随机过程习题四.docx
1 . X(n),n =1,2,L，是相互独立同分布随机变量序列，令nY(n)/( X(k), n=1,2,Lk2分别证明下述情形，Y(n), n=0,1,2,L是齐次马尔科夫过程.(1) X(n)是伯努利随机变量序列，其中 PX(n)二。卜 q, PX(n)=1 = p，(0： ： ：p<1,pq =1). n =1,2,L2(2) X(n)N(4； )，n=1,2,L.设X(n), n =1,2,L ,是相互独立取非负整数的随机变量序列，令Y(n)=X(1)X(2)LX(n) ,n =1,2,L证明:丫(n), n=1,2,L是马氏链.2 .设G n,n_1?是独立同分布随机变量序列，并且P/=： k;=pk,k N,"pk=1,令 k=0X n二min： 、2,L , ?,证明:X n,n_1 ?是齐次马氏链，并求其一步转移概率矩阵P。3 .设X(n),n =0,1,2,L为马氏链，证明PX(1)=Xi|X(2) =X2,X(3)=X3,L ,X(n) =xn=PX(1)=X1 |X(2) =X2即马氏链的逆序也构成一个马氏徒.4 .在天气预报问题中，假设今日是否下雨依赖于前两夭的夭气状况，并规定：昨日、今日都 下雨，明日有雨的概率为0.7；昨日无雨，今日有雨，明日有雨的概率为0.5；昨日有雨、今 日无雨，明日有雨的概率为0.4;昨日、今日均无雨，明日有雨的概率为0.2，该问题是否可以用一马尔可夫链表示。假设可以，求在星期一、星期二均下雨条件下，星期四下雨的概率。5 .'考虑Bernoulli过程的移动平均1 , Yn Xn XnA 2其中:xjn=1,2，是p=1/2的独立Bernoulli序列。试证明2n =1,2/不是一个Markov 过程。6 .马氏链仪10的状态空间为E =1,2,3.4) »其初始分布和转移概率矩阵为Pi二 PX。二 i 二_LJ 二 123,4,41111 4 4 4 41111p =4 4 4 41 11 34 8 4 81111a444A试证：(1) P X2 =4|Xo=1,1 : ： :Xi <4 -P X2 =4|1 ： ： ： Xi ： ： ： 4 .(2) PX3=4|1 ： ： :Xi：4, X2=3 = PX3=4|X2=3.8 .设X 1 ,X 2，是-独立同分布随机变量序列，其分布律为X(n)-11P0.30.7令Y (n) = E X(k)( n )试求以下概率：i吕(1) PX 1 _0,Y 2 _0,Y 3 _0,Y 4 _ 0?(2) PY1 -0,Y 2 -0,Y 3 -0,Y 4 =0：9 .设有齐次马尔可夫链，它的状态空间Srp, 1,2)，一步转移概率矩阵为0 1 0P = 1-p 0 p.01 0_(1)试求 P(2)，并证明 P(2)=R4):(2)求 RI)» n_1.10. 赌徒甲有a元，赌徒乙有b元，两人进行赌博.每赌一局输者给胜者1元，没有和局，直赌到两人中有一个输光为止.设在每一局中甲胜的概率为 , X(n)表示第n局时甲2的赌金.(X( n), n =0,1,2,-)为齐次马氏链.(I)写出状态空间和状态转移矩阵；(2)求出甲输光的概率.11 .四个人(标号为123,4)把一个球相互之间传递.每次有球的人等可能地把球传给其他三个人之 一.以X(0)表示最初有球的人，X(n)表示传递n次后恰好有球的人(X(n), n =0,1,2,是一 个齐次马氏链.(1)写出状态转移矩阵；(2)计算2步和3步转移矩阵；(3) 求经过3次传球后有球的人恰好是第1次传球后有球的人的概率；(4)求经过3次传球后恰好是开始拿球的人的概率.甲乙两人进行比赛，设每局比赛甲胜的概率为p,乙胜的概率为q,和局的概率为r ,p+q+r=1，设每局比赛后胜者记“ 1 ”，分负者记“”分，和局记“ 0”分.当两人中有 一个获得2分时，结束比赛.以X(n)表示比赛至第n局时，甲获得的分数E:123,4,5，一步转移概率 矩(X(n), n =0,1,2厂是一个齐次马氏链.12 .随机游动的质点构成一个马氏链，其状态空间为阵为0 01 131 1 16 2 31 1 12 300o1试求质点从状态2出发，分别被吸收于状态1状态5的概率。14 .在传送数字0和1的通信系统中，每个传送的数字宓须经过假设干级，确而每一级中数字正传送的概率为P.设X (0)表示进入系统的数字，X (n)表示离开系统第n级的数字.(X(n),n =0,1,2,-)是齐次马氏链.(1)写出状态转移矩阵：(2)求出n步转移矩阵；(3)求平稳分布.E= (1,2,3，状态转移矩1阵215 .设齐次马氏链X(n),n =0,1,2, 的状态空间j2(1)讨论其遍历性；(2)求平稳分布；(3)计算以下概率i)PX(4) =3|X(1)=1,X (2) =/ ； ii)PX (2) =1,X (3) =2|X(1)=1.16 . '设齐次马氏链X(n),n =0,1,2/的状态空间E =1,2,3,4,状态转移矩阵120 01 23 312
