2023届黑龙江省哈尔滨市第三中学校高三第一次高考模拟考试数学试卷含答案.pdf
高三数学第 1 页 共 8 页 2023 年哈三中高三学年年哈三中高三学年 第一次高考模拟考试第一次高考模拟考试数学数学试卷试卷 考试时间：考试时间：120 分钟分钟 试卷满分：试卷满分：150 分分 注意事项：注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上 2作答时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效作答时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题（共 60 分）（一）单项选择题（共 8 小题，每小题 5 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 已知集合2023,1xMy yx，2023log,01Ny yxx，则MN A1|02023yy B|01yy C1|12023yy D 2 在ABC中，0BCAB是ABC为钝角三角形的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 3 定义在R上的奇函数()f x满足(1)(1)fxfx当0,1x时，3()3f xxx，则(2023)f A4 B4 C14 D0 高三数学第 2 页 共 8 页 4 苏轼是北宋著名的文学家、书法家、画家，在诗词文书画等方面都有很深的造诣 蝶恋花 春景是苏轼一首描写春景的清新婉丽之作，表达了对春光流逝的叹息词的下阙写到：“墙里秋千墙外道墙外行人，墙里佳人笑笑渐不闻声渐悄，多情却被无情恼”假如将墙看作一个平面，秋千绳、秋千板、墙外的道路看作直线，那么道路和墙面平行，当秋千静止时，秋千板与墙面垂直，秋千绳与墙面平行在佳人荡秋千的过程中，下列说法中错误的是 A秋千绳与墙面始终平行 B秋千绳与道路始终垂直 C秋千板与墙面始终垂直 D秋千板与道路始终垂直 5 已知1,0A，10B,，若在直线2yk x上存在点P，使得90APB，则实数k的取值范围为 A33,33 B33,00,33 C33,33 D33,33 6 哈尔滨市第三中学古诗词大赛中，12 强中有 3 个种子选手，将这 12 人任意分成 3组（每组 4 个人），则 3 个种子选手恰好被分在同一组的概率为 A14 B13 C155 D355 7 在边长为 3 的菱形ABCD中，060BAD，将ABD绕直线BD旋转到A BD，使得四面体ABCD外接球的表面积为18，则此时二面角ABDC的余弦值为 A13 B12 C13 D33 8 已知0.2ln1.21,0.211,abce，则 Aabc Bcab Ccba Dbca 高三数学第 3 页 共 8 页（二）多项选择题（共 4 小题，每小题 5 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错的得 0 分）9 已知函数)()sin 26(f xx，则下列说法中正确的是 A|()|yf x的最小正周期为 B()yf x的图象关于3x对称 C 若()yf x的图象向右平移(0)个单位后关于原点对称，则的最小值为56 D()f x在,6 2 上的值域为 1,1 10已知圆锥SO（O是圆锥底面圆的圆心，S是圆锥的顶点）的母线长为 3，底面半径为5若,P Q为底面圆周上的任意两点，则下列说法中正确的是 A圆锥SO的侧面积为3 5 BSPQ面积的最大值为2 5 C三棱锥OSPQ体积的最大值为53 D圆锥SO的内切球的体积为43 11已知抛物线2:4C xy，O为坐标原点，F 为抛物线 C 的焦点，点P在抛物线上，则下列说法中正确的是 A若点)3,2(A，则PFPA 的最小值为 4 B过点(3,2)B且与抛物线只有一个公共点的直线有且仅有两条 C若正三角形ODE的三个顶点都在抛物线上，则ODE的周长为8 3 D点 H为抛物线 C上的任意一点，0,1G，HGt HF，当 t取最大值时，GFH的面积为 2 高三数学第 4 页 共 8 页 12已知0a，01bb 且，(1)ln(1)aabeb，则下列说法中错误的是 Aab B若关于b的方程1 bma有且仅有一个解，则me C若关于b的方程1 bma有两个解12,b b，则122bbe D当0a 时，11222abb 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 134121 2xx的展开式中，常数项为_ 14已知4 yx，且0 xy，则yyx12的最小值为 15设nS是数列na的前n项和，32naSnn，令4log(1)nnba，则 12512521bbb 16 如图，椭圆222210 xyabab与双曲线222210,0 xymnmn有公共焦点12(,0),(,0)0FcF cc，椭圆的离心率为1e，双曲线的离心率为2e，点P为两曲线的一个公共点，且01260FPF，则221213ee ；I为12FPF的内心，1,F I G三点共线，且0GP IP,x轴上点,A B满足AIIP，BGGP，则22的最小值为_ F1 F2 G B A I P O y x 高三数学第 5 页 共 8 页 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（本题满分 10 分）已知ABC中，角,A B C的对边分别为,a b c，设ABC外接圆的半径为R，且22(1 2coscos)bcRBC（1）求角A的大小；（2）若D为BC边上的点，2ADBD，1CD，求tanB 18（本题满分 12 分）已知递增等差数列na满足：27762aaa，521,aaa成等比数列（1）求数列na的通项公式；（2）若21212nnannaaabn，求数列nb的前n项和nT 高三数学第 6 页 共 8 页 19（本题满分 12 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为 2 的菱形，PAD为等边三角形，PADABCD平面平面，PBBC （1）求点A到平面PBC的距离；（2）E为线段PC上一点，若直线AE与平面ABCD所成的角的正弦值为3010，求平面ADE与平面ABCD夹角的余弦值 E D C B A P 高三数学第 7 页 共 8 页 20（本题满分 12 分）在数学探究实验课上，小明设计了如下实验：在盒子中装有红球、白球等多种不同颜色的小球，现从盒子中一次摸一个球，不放回（1）若盒子中有 8 个球，其中有 3 个红球，从中任意摸两次 求摸出的两个球中恰好有一个红球的概率；记摸出的红球个数为X，求随机变量X的分布列和数学期望（2）若 1 号盒中有 4 个红球和 4 个白球，2 号盒中有 2 个红球和 2 个白球，现甲、乙、丙三人依次从 1 号盒中摸出一个球并放入 2 号盒，然后丁从 2 号盒中任取一球 已知丁取到红球，求甲、乙、丙三人中至少有一人取出白球的概率 21（本题满分 12 分）已知平面内动点M到定点)1,0(F的距离和到定直线4y的距离的比为定值21（1）求动点M的轨迹方程；（2）设动点M的轨迹为曲线C，过点(1,0)的直线交曲线C于不同的两点BA、，过点BA、分别作直线tx 的垂线，垂足分别为11BA、，判断是否存在常数t，使得四边形BBAA11的对角线交于一定点？若存在，求出常数t的值和该定点坐标；若不存在，说明理由 高三数学第 8 页 共 8 页 22（本题满分 12 分）已知函数2()ln1f xxaxx（1）当0a 时，求函数()()xg xxef x的最小值；（2）当()yf x的图象在点(1,(1)f处的切线方程为1y 时，求a的值，并证明：当*nN时，211ln(1)(1)2nkknk 1 2023 年哈三中高三学年 第一次高考模拟考试 数学 试卷答案 一、选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D A A B B D A C BD AC AD BC 二、填空题：13.10 14.2 15.31 16.34;12 三、解答题：17.（1）2sinsin2sin2,4sinsin1cos21cos,(0,sin1 coscos),23,cos()BCBCBbcR bcRBCAAAACBC （2）22,3,2sinsinsin()sin()333131cossin2(cossin)222233sincos223tan3CDAB CBCDADCDADDACCBBBBBBBBB 即 2 18.（1）1211131227(4)()ada adad，0d，112ad 21nan（2）1(21)222(21)(23)2321nnnnnbnnnn 122233nnTn 19.（1）取AD中点O，连接,OB OP PAD为等边三角形，,1,3OPAD OAOP 又,PADABCDPADABCDAD OPPAD平面平面平面平面平面 OPABCD平面，又,OBABCDOPOB平面 ,/,PBBC BCADPBAD 又,OPAD OPPOB PBPOB OPPBP平面平面 ADPOB平面，又,OBPOBADOB平面 3,6OBPB 设点A到平面PBC的距离为h 则1133PBCABCShSOP 62h（2）分别以,OA OB OP为xyz轴,轴,轴的正方向 建立如图所示的空间直角坐标系 O z y x E D C B A P 3 则(0,0,3),(2,3,0),(1,0,0),(1,0,0)PCAD 设PEPC，则(2,3,33),(21,3,33)EAE ,OPABCDABCD平面平面的法向量1(0,0,1)n 130cos,10 AE n，解得13，23 2(,3)333E 平面ADE的法向量2(0,2,1)n 平面ADE与平面ABCD夹角的余弦值为125cos,5n n 20.（1）设事件A=“摸出的两个球中恰好有一个红球”1135281528()PC CCA X可取0,1,2，23528(0 1,),2kkCPkCkXC X的分布列为 33()284E X （2）设事件B=“丁取到红球”，事件C“甲、乙、丙三人中至少有 1 人取出白球”211234444433388832112344444433338888432777445432497777()()()C CC CCCCCCC CC CCCCCP BCP C BP BC X 0 1 2 P 514 1528 328 4 21.（1）22143yx（2）222234120,(34)8801yxmymyxmy 121212122288,4343myyy yyymy ymm 若存在常数t，使得四边形BBAA11的对角线交于一定点，由对称性知，该定点一定在x轴上，设该定点为(,0)D s，则11,A B DA B D共线，共线 设11(,),A x y22(,),B xy11(,),A t y，则122111(,),(,)ABxt yyADsty，则1221()()()y xtyyst 1212121221212121()(1)2my yytyyyytytyysyyyyyy 则12,3,2tts 同理，1,A B D共线，3,2ts 存在常数3t，使得四边形BBAA11的对角线交于一定点，该定点为(2,0)22.（1）当0a 时,()ln1.xg xxexx 方法一：()g x定义域(0,),)()(1)(1xg xxex 令2()()1)1(,0 xxh xeh xehxxx在(0,)上递增 1(1)10,)202(,()hehehx 在(1,1)2上有唯一零点0 x 即000(1)0 xh xex 在0)()0(0,xh x 上,即0()0,()(0,)g xg xx在递减 在0(,)x 上,()0,()0,()h xg xg x即在0(,)x 上递增 5 0000l1nxxexx 0min000000()(ln1 110)xg xgxxxexxx 方法二：先证：1,0=xexx当时,取“”lnln1xxxxexxe(存在0 x使00ln0 xx)0ln1xxexx 成立 （2）2()11axxfx,依题意,(1)01fa 即2()ln1,(21)()(1)f xxxxfxxxx ()f x在(0,1)递增,(1,)递减.max()(1)1f xf 在(1,)上,2ln11xxx,即(ln1)xx x,ln1xxx 取11xn,则1ln(1)111nnn,即111)1ln(nnn 111111).ln(1)ln(11)2 ln(1)223nnnn 而1111111231213nn 22212132112(21)2(32)2(1)21nnnnn 1211ln(1 1)2ln(1)ln(1)21ln(1)1(12)2nkknnnknn
