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1.2数列及极限初等数学初等数学 研究对象为常量研究对象为常量,以静止观点研究问题以静止观点研究问题.高等数学高等数学 研究对象为变量研究对象为变量,运动和辩证法进入了数学运动和辩证法进入了数学.认识高等数学的重要性认识高等数学的重要性,培养浓厚的学习兴趣培养浓厚的学习兴趣.马克思马克思 恩格斯恩格斯要辨证而又唯物地了解自然,就必须熟悉数学.一门科学,只有当它成功地运用数学时,才能达到真正完善的地步.上页 下页 返回 结束 数学之美，美在它的对称和谐，数学之美，美在它的对称和谐，美在它的茅塞顿开，美在它的一题多解，美在它的茅塞顿开，美在它的一题多解，美在它的多题一解，甚至美在它的小题大做。美在它的多题一解，甚至美在它的小题大做。有一个叫克莱因的科学家说过这样一段话：有一个叫克莱因的科学家说过这样一段话：唱歌能让你焕发激情，美术能让你赏心悦目，唱歌能让你焕发激情，美术能让你赏心悦目，诗歌能使你拨动心弦，哲学能让你增长智慧，诗歌能使你拨动心弦，哲学能让你增长智慧，科学能改变你的物质生活，科学能改变你的物质生活，但数学能给你以上的这一切。但数学能给你以上的这一切。上页 下页 返回 结束 全国大学生数学建模竞赛全国大学生数学建模竞赛大学生数学竞赛大学生数学竞赛要求：要求：2、课前预习；、课前预习；3、上课认真听讲，补充的内容记在书上；、上课认真听讲，补充的内容记在书上；4、按规定按时交作业。、按规定按时交作业。上页 下页 返回 结束 1、不迟到、不旷课、独立完成作业；、不迟到、不旷课、独立完成作业；点a的 邻域邻域其中其中,a 称为邻域中心称为邻域中心,称为邻域半径称为邻域半径.去心 邻域邻域左左 邻域邻域:右右 邻域邻域:上页 下页 返回 结束“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽的刘徽的九章算术九章算术一、数列极限的定义上页 下页 返回 结束 1 1、割圆术：、割圆术：“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”刘徽刘徽一、概念的引入“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入引例引例.设有半径为设有半径为 r 的圆的圆,逼近圆面积逼近圆面积 S.如图所示如图所示,可知可知用其内接正用其内接正 n 边形的面积边形的面积上页 下页 返回 结束 例如例如上页 下页 返回 结束 定义定义:下标按自然数下标按自然数编编号依次排列的一列数号依次排列的一列数 称称为为无无穷穷数列数列,简简称称数列数列.其中的每个数称其中的每个数称为为数列的数列的项项,称称为为通通项项(一般一般项项).数列数列(1)记为记为.（1）注意：注意：1.数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列.可看作一可看作一动点在数轴上依次取动点在数轴上依次取2.数列是整标函数数列是整标函数例如例如,上页 下页 返回 结束 问题问题:当当 无限增大时无限增大时,是否无限接近于某一是否无限接近于某一确定的数值确定的数值?如果是如果是,如何确定如何确定?问题问题:“无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数学语言如何用数学语言刻划它刻划它.上页 下页 返回 结束 01 上页 下页 返回 结束 如果数列没有极限如果数列没有极限,就说数列是发散的就说数列是发散的.注意：注意：上页 下页 返回 结束 定义定义 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数总总存在正整数存在正整数,使得使得对对于于时时的一切的一切,不等式不等式或者称数列或者称数列收收敛敛于于记为记为 或或(不论它多么小不论它多么小),都成立都成立,那末就称常数那末就称常数是数列是数列的极限的极限,例如例如,趋势不定收 敛发 散上页 下页 返回 结束 几何解释几何解释:其中其中即上页 下页 返回 结束 数列极限的定义未给出求极限的方法数列极限的定义未给出求极限的方法.例例1证证所以所以,注意：注意：上页 下页 返回 结束 例例2.已知已知证明证明证证:欲使欲使只要只要即即取取则当则当时时,就有就有故故故也可取故也可取也可由也可由N 与与 有关有关,但不唯一但不唯一.不一定取最小的不一定取最小的 N.说明说明:取取上页 下页 返回 结束 说明说明:常数列的极限等于同一常数常数列的极限等于同一常数.小结小结:用定义证数列极限存在时用定义证数列极限存在时,关键是任意给关键是任意给定定 寻找寻找N,但不必要求最小的但不必要求最小的N.上页 下页 返回 结束 例例3.设证明等比数列证证:欲使只要即亦即因此,取,则当 n N 时,就有故的极限为 0.上页 下页 返回 结束 例例(补补)证证上页 下页 返回 结束 练习：练习：P30 习题习题 4证证上页 下页 返回 结束 二、收敛数列的性质1、有界性有界性例如例如,有界有界无界无界上页 下页 返回 结束 定定义义:对对数列数列,若存在正数若存在正数,使得一切自然数使得一切自然数恒有恒有成立成立,则则称数列称数列有界有界,否否则则,称称为为无界无界.证证:设设取取则则当当时时,从而有从而有取取 则有则有由此证明收敛数列必有界由此证明收敛数列必有界.说明说明:此性质反过来不一定成立此性质反过来不一定成立.例如例如,虽有界但不收敛虽有界但不收敛.有有数列数列上页 下页 返回 结束 定理定理1 1 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界.推论推论 无界数列必定发散无界数列必定发散.证证:用反证法用反证法.及及且且取取因因故存在故存在 N1,从而从而同理同理,因因故存在故存在 N2,使当使当 n N2 时时,有有使当使当 n N1 时时,假设假设从而从而矛盾矛盾.因此收敛数列的极限必唯一因此收敛数列的极限必唯一.则当则当 n N 时时,故假设不真故假设不真!满足的不等式满足的不等式上页 下页 返回 结束 2、唯一性、唯一性定理定理2 2 每个收敛的数列只有一个极限每个收敛的数列只有一个极限.3.收敛数列的保号性收敛数列的保号性.若且时,有证证:对 a 0,取推论推论:若数列从某项起若数列从某项起(用反证法证明用反证法证明)上页 下页 返回 结束 4、子数列的收敛性、子数列的收敛性注意：注意：例如，例如，上页 下页 返回 结束*定理定理4 4 收敛数列的任一子数列也收敛且极限收敛数列的任一子数列也收敛且极限相同相同证证证毕证毕上页 下页 返回 结束*由此性质可知由此性质可知,若数列有两个子数列收敛于不同的极若数列有两个子数列收敛于不同的极限限,例如，例如，发散发散!则原数列一定发散则原数列一定发散.上页 下页 返回 结束 说明说明:练习：练习：P31习题习题6.对于数列对于数列证证上页 下页 返回 结束 三、小结数列数列:研究其变化规律研究其变化规律;数列极限数列极限:极限思想、精确定义、几何意义极限思想、精确定义、几何意义;收敛数列的性质收敛数列的性质:有界性、唯一性、保号性、子数列的收敛性有界性、唯一性、保号性、子数列的收敛性.上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1.如何判断极限不存在如何判断极限不存在?方法方法1.找一个趋于找一个趋于的子数列的子数列;方法方法2.找两个收敛于不同极限的子数列找两个收敛于不同极限的子数列.2.已知已知,求求时时,下述作法是否正确下述作法是否正确?说明理由说明理由.设设由递推式两边取极限得由递推式两边取极限得不对不对!此处此处上页 下页 返回 结束
