湘豫名校联考2023届高三第一次模拟考试数学（理科）试题含答案.pdf

湘豫名校联考湘豫名校联考2023 年年 3 月高三第一次模拟考试月高三第一次模拟考试数学（理科）数学（理科）一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的要求的1已知集合2230AxxxR，|2|1BxxR，则ABR（）A(1,3B1,3C1,3)D(1,3)2若复数1i1iaz（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于第四象限，则实数 a 的取值范围为（）A(,1)B(1,1)C 1,1D(1,)3在递增等比数列 na中，34a，且53a是6a和7a的等差中项，则10a（）A256B512C1024D20484已知定义在 R 上的函数()f x满足(2)(2)0fxfx，(1)f x 为偶函数且(1)1f，则(2023)f（）A1B0C1D25多年来，网络春晚一直致力于为本土市民“圆春晚梦”，得到了广大市民的认可某市 2023 年网络春晚海选如期举行，该活动总共分为海选、复赛、决赛三个阶段，参赛选手通过决赛后将参加该市 2023 年网络春晚已知甲、乙、丙三人组成一个小组，假设在每一轮比赛中，甲、乙、丙通过的概率依次为34，23，23，假设他们之间通过与否互不影响，则该小组三人同时进入决赛的概率为（）A19B49C13D186已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左、右焦点分别为1F，2F，A 是双曲线 C 的左顶点，以12FF为直径的圆与双曲线 C 的一条渐近线交于 P，Q 两点，且24AP AQa ，则双曲线 C 的离心率为（）A2B3C5D27已知实数 x，y 满足约束条件3,0,20,xxyxy则|2|xy的最大值是（）A5B6C7D98已知某离散型随机变量 X 的分布列如下：x1012Pabc13若3()4E X，7(1)12P X，则()D X（）A1516B98C1916D549为弘扬中国优秀传统文化，某地教育局决定举办“经典诵读”知识竞赛竞赛规则：参赛学生从红楼梦 论语 史记这 3 本书中选取 1 本参加有关该书籍的知识竞赛，且同一参赛学校的选手必须全部参加 3 本书籍的知识竞赛某校决定从本校选拔出的甲、乙等 5 名优秀学生中选出 4 人参加此次竞赛因甲同学对论语不精通，学校决定不让他参加该书的知识竞赛，其他同学没有限制，则不同的安排方法有（）种A128B132C156D18010高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设xR，用 x表示不超过 x 的最大整数，则 yx称为“高斯函数”，例如：2.53，2.72 已知数列 na满足11a，23a，2123nnnaaa，若21lognnba，nS为数列11nnb b的前 n 项和，则2023S（）A20222023B20242023C20232024D2025202411党的二十大报告将“完成脱贫攻坚、全面建成小康社会的历史任务，实现第一个百年奋斗目标”作为十年来对党和人民事业具有重大现实意义和深远历史意义的三件大事之一某企业积极响应国家号召，对某经济欠发达地区实施帮扶，投资生产 A 产品经过市场调研，生产 A 产品的固定成本为 200 万元，每生产x 万件，需可变成本()p x万元，当产量不足 50 万件时，31()60120p xxx；当产量不小于 50 万件时，6400()1011360p xxx 每件A产品的售价为100元，通过市场分析，生产的A产品可以全部销售完 欲使得生产该产品能获得最大利润，则产量应为（）A40 万件B50 万件C60 万件D80 万件12下列结论正确的是（）A202120222023log2022log20232022B202220212023log2023log20222022C202220212023log2023log20222022D202120222023log2022log20232022二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分13已知向量(1,)at，(2,)bt，1113cab，若bc，0t，则a在b方向上的投影是_14在631axx的展开式中，各项系数的和与各二项式系数的和之比为 64，则a _15已知三棱锥 P-ABC 中，PB 平面ABC，2 3ABBCPB，6AC，则三棱锥 P-ABC 外接球的体积为_16设过点(2,1)的直线 l 与椭圆22:14xCy交于 M，N 两点，已知点(0,1)A，若直线 AM 与直线 AN的斜率分别为1k，2k，则12kk_三三、解答题解答题：共共 70 分分解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤第第 1721 题为必考题题为必考题，每个试题考生每个试题考生都必须作答第都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分17（本小题满分 12 分）已知函数2()2 3coscos2sin2f xxxx，在ABC中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且()3f A（1）求角 A；（2）若 b=3，c=2，点 D 为 BC 边上靠近点 C 的三等分点，求 AD 的长度18（本小题满分 12 分）为庆祝党的二十大的胜利召开，培养担当民族复兴的时代新人，某高校在全校开展“不负韶华，做好社会主义接班人”的宣传活动为进一步了解学生对党的“二十大”精神的学习情况，学校开展了“二十大”相关知识的竞赛活动，现从参加该活动的学生中随机抽取 100 人，将他们的竞赛成绩（满分为 100 分）分为 5 组：50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100，得到如图所示的频率分布直方图：（1）估计这 100 名学生的竞赛成绩的中位数（结果保留整数）；（2）在抽取的 100 名学生中，规定：竞赛成绩不低于 70 分为“优秀”，竞赛成绩低于 70 分为“非优秀”请将下面的 22 列联表补充完整，并判断是否有 99%的把握认为“竞赛成绩是否优秀与性别有关”？（精确到 0.001）优秀非优秀合计男30女50合计100参考公式及数据：22()()()()()n adbcKab cdac bd，其中nabcd20P Kk0.100.050.0250.0100.0050.0010k2.7063.8415.0246.6357.87910.82819（本小题满分 12 分）已知四棱锥PABCD中，PA平面 ABCD，ADBC，BCAB，12ABADBC，2BD，5PD（1）求直线 PC 与平面 PBD 所成角的正弦值；（2）线段 PB 上是否存在一点 M，使得 CM平面 PBD？若存在，请指出点 M 的位置；若不存在，请说明理由20（本小题满分 12 分）已知抛物线2:2(0)C ypx p上的一个动点 P 到抛物线的焦点 F 的最小距离为 1（1）求抛物线 C 的标准方程；（2）过焦点 F 的直线 l 交抛物线 C 于 A，B 两点，M 为抛物线上的点，且 AMBM，MFAB，求ABM的面积21（本小题满分 12 分）已知函数()ln1f xxxx（1）求函数()f x的图象在点(1,(1)f处的切线方程；（2）求证：()exf x（二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在分请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的圆心坐标为(2,2)，且过原点 O以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为(cossin)1（1）求圆 C 的参数方程及直线 l 的直角坐标方程；（2）若直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，点 P 在圆 C 上运动，求PAB面积的最大值23（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲若函数()|2|3|(0)f xxtxt的最大值为 5（1）求 t 的值；（2）已知 a0，b0，且 a+2b=t，求21ab的最小值湘豫名校联考湘豫名校联考2023 年年 3 月高三第一次模拟考试月高三第一次模拟考试数学（理科）参考答案数学（理科）参考答案题号123456789101112答案DBBAACDCBCDB一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的要求的1D【命题意图】本题考查集合的运算、解不等式，考查了数学运算的核心素养【解析】因为集合223013Axxxxx RR，|2|1BxxR，所以|2|113BxxxxRRR所以13(1,3)ABxxRR故选 D2B【命题意图】本题考查复数的运算、复数的几何意义，考查了数学运算、直观想象的核心素养【解析】因为复数1i(1i)(1i)1(1)i11i1i(1i)(1i)222aaaaaaz，其在复平面内对应的点位于第四象限，所以10,10,aa 解得11a 所以实数 a 的取值范围为(1,1)故选 B3B【命题意图】本题考查等差数列的性质、等比数列的通项及其性质，考查了数学运算、逻辑推理的核心素养【解析】设等比数列 na的公比为 q，因为53a是6a和7a的等差中项，所以5676aaa，即25556aa qa q因为50a，所以260qq，解得2q 或3q 因为等比数列 na是递增数列，所以2q 又因为34a，所以7710342512aa q故选 B4A【命题意图】本题考查函数的周期性及函数图象的对称性，考查了数学抽象、逻辑推理的核心素养【解 析】因 为(1)f x 为 偶 函 数，所 以(1)(1)fxfx，所 以()(2)f xfx 又(2)(2)0fxfx，所以(2)()f xf x，所以(4)(2)()f xf xf x，所以函数()f x的一个周期为 4，所以(2023)(50641)(1)(1)1ffff 故选 A5A【命题意图】本题考查相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式，考查了转化思想和数据分析求解能力以及数学建模的核心素养【解析】设该小组三人能同时进入决赛为事件 A，则该小组三人能同时进入决赛即前两轮比赛三人都顺利通过，则3223221()4334339P A 故选 A6C【命题意图】本题考查圆与双曲线的综合问题，以及双曲线离心率的求法，考查了运算求解能力和数学运算的核心素养【解 析】方 法 一：依 题 意，易 得 以12FF为 直 径 的 圆 的 方 程 为222xyc 又 由 双 曲 线2222:1(0,0)xyCabab，易得双曲线 C 的渐近线方程为byxa 当byxa时，如图，设00,P xy，则00,Qxy联立222,byxaxyc解得,xayb或,xayb 所以(,)P a b，(,)Qab又因为(,0)Aa，所以AQx轴因为(2,)APa b，(0,)AQb所以224AP AQba ，所以2ba因为222abc，所以225ac同理，当byxa 时，亦可得225ac故双曲线 C 的离心率为5e 故选 C方 法 二（极 化 恒 等 式）：易 得 坐 标 原 点 O 为 线 段 PQ 的 中 点，且|2PQc，所 以222222211()()|2|444AP AQAPAQAPAQAOQPaca ，所 以225ac，5e 故选 C7D【命题意图】本题考查线性规划，考查了直观想象、逻辑推理的核心素养【解析】由题，画出满足题意的可行域如图所示，令2zxy，2zxy可化为1122yxz，12z相当于直线1122yxz在 y 轴上的截距平移直线12yx，当直线过点 A 时，截距最大，z 最小；当直线过点 C 时，截距最小，z 最大，联立20,3,xyx得3,5,xy所以(3,5)A 联立0,3,xyx得3,3,xy 所以(3,3)C所以min3257z，max32(3)9z 所以maxmax|2|9xyz故选 D8C【命题意图】本题考查离散型随机变量的分布列、期望与方差，考查了数据分析、数学运算的核心素养【解析】由题意，得113abc，所以23abc因为13()(1)01234E Xabc ，所以112ac 由17(1)312P Xc，得14c，代入解得：16a，14b 所以22223131313119()10124644444316D X 故选 C9B【命题意图】本题考查排列、组合的综合问题，考查了运算求解能力，逻辑推理和数学建模的核心素养【解析】根据题意，学校从 5 名优秀学生中选出 4 人去参加 3 本书籍的知识竞赛，且每本书的知识竞赛都要有该校学生参加，则必会有两人去参加同一书籍的知识竞赛若选出的 4 名学生中不含甲同学，在这 4名学生中任意取 2 人进行捆绑，则不同的安排方法共有2343CA36种；若选出的 4 名学生中含有甲同学，则在剩余的 4 名优秀学生中再抽取 3 人，共有34C4种方法；若甲同学和其中 1 名学生去参加同一书籍的知识竞赛，则共有112322CCA12种方法；若甲同学单独一人去参加某本书的知识竞赛，则共有122232CCA12种方法根据分类加法计数原理和分步乘法计数原理可得，不同的安排方法共有4(1212)96种综上所述，不同的安排方法共有3696132种故选 B10C【命题意图】本题考查数学文化、数列求和，考查了数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养【解析】由2123nnnaaa，得2112nnnnaaaa又212aa，所以数列1nnaa构成以2 为首项，2 为公比的等比数列，所以12nnnaa又212aa，2322aa，112nnnaa，叠加可得12121321222(2)nnnaaaaaan，即1211222nnaa，所以0121222221(2)nnnan又因为11a 满足上式，所以21nnanN所以1121nna因为112212nnn，所以11222log 2log21log 2nnn，即12log211nnn，所以1212loglog21nnnban故11111(1)1nnb bnnnn所以20231111112023112232023202420242024S 故选 C11D【命题意图】本题考查函数的应用，考查了数学建模、数学运算、逻辑推理的核心素养【解 析】由 题 意 得，销 售 收 入 为 100 x 万 元，当 产 量 不 足 50 万 件 时，利 润31()100()20040200120f xxp xxx；当 产 量 不 小 于50万 件 时，利 润6400()100()2001160f xxp xxx所以利润3140200,050,120()64001160,50.xxxf xxxx因为当 0 x0，所以()2(3)6,3,()|2|3|()2(3)36,3,()2(3)6,xtxxtxf xxtxxtxxtxtxtxxt xt 即6,3,()36,3,6,.xtxf xxtxtxtxt 因为()f x在(,3 上单调递增，在(3,)t，,)t 上单调递减，所以max()(3)365f xft ，所以2t（2）由（1）知2t，则22ab因为0a，0b，所以2112114(2)2222baabababab1 41422222422bab aabab，当且仅当4baab，即2ab时，等号成立又22ab，所以当1a，12b 时，21ab取得最小值 4