先研究两球的碰撞过程。（1）取两球A，B为所研究的系统。（2）系统的速度由 与 （）变成为 与（3）在碰撞时间内无外碰撞冲量，则由系统动量守恒，得所以（a）解由式（12-6）得（b）由式（a）、式（b）消去 ，则有 得（d）对球B，应用动能定理，则有得将式（d）、（e）代入式（c）中，解得（e）二、正碰撞过程中的动能损失二、正碰撞过程中的动能损失以T1和T2分别表示两物体组成的质点系在碰撞过程开始和结束时的动能，则有在碰撞过程中质点系损失的动能为（12-12）由式（12-8），得（12-13）（12-14）将式（12-13）和（12-14）代入式（12-12），得由式（12-6），得于是（12-15）在塑性碰撞时，动能损失为如果第二个物体在塑性碰撞开始时处于静止，即 ，则动能损失为 注意到 ，则上式可改写为（12-16）图12-6例12-2 物块A自高h处落下与B块接触时碰撞开始，此后A的速度减小，B的速度增大，两者速度相等时；碰撞结束后A，B一起做减速运动，直到速度等于零为止，这时弹簧压缩量达最大值。由于这时弹簧力大于重力，物块将朝上运动，并将持续地往复运动。在碰撞开始时，A，B的速度分别为在碰撞结束时解 应用动能定理求弹簧的最大压缩量将上式整理成标准的二次式注意到 ，解得另一解无意义。汽锤与锻件在碰撞过程中损失的动能与锻锤在碰撞开始时具有的动能的比值，定义为汽锤的效率，即例12-3 于是如果将锻件烧到赤热，近似的认为 ，于是即减小k值，可提高锤锻的效率。解 第四节第四节碰撞冲量对转动刚体的作用 撞击中心一、转动刚体角速度的变化一、转动刚体角速度的变化即或写成（12-17）式（12-17）表明，碰撞时，定轴转动刚体角速度的变化，等于作用于刚体的外碰撞冲量对转轴的主矩除以对该轴的转动惯量。二、支座的反碰撞冲量二、支座的反碰撞冲量 撞击中心撞击中心绕定轴转动刚体受到外碰撞冲量I作用时，不仅刚体的角速度会发生变化，轴承和轴也会发生碰撞。图12-7取坐标轴Oy通过质心C，x轴与y轴垂直。由冲量定理，可知（12-18）（12-19）（12-20）这就是说，如果外碰撞冲量I作用在物体的对称平面内，并且满足以上两个条件，则轴承反碰撞冲量等于零，即轴承处不发生碰撞。将式（12-17）代入式（12-120），就可求出碰撞冲量I的作用点K到x轴的距离h，即（12-21）满足式（12-21）的K点称为撞击中心于是得出结论：当外碰撞冲量作用于物体的对称平面内的撞击中心，且垂直于转轴与质心的连线时，在转轴处不引起碰撞冲量。根据上述结论，设计材料撞击试验机的摆锤时，必须把撞击试件的刃口设在摆锤的撞击中心，这样可以使轴承避免承受撞击载荷。同样，用球棒击垒球时，如果击球点选的合适，手不会感到震动，则此击球点就是球棒的撞击中心。均质杆质量为M，长为l，其上端由圆柱铰链固定，如图12-8所示。杆由水平位置无初速地落下，在铅垂位置撞在一固定物块上。设恢复因数为k，求：（1）轴承的碰撞冲量；（2）撞击中心的位置。取杆为研究对象，其碰撞前后的角速度分别为 和（1）在碰撞前，杆由水平位置下落至铅垂位置，由动能定理，有由于解得（a）在碰撞过程中由式（12-17）可知例12-4 解于是得（b）又由冲量定理，可知（c）注意到 ，得（d）联立式（a）式（d），解得（2）欲求撞击中心，则令 ，得Thank youThank you