四川省泸州市2022-2023学年高三下学期第二次教学质量诊断性考试数学(理科）试题含答案.pdf
泸州市高泸州市高 2020 级第二次教学质量诊断性考试级第二次教学质量诊断性考试数学（理科）参考答案及评分意见评分说明：1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数，选择题和填空题不给中间分一、选择题：一、选择题：题号题号123456789101112答案答案AADCCDCBBBCC二、填空题：二、填空题：131；14()2kkZ中的任意一个值；1510；1643三、解答题：三、解答题：17解：（）因为13322nnSa，所以当2n时，13322nnSa，1 分由，相减得：13322nnnaaa，2 分即113nnaa，3 分在13322nnSa 中令1n 得，123322Sa，即213a，4 分所以数列na是以11a 为首项，公比为13的等比数列，5 分所以11()3nna；6 分（）若选因为132log1nnnbaa11132log11()()331nn7 分11()213nn8 分所以11()(121)31213nnnnT10 分231(1)23nn 12 分若选21nnban221()13nn7 分11()19nn 8 分所以11()(21)91219nnnTn11 分2911(1)(3)823nnn12 分18解：（）设“该考生报考甲大学恰好通过一门笔试科目”为事件 A，“该考生报考乙大学恰好通过一门笔试科目”为事件B，根据题意得：1123113()C()()228P A，2 分211521()()263633P B 3 分718；4 分（）设该考生报考甲大学通过的科目数为X，报考乙大学通过的科目数为Y，根据题意可知，1(3,)2XB，所以，13()322E X ，5 分515(0)(1)(1)6318P Ymm，6 分115251111(1)(1)(1)636363183P Ymmmm，7 分12115211(2)(1)63636392P Ymmmm，8 分121()3639P Ymm 9 分则随机变量Y的分布列为：Y0123P518(1)m111183m1192m19m111215()183936E Ymmmm，10 分若该考生更希望通过乙大学的笔试时，有()()E YE X，11 分所以5362m，又因为01m，所以213m，所以 m 的取值范围是2(,1)312 分19证明：（）分别延长 B1D，BA，设1BAB DE，连接 CE，1 分则 CE 即为平面1B CD与平面ABC的交线l，2 分因为1DBDC，取1B C中点 F，连接 DF，3 分所以1DFB C，DF 平面1B CD，因为平面1BCD 平面11BBC C，且交线为1B C，所以DF 平面11BBC C，4 分因为 D 为棱1A A的中点，1 1/A BAB，所以 D 为1B E的中点，所以/lDF，5 分所以l 平面11BBC C；6 分方法一：（）由（）知BAAE，因为90BAC=，ABAC，所以90BCE，在平面11BBC C内过点 C 作GCBC，垂足为 G，则GC 平面BCE，7 分分别以 CB，CE，CG 所在直线为 x，y，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设2BC，则1(1,0,3)B，(0,2,0)E，(2,0,0)B，8 分则1(1,0,3)CB ，(0,2,0)CE ，(2,2,0)BE ，1(1,0,3)BB ，9 分设平面1B DC的法向量为(,)x y zm，则3020 xzy，取(3,0,1)m，10 分设平面1B DB的法向量为(,)x y zn，则030 xyxz ，取(3,3,1)n，11 分所以3317cos,727m n，即二面角1CB DB的余弦值为7712 分方法二：连接 BF，因为四边形11BBC C为菱形，且160B BC，所以1BFB C，7 分BF 平面1B CB，因为平面1B CD 平面11BBC C，且交线为1B C，所以BF 平面1BCD，8 分过点 F 作1FGB E，连接BG，所以1BGB E，故BGF为二面角1CB DB的平面角，9 分在1B DFRt中，11B F，112DFCE，1FGB E，所以22FG，10 分在BFGRt中，3BF，所以142BG，11 分所以7cos7BGF，即二面角1CB DB的余弦值为7712 分20解：（）因为6 1(,)22P在 C 上，所以2211234ab，1 分因为 C 的左焦点F(1,0)，所以221ab，2 分所以22a，21b，C的方程为2221xy；4 分（）当直线l与 x 轴重合时，点(2,0)A，(2,0)B，2(1,)2M，2(1,)2N ，2(21,)2AM ，2(21,)2BN ，所以32AM BN ，5 分当直线l与 x 轴不重合时，设直线l的方程为1xmy，代入2221xy消去 x 得22(22)10mymy，因为直线l与 C 交于点11(,)A xy，22(,)B xy，所以1 2212y ym，6 分因为()()AM BNAFFMBFFNAF BFFM FN ，7 分所以22121 21 221(1)(1)(1)2mAF BFxxy ymy ym ，8 分（1）当 m0 时，同理可得22221()11121()2mmFM FNmm ，9 分222211221mmAM BNmm 2242223(1)31(1)2225225mmmmm，10 分因为2212mm，所以AM BN 的取值范围是34(,23，11 分（2）当0m 时，32AM BN ，综上知AM BN 的取值范围是34,23.12 分21解：（）()e1xfxa，1 分因为0 x 是函数()f x的一个极值点，所以0(0)e110faa，得1a，2 分所以()e1xfx，因此()f x在(,0)上单减，在(0,)上单增，3 分所以当0 x 时，()f x有最小值0(0)e21f；4 分方法一：（）因为()eln(2)ln2xg xaxa，所以1()e2xg xax，则()g x在(2,)上单增，5 分记11maxln,02xa，当1ln02a时，1111()e2xg xax11ln2ln21111ee0102222ln2aaaaa，当1ln02a时，1111()e2xg xax10ln21111ee0020222aaa，则11ln21111()ee0202xag xaax，6 分记21min2,0 xa，当120a时，20022111()eee0120222xg xaaaxa；当120a时，212022111()eee01122222xag xaaaxaa；7 分所以存在唯一的0(2,)x ，使得0()0g x，当02xx 时，0()0g x；当0 xx时，0()0g x，所以函数()g x在0(2,)x上单减，在0(,)x 上单增，8 分若函数()g x有两个零点，只需0()0g x，即000()eln(2)ln20 xg xaxa，又001e02xax，即001e(2)xax，9 分则000122ln(2)02xxx，设1()2lnh tttt，则()h t为增函数，(1)0h，所以当1t 时，()0h t，则021x，即01x ，10 分令()e(2)(1)xxxx，()e(3)0 xxx，则()x在(1,)上单增，由01x 得01()(1)ex，11 分所以001(0,e)e(2)xax，所以 a 的取值范围是(0,e)12 分方法二：（）若()()ln(2)g xf xxx有两个零点，即lnelnln(2)2xaxaxx有两个解，即lnln(2)elnln(2)exaxxax有两个解，5 分利用同构式，设函数()exh xx，6 分问题等价于方程(ln)(ln(2)h xahx有两个解，7 分()e10 xh x恒成立，即()exh xx单调递增，所以lnln(2)xax，问题等价于方程lnln(2)xax有两个解，8 分即ln(2)(2)2ln0 xxa有两个解，设2tx，2 lnam，即ln0ttm 有两个解，令()lntttm，问题转化为函数()t有两个零点，9 分因为1()1tt，当(0,1)t时，()0t，当(1,)t时，()0t，则()t在(0,1)上递增，在(1,)上递减，10 分为了使()t有两个零点，只需(1)0，解得1m，即2 ln1a，解得0ea，11 分由于(e)2e0mmm，所以()t在(0,1)和(1,)内各有一个零点综上知 a 的取值范围是(0,e)12 分22解：（）由sin()063m，得(sincoscos sin66)30m，1 分所以31sincos3022m，2 分又cosx，siny，3 分所以313022yxm，4 分即l的直角坐标方程为32 30 xym；5 分（）曲线C的普通方程为：2213 xy，6 分直线l的参数方程为：3,2(122xttymt为参数），7 分代入2231xy整理得：228420tmmt，8 分设 A，B 两点所对应的参数分别为1t，2t，则21 282t tm，因为3|2PAPB，所以21 23|82|2t tm，即2116m 或2716m，9 分因为2116m，或2716m，满足21680m ，所以14m 或7410 分23解：（）因为()|2|f xxxm|2()|2|xxmm，1 分若对x R，()3f x 恒成立，则|2|3m，2 分所以5m，或1m，4 分所以实数 m 的取值范围是(,51,)；5 分（）由（）知，()f x的最小值为|2|m，所以|2|5m，6 分所以3m 或7，因为0m，所以3m，即343abc，7 分由柯西不等式得222222(25)(114)aabbc222222()(2)(114)abbc8 分2()1214abbc 9 分2(34)9abc，所以2221252aabbc（当且仅当112a，112b，23c 时等号）10 分
