四川省绵阳南山中学2022-2023学年高三下学期3月月考试题理科数学含答案.pdf

2023 年 3 月绵阳南山中学绵阳南山中学 20232023 年年春三月月考数学（理科）试题春三月月考数学（理科）试题（时间：120 分钟 分值：150 分）注意事项：注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名用 0.5 毫米黑色签字笔填写清楚，同时用 2B铅笔将考号准确填涂在答题卡“栏目”内.2.回答选择题时，选出每小题答案后，考生用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一、一、选择题选择题：本题共本题共 12 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 60 分分.在每小题给出的四个选项在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的中，只有一项是符合题目要求的.1若25izz，则在复平面内，复数z所对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2已知集合21xAy y，0.5log2Bx yx，则AB（）A1,2B()1,2-C,2D,23等比数列 na的前 n 项和为nS，已知12310aaS，5a=9，则1a=（）A13B13C19D194 某车间从生产的一批产品中随机抽取 1000 个零件进行质量指标的检测，整理检测结果得此项质量指标的频率分布直方图如图所示，则下列结论错误的是（）A0.005a B估计这批产品该项质量指标的众数为 45C估计这批产品该项质量指标的中位数为 60D从这批产品中随机选取 1 个零件，其质量指标在50,70的概率约为 0.55 为得到函数2sin3yx的图象，只要把函数2sin 35yx图象上所有的点（）第 2 页 共 5 页A向左平移5个单位长度B向右平移5个单位长度C向左平移15个单位长度D向右平移15个单位长度6蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建设和搬迁很方便，适用于牧业生产和游牧生活.小明对蒙古包非常感兴趣，于是做了一个蒙古包的模型，其三视图如图所示，现在他需要买一些油毡纸铺上去（底面不铺），则至少要买油毡纸（）A0.992mB0.92mC0.662mD0.812m7.2023 年 1 月底，由马斯克、彼得泰尔等人创立的人工智能研究公司 openAI发布的名为“ChatGTP”的人工智能聊天程序进入中国，迅速以其极高的智能化水平引起国内关注.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为00GGLL D，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，0L表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，0G表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为 18，且当训练迭代轮数为 18 时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（）（参考数据：1g20.3010）A72B74C76D788如图所示，1F，2F是双曲线C：22221()00axyabb，的左、右焦点，过1F的直线与C的左、右两支分别交于 A，B两点若223 4 5ABBFAF ，则双曲线的离心率为（）A.2B.15C.13D39已知20212202101220212111xaaxaxax，则第 3 页 共 5 页0122021aaaa（）A40422B1C20212D010函数xxxf2sinsin2)(是（）A奇函数，且最大值为 2B偶函数，且最大值为 2C奇函数，且最大值为233D偶函数，且最大值为23311若函数 32f xxbxcxd满足110fxfx对一切实数x恒成立，则不等式231fxfx的解集为（）A0,B,4 C4,0D,40,12 如图，在三棱锥ABCD中，AB平面BCD，BCCD，2ABBD，M 为AD中点，H 为线段AC上一点（除AC的中点外），且MHHB.当三棱锥MHAB的体积最大时，则三棱锥MABC的外接球表面积为（）A4B6C8D12二、二、填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13已知向量2,1a，1,bt，且abab，则 t=_.14已知等差数列 na的前 n 项和为nS，若1020S，3090S，则20S_.15.已知函数 elnxf xmx mR，若对任意正数12,x x，当12xx时，都有 1212f xf xxx成立，则实数 m 的取值范围是_16已知抛物线2:8Cyx，其焦点为点F，点P是拋物线C上的动点，过点F作直线1460mxym的垂线，垂足为Q，则PQPF的最小值为_.三、三、解答题：共解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题题必考题，每个试题考生都必须作答必考题，每个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）（一）必考题：共必考题：共 60 分分.17（12 分）第24届冬季奥运会于2022年2月在北京和张家口举办，为了普及冬奥知识，第 4 页 共 5 页京西某校组织全体学生进行了冬奥知识答题比赛，从全校众多学生中随机选取了20 名学生作为样本，得到他们的分数统计如下：分数段30，40）40，50）50，60）60，70）70，80）80，90）90，100人数1228331我们规定 60 分以下为不及格；60 分及以上至 70 分以下为及格；70 分及以上至 80 分以下为良好；80 分及以上为优秀.（1）从这20名学生中随机抽取2名学生，恰好2名学生都是优秀的概率是多少？（2）将上述样本统计中的频率视为概率，从全校学生中随机抽取 2 人，以 X 表示这 2 人中优秀人数，求 X 的分布列与期望.18（12 分）在coscosaBbAcb，tantantan3tantan0ABCBC，ABC的面积为1sinsinsin2a bBcCaA，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答在ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且_(1)求角 A；(2)若8a，ABC的内切圆半径为3，求ABC的面积19（12 分）如图甲，在矩形ABCD中，22 2,ABADE为线段DC的中点，ADE沿直线AE折起，使得6DC，如图乙.(1)求证：BE 平面ADE；(2)线段AB上是否存在一点H，使得平面ADE与平面DHC所成的角为4？若第 5 页 共 5 页不存在，说明理由；若存在，求出H点的位置.20（12 分）已知函数 ln1f xmxx，0m(1)讨论函数 fx的单调性；(2)若 22g xxxe，且关于x的不等式 f xg x在0,上恒成立，其中e是自然对数的底数，求实数m的取值范围21.（12 分）椭圆2222:1(0)xyEabab的离心率为12，右顶点为 A，设点 O 为坐标原点，点 B 为椭圆 E 上异于左、右顶点的动点，OAB面积的最大值为3(1)求椭圆 E 的标准方程；(2)设直线:l xt交 x 轴于点 P，其中ta，直线 PB 交椭圆 E 于另一点 C，直线 BA 和 CA 分别交直线 l 于点 M 和 N，若 O、A、M、N 四点共圆，求 t 的值（二）（二）选考题选考题:共共 10 分分.请考生在请考生在 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做如果多做，则按所做的第一题计分的第一题计分.22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）已知曲线 C1的参数方程为tytxsin55cos54（t 为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为=2sin(1)把 C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求 C1与 C2交点的极坐标（0,02）23选修 45：不等式选讲（10 分）已知正实数满足4abab(1)求ab的最小值；(2)当ab取得最小值时，,a b的值满足不等式22xaxbtt对任意的xR恒成立，求实数t的取值范围绵阳南山中学 2023 年春 3 月月考数学（理科）试题答案一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.15ABCCD610 DBCAC1112 CB11 题解析【详解】由110fxfx，对上式求导可得110fxfx，即11fxfx，所以 fx关于1x 对称，因为cbxxxf23)(2，所以 fx图像的开口向上，对称轴为1x，由231fxfx，得23 11 1xx，解得40 x.故选：C.12 题解析【详解】在Rt ABD中，因为 M 为AD中点，故BMAD，且2BM，因为CDBC，CDAB，所以CD 平面ABC，故CDBH，又因为MHBH，所以BH 平面ACD，因此BHAD，故AM平面BHM，三棱锥MHAB的体积等于三棱锥ABHM的体积，即只需底面BHM面积最大即可.因为2222BHHMBM，则22BH HM，故1122BHMSBH HM，当且仅当1BHHM时取等号.在Rt ABC中，30CAB，故23BC，过点 C 作CKBD，取AB，AC的中点 T，N，连接MN，MT，过点 T 作CK的平行线交MN于点 O.由CK 平面ABD知OT 平面ABD.又DC 平面ABC，故MN 平面ABC.因此 O 为三棱锥MABC的外接球的球心，由tantantan2CDTOMKCDCBKBC，因为1TM，所以2tan2TMOTTOM，故2232ROA，即三棱锥MABC的外接球表面积为6.故选：B二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.214.5015.0,16.5216 题解析：【详解】将已知直线(1)460mxmy化为460m xxy，当4x 时2y，可确定直线过定点(4,2)，记为 M 点.过点 F 做直线(1)460mxmy的垂线，垂足为 Q，FQ 直线(1)460mxmy，即,90FQMQFQM，故 Q 点的轨迹是以 FM 为直径的圆，半径2r，其圆心为 FM 的中点，记为点H，(3,1)H，P 在抛物线2:8Cyx上，其准线为2x ，PF等于 P 到准线的距离.过 P 作准线的垂线，垂足为 R.要使|PFPQ取到最小，即|PRPQ最小，此时 R、P、Q 三点共线，且三点连线后直线 RQ 过圆心 H.如图所示，此时min|52PRPQHRr.故答案为：52三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.（一）必考题：（一）必考题：60 分分17.（12 分）解：（1）记恰好 2 名学生都是优秀的事件为A，则 242206319095CP AC.（2）抽到一名优秀学生的概率为41205p，X 的取值为0,1,2，2002411605525P XC ,111241815525P XC ,022241125525P XC ,故 X 的分布列为：X012P1625825125168120122525255E X 18（12 分）解：（1）若选，由coscosaBbAcb及正弦定理，得sincoscossinsinsinABABCB，即sincoscossinsinsinABABABB，即sincoscossinsincoscossinsinABABABABB，所以2cossinsinABB，因为0B,所以sin0B，所以1cos2A，又0A,所以3A 若选，由tantantan3tantan0ABCBC，得tantantantantantan1tantan3tan1ABABCABABB ，3tantantanBAB，因为0B,所以tan0B，当2B 时，tan B不存在，所以tan3A，又0A,所以3A 若选，因为ABC的面积为1sinsinsin2a bBcCaA，所以11sinsinsinsin22ABCSa bBcCaAbcA，即222bcabc，所以2221cos22bcaAbc，又0A,所以3A（2）由（1）知，3A，ABC内切圆半径为3，113sin22abcbcA，即3832bcbc182bcbc，由余弦定理，得2222cos3abcbc，即2212642bcbc，所以2364bcbc，联立，得2183642bcbc，解得44bc，所以134411 322ABCS19（12 分）解：（1）证明：连接BE，取线段AE的中点O，连接,DO OC，在 RtADEV中，2DADE，,1DOAE DO，在OEC中，131,2,24OEAEECOEC，由余弦定理可得：22122 1252OC ，5OC在DOC中，2226,DCDOOCDOOC，又,AEOCO,AE OC 平面ABCE，DO平面ABCE，又DO 平面,ADE平面ADE 平面ABCE，在ABE中，2,2 2AEBEAB，BEAE平面ADE 平面,ABCEAE BE平面ABCE，BE平面ADE.（2）过E作DO的平行线l，以E为原点，,EA EB l分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，1,0,1,1,1,0,2,0,0,0,2,0DCAB，平面ADE的法向量10,1,0n，在平面直角坐标系xOy中，直线AB的方程为2xy，设H的坐标为,2,0tt，则1,1,0,2,1,1HCttDC ，设平面DHC的法向量为2,nx y z，220,0nHCnDC ，所以110,20txtyxyz，令1yt，则21,3,1,1,3xtztnttt ，由已知122221221cos421(1)(1)(3)n ntn nttt ，解之得：1t 或 9（舍去），所以点H是线段AB的中点.20（12 分）解：（1）根据题意可知 fx的定义域为0,，ln1fxmx，令 0fx，得1xe当0m 时，10 xe时，0fx，1xe时()0fx；当0m 时，10 xe时，()0fx，1xe时 0fx综上所述，当0m 时，fx在10,e上单调递减，在1,e上单调递增；当0m 时，fx在10,e上单调递增，在1,e上单调递减（2）依题意，22ln1mxxxxe，即12ln0 xmxxe在0,上恒成立，令 12lnxmxxp xe，则 222111mxmxp xxxx 对于21yxmx，2m40，故其必有两个零点，且两个零点的积为1，则两个零点一正一负，设其正零点为00 x,，则20010 xmx，即001mxx，且 p x在00,x上单调递减，在0,x 上单调递增，故00p x，即00000112ln0 xxxxxe令 112lnq xxxxxxe，则 2222111111ln11lnqxxxxxxx ，当0,1x时，0qx，当1,x时，0q x，则 q x在0,1上单调递增，在1,上单调递减，又 10qq ee，故01,xee，显然函数001mxx在1,ee上是关于0 x的单调递增函数，则11,me eee，所以实数m的取值范围为11,00,eeee21(12 分)解：（1）由题意，设椭圆半焦距为 c，则12ca，即2222114cbaa，得32ba，设1111,2OABB x ySa y，由1yb，所以OABS的最大值为12ab，将32ba代入132ab，有2334a，解得2,3ab，所以椭圆的标准方程为22143xy；（2）设22,C xy，因为点 B 为椭圆 E 上异于左、右顶点的动点，则直线 BC 不与x 轴重合，设直线 BC 方程为xmyt，与椭圆方程联立得2223463120mymtyt，2 2223612 3440m tmt，可得2234tm，由韦达定理可得21212226312,3434mttyyy ymm，直线 BA 的方程为11(2)2yyxx，令xt得点 M 纵坐标11(2)2My tyx，同理可得点 N 纵坐标22(2)2Ny tyx，当 O、A、M、N 四点共圆，由相交弦定理可得PA POPMPN，即(2)MNt ty y，2221212122212121212(2)(2)(2)2222(2)(2)MNy y ty y ty y ty yxxmytmytm y ym tyyt 222222234(2)346(2)34(2)ttmtm t tmt22223(2)(2)3(2)634(2)ttm tm tmt23(2)(2)3(2)(2)4(2)4ttttt，由2t，故3(2)(2)(2)4t ttt，解得6t（二）选考题（二）选考题:共共 10 分分.22.（10 分）（1）（1）C1的参数方程为45cos55sinxtyt（x4）2（y5）225（cos2tsin2t）25，即 C1的直角坐标方程为（x4）2（y5）225，把cos,sinxy代入（x4）2（y5）225，化简得：28 cos10 sin160.（2）C2的直角坐标方程为 x2y22y，C1的直角坐标方程为（x4）2（y5）225，C1与 C2交点的直角坐标为（1，1），（0，2）.C1与 C2交点的极坐标为(2,),(2,)42.23.（10 分）（1）由题意4abab，411ba，4145549abababbaba，当且仅当4abba，即 b2a 时，ab 有最小值 9，由 4abab，可求得此时 a3，b6（2）由题意及（1）得3xaxbxabxba满足不等式22xaxbtt对任意的xR恒成立，所以232tt，解得13t 实数t的取值范围为1,3