2023届汕头高三一模数学试题含答案.pdf

2023 年汕头市普通高考第年汕头市普通高考第一一次模拟考试试题次模拟考试试题数数学学注意事项：注意事项：1.答题前答题前，考生在答题卡上务必用直径考生在答题卡上务必用直径 0.5 毫米毫米黑色墨水黑色墨水签字签字笔将笔将自己自己的姓名的姓名、准考证号填准考证号填写清楚，并贴好条形码写清楚，并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.2.选择题的作答选择题的作答：每小题每小题选选出答案后出答案后，用用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域区域均无效均无效.3.非选择题的作答：用黑色非选择题的作答：用黑色签字签字笔直接答在答题卡上对应的答题笔直接答在答题卡上对应的答题区域区域内内.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡考试结束后，请将本试题卷和答题卡一一并上交并上交.第第卷卷选择题选择题一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.设全集0,1,2,3,4U，集合21AxU x，则UC A（）A.13xxB.13xxC.2D.1,2,32.1977 年是高斯诞辰 200 周年，为纪念这位伟大的数学家对复数发展所做出的杰出贡献，德国特别发行了一枚邮票，如图，这枚邮票上印有 4 个复数，设其中的两个复数的积56i7iiab，则ab（）A.7 11 B.356C.425D.7 113.古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成正三角形的数，如 1，3，6，10，15，我国宋元时期数学家朱世杰在四元玉鉴中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”锥垛就是每层为“三角形数”的三角锥的锥垛（如图所示，顶上一层 1 个球，下一层 3 个球，再下一层 6 个球），若一“落一形”三角锥垛有 20 层，则该锥垛球的总个数为（）A.1450B.1490C.1540D.1580（参考公式：2222*(1)(21)1236n nnnnN）4.已知向量1,3a，1,0b ，3,ck.若,a cb c ，则实数k（）A.3B.3C.3D.35.现将 A、B、C、D、E、F 六个字母排成一排，要求 A、B 相邻，且 B、C 不相邻，则不同的排列方式有（）种.A.192B.240C.120D.286.已知点 P 是椭圆22194xy上一点，椭圆的左、右焦点分别为1F、2F，且121cos3FPF，则12PFF的面积为（）A.6B.12C.2D.2 27.已知0,2x，0,2y，cossin1 cos2cossinsin2xxyxxy，则下列判断正确的是（）A.tan1yxB.tan1yx C.tan1yxD.tan1yx 8.已知函数 f x，g x的定义域为R，g x为 g x的导函数，且 2f xgx，42f xgx，若 g x为偶函数，则下列结论不一定成立的是（）A.42fB.13ffC.20gD.134ff二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.9.如图所示，函数 3tan 22fxx的部分图象与坐标轴分别交于点 D，E，F，且DEF的面积为4，则以下结论正确的是（）A.点 D 的纵坐标为3B.,3 6 是函数 f x的一个单调递增区间C.对任意kZ，点,0124k都是函数 f x图象的对称中心D.函数 f x的图象可由函数3 tanyx图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移6个单位得到10.已知直线1l：230 xy，2l：230 xy，圆 C：222()()xaybr，若圆 C 与直线1l，2l都相切，则下列选项一定正确的是（）A.1l与2l关于直线yx对称B.若圆 C 的圆心在 x 轴上，则圆 C 的半径为 3 或 9C.圆 C 的圆心在直线60 xy或直线0 xy上D.与两坐标轴都相切的圆 C 有且只有 2 个11.如图，平行六面体1111ABCDABC D中，以顶点 A 为端点的三条棱长均为 1，且它们彼此的夹角都是60，则（）A.16AC B.1ACBDC.四边形11BDD B的面积为22D.平行六面体1111ABCDABC D的体积为2212.已知2336xy，则下列说法正确的是（）A.2xyxyB.16xy C.9xyD.2232xy第第卷卷 非选择题非选择题三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.在102xyx的展开式中，7xy的系数为_.14.已知 f x是定义在,00,上的偶函数，当0 x 时，e1xf x，则曲线 yf x在点1,1f处的切线方程为_.15.如图，在正四棱台1111ABCDABC D中，4AB，112AB，若半径为 r 的球 O 与该正四棱台的各个面均相切，则该球的表面积S _.16.过双曲线 C：222210,0 xyabab上的任意一点 P，分别作双曲线两条渐近线的平行线，交两条渐近线于点 M，N，若214OM ONb ，则双曲线离心率的取值范围是_.四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分 10 分）如图，在ABC中，D 是 BC 边上的一点，BAD，DAC.（1）证明：sinsinBDABDCAC；（2）若 D 为靠近 B 的三等分点，2 7AB，2AC，90，BAC为纯角，求ACDS.18.（本小题满分 12 分）2023 年 1 月 14 日，翘首以盼的汕头镇邦美食街开街啦！近年来，汕头多措并举，提升汕头美食品牌，推动潮汕菜产业做大做强，镇邦美食街的建成开街，是汕头美食产业的又一里程碑，同时“舌尖汕头”汕头美食地图同步上线，以微信小程序的形式面向游客，并通过意见反馈功能收集游客满意度调查问卷.（1）现将游客按年龄段分为老中青三个群体，通过问卷数据分析显示，老年群体中有 56%的游客给予好评，中年群体有 65%的游客给予好评，青年群体中有 70%的游客给予好评，且老中青三个群体游客人数之比为5:6:9，从这三个群体中随机抽取 1 名游客，求该游客给予好评的概率.（2）镇邦美食街共有 20 多家餐饮单位进驻，为维护市场价格秩序，营造公平竞争良好环境，汕头市监管部门到镇邦美食街举办餐饮明码标价现场指导会，现针对明码标价指导会前、会后游客满意度进行问卷回访调查，统计了 100 名游客的数据，列出如下22列联表：对镇邦美食街餐饮价格是否满意明码标价指导会前明码标价指导会后合计满意285785不满意12315合计4060100请根据小概率值0.001的独立性检验判断游客对汕头镇邦美食街餐饮价格满意度与监管部门举办明码标价现场指导会是否有关联.参考公式：22n adbcxabcdacbd，nabcd 2P xx0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.82819.（本小题满分 12 分）已知nT为正项数列 na的前 n 项的乘积，且13a，21nnnTa.（1）求数列 na的通项公式；（2）设11nnnaba，数列 nb的前 n 项和为nS，求2023S（x表示不超过 x 的最大整数）.20.（本小题满分 12 分）如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 与 ABEF 均为直角梯形，ADBC，AFBE，DA 平面ABEF，ABAF，222ADABBCBE.（1）已知点 G 为 AF 上一点，且2AG，求证：BG 与平面 DCE 不平行；（2）已知直线 BF 与平面 DCE 所成角的正弦值为55，求该多面体 ABCDEF 的体积.21.（本小题满分 12 分）如图，已知,E m n为抛物线220 xpy p内一定点，过 E 作斜率分别为1k，2k的两条直线，与抛物线交于 A，B，C，D，且 M，N 分别是线段 AB，CD 的中点.（1）若0m 且121k k 时，求EMN面积的最小值；（2）若1211(0)kk，证明：直线 MN 过定点.22.（本小题满分 12 分）已知函数()eln(2)ln2xf xaxa.（1）若函数 f x在2023x 处取得极值，求 a 的值及函数的单调区间；（2）若函数 f x有两个零点，求 a 的取值范围.1汕头市一模汕头市一模参考答案与评分标准参考答案与评分标准三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13.解：102yxx的展开式的通项公式为rrrryxxC)()2(T101017233710733710737108)(2)(2)()2(T7,ryxCCyxxCCyxxCkkkkkkk令，则，展开式中的系数为71371012CC）（故答案为-72014.令,0 x则,0 x又)()(xfxf且0 x时1)(xexf1)()(xexfxf当0 x时，1)1(,)1()(efefexfx，所求切线)1()1(xeey即01 yex15.解：如图，作该正棱台的轴截面，其中E，F，M，N分别是AB，CD，11C D，11AB的中点，H，K是MN，EF的中点，G是内切球的球心，H，K是内切球和上、下底面的切点，Q是内切球和侧面11CDDC的切点，内切球的半径为r，由在正四棱台1111ABCDABC D中，4AB，112AB，则1HM，2KF，HGKGQGr，易得1MQHM，2FQFK，则3MFMQQF，2221MGr，2222FGr，且90MGF，所以222MGFGMF，即22149rr，解得2r，从而可知该球的表面积248.Sr16.解：双曲线的渐近线方程为，设点，可得123456789101112CDCBADABBCACDABDABC2，分别联立)(00 xxabyyxaby)(00 xxabyyxaby可得，由题意，所以，即，所以，即，故17.（1）由正弦定理得=2，(1 分)在ABD 中，BDsin=,在ACD 中，CDsin=,(2 分)+=,=,(3 分)=,BDCD=AB(5 分)（2）法一：由(1)知，分）6.(1477121sin21sin790sin272sinACsinABDCBD)7.(147sin)90cos(cos分分）（）（）（9.(.32AD12cos272944917294ACAB94AB94AB94AC31AB32ADAC31AB32AD22222)10(.32ACAD21SACD分法二：由(1)知，=BDDC=AB sinAC sin=2 7290=7=12,=1217=714,(6 分)为钝角,=90,0,2,cos=1 sin2=3 2114,(7 分)ACD=23=2312 sin=2312 2 7 2 3 2114=2 3(10 分)法三：(2)依题意，设=,则=2,=3(6 分)在ACD 中,=90,=2 2=4 42cosC=ACCD=22=1x.(7 分)3在ABC，由余弦定理得=2+222=92+428232=1,解得=2,=2 3.(9 分)ACD=12AD AC=2 3(10 分)18.（1）记“从这三个群体中随机抽取 1 名游客，该游客给予好评”为事件 A321,B,BB分别表示所抽取的游客来自老中青三个群体-（1 分）2099659)B(P1039656BP419655BP321，-（2 分）（）（）（332211BAPBPBAPBPBAPBPAP-（3 分）564165103702092013（5 分）答：该游客给予好评的概率为2013-（6 分）（2）零假设：0H游客满意度与监管部门举办明码标价现场指导会无关联-（7 分）由表格数据和公式得001.0 x-（9 分）根据小概率值001.0的独立性检验，我们推断0H不成立，即认为游客满意度与监管部门举办的明码标价现场指导会有关联，此推断犯错误的概率不大于 0.001-（11 分）检验：明码标价指导会前满意度的频率为701004028明码标价指导会后满意度的频率为951006057所以，明码标价指导会后游客满意度比指导会前高（12 分）19.解：（1）由12nnnaT得：当2n时，nnnaT121211212nnnnnnnaaaTT，nnnnaa11即(2 分)nnnnaa11lnln，1lnln)1(nnanan即，也即)2(1lnln1nnanann(3 分)lnnan是常数列(4 分)当1n时，31annnnana3ln3lnln3lnln，即所以)(3Nnann(6 分)（2）由（1）知，1321132131313nnnnnnb(7 分)132132132(2121nnnnbbbS(8 分)4nnnnn)31(1323232132132132321322121得：由于(9 分)恒成立对*2111321321320Nnn(10 分)2033)132132132(202320222023212023S(11 分)20222023 S(12 分)第 19 题，第（1）小问另解 1：由12nnnaT得：当2n时，nnnaT121211212nnnnnnnaaaTT，nnnnaa11即(2 分)nnnnaa1log)1(，1log1nnnnaa即(3 分)12312logloglog13221 nnnnaaaaaa，nnaa1log即(4 分)又31anna3(5 分)且1n时，31a也满足上式，综上)(3Nnann(6 分)第 19 题，（1）当1n时，2121Ta当2n时，)2(1lnlnlnln)1(lnlnTT,T11111121121212121-nnnanaananaaaaaaaTaannnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnlnnan是常数列nnnnnanana33ln3lnln3lnln且1n时，31a综上)(3Nnann(5 分)（2）由（1）知，)313131(22023)131131131(22023)131131131(2132113213131320232120232120232121SnbbbSbnnnnnnnnn202231202231120233113113122023202320232023）（52023又2023S20222023 S(12 分)20（1）方法一：证明：DA平面ABABEF,平面AFABEF,平面ABEFAFDADAAB，又AFAB 以A为原点，ADAB,AF分别为zyx,轴正半轴建立如图所示空间直角坐标系（1 分）（），（），（），（），（），（0,0,2G0,2,1E2,0,0D1,2,0C0,2,0B0,0,0A)0,2,2(BG,22,1DE120DC），（，设平面DCE的法向量为),(111zyxn 022021111111zyxDEnzyDCn令,11y则2,211xz)2,1,2(1n是平面DCE的一个法向量又02BG1nBG与平面DCE不平行.（5 分）方法二：证明：取 AD 中点 M，AG 中点 N，连接 BM,BN,MN.（2 分）/,MDBC MDBC,所以四边形 BCDM 是平行四边形，/CDBMBMCDE又平面，/BM平面CDE同理/MN平面CDE,=MNBM MBMNCDE，平面平面（4 分）而BG=平面BMN BBG与平面DCE不平行.（5 分）（3）设)0,0,(F a则)0,2,(BF a（6 分）（4）111,cosBFnBFnBFn（7 分）（有数量积公式给分）5534222aa（8 分）整理得01640112aa则4a或114a）（0,0,4F即4AF（9 分）ADBC,AD平面BCABEF平面BEBCABEFABBBCBEABBCBEAB，平面BCEAD平面BCE点 D 到平面BCE的距离为AB（即点 A 到平面BCE的距离）BECDABEFDABCDEFVVV2)1121(312412131）（311（12 分）21 题答案：【解法一】设),(),(),(),(),(),(44332211NNMMyxNyxMyxDyxCyxByxA直线AB的方程为)(1mxkny，即nmxky)(16联立nmxkypyx)(212消去y整理得：0222112pnpmkxpkx1 分由韦达定理知：1212pkxxnmxknmxkyy)()(211121nmkxxk22)(1211nmkpk2221211212pkxxxM，nmkpkyyyM121212),(1211nmkpkpkM同理),(2222nmkpkpkN2 分（1）121kk，CDAB 3 分（或者写出面积公式ENEMS21）当0m时，),(),(222211npkpkNnpkpkM2114122121|kpkkpkpEM，2224222221|kpkkpkpEN222121211|2121kkkkpENEMSEMN22212222122212221121kkpkkkkp5 分当且仅当1|21 kk时取等号EMN的面积的最小值为2p(2)由（1）知：21222121)()(pkpknmkpknmkpkxxyykNMNMMNpmkkkkpkkmkkp)()()()(21212122217 分直线MN的方程为：)()()(121121pkxpmkknmkpky即mkpkkpkxpmxkknmkpky1212121121)()(2121)(kpkxpmxkkny8 分又2111kk，2121kkkkxpmkpkxkkny21219 分)(21pxkknyxpm当0 px即px 时，10 分0nyppm得mny该直线过定点),(mnp。.(12 分)7【解法 2】（点差法）设),(),(),(),(),(),(44332211NNMMyxNyxMyxDyxCyxByxA则2121121,2xxyykxxxM联立方程22212122pyxpyx，相减得)(2)(212121yypxxxx1 分化为122pkxM，1pkxM代入直线AB方程nmxky)(1得nmkpkyM121，得),(1211nmkpkpkM2 分【另一种写法】（先代入0m）设),(),(),(),(),(),(44332211NNMMyxNyxMyxDyxCyxByxA由已知得直线AB的方程为：nxky1联立方程pyxnxky221得02212pnxpkx1 分由韦达定理得：1212pkxx1212pkxxxM，npknxkyMM211),(211npkpkM2 分同理可得：),(222npkpkN22.（1）依题意，2x ，0a，且1()2xfxaex，（2 分）由20231(2023)02025fae得202312025ae，202311()20252xfxeex在(2,)上递增，当22023 x时，()0fx，当2023x时，()0fx，()f x的减区间为(2,2023)，增区间为(2023)，；（5 分）（2）方法一令ln(2)ln20 xaexa，即ln(ln)ln(2)(2)xaexaxx，lnln(2)(ln)ln(2)xaxexaex，令()xg xex，则由()g x在R上递增得lnln(2)xax，即lnln(2)axx，要使()f x有两个零点，只需方程lnln(2)axx有两根，（8 分）令()ln(2)F xxx，2x ，则1(1)()122xF xxx，当21x 时，()0F x，当1x 时，()0F x，()F x在(2,1)上递增，在(1,)上递减，()(1)1F xF，（10 分）又当2x 时，()F x ，当x 时，()F x ，当ln1a，即0ae时，lnln(2)axx有两根，（11 分）8从而，当(0,)ae时，()f x有两个零点.（12 分）方法二由（1），1()2xfxaex在(2,)上递增，且当2x 时，()fx ，当x 时，()fx ，0(2,)x 使得0()0fx，即0012xaex，且()f x在0(2,)x上递减，在0(,)x上递增，0000011()()(ln)ln22ln222f xf xxaaaxxx，（7 分）又当2x 时，()f x ，当x 时，()f x ，要使()f x有两个零点，只需0()0f x，即0012ln22axx在(2,)上有解，（8 分）令1()22G xxx，则221(3)(1)()1(2)(2)xxG xxx ，当21x 时，()0G x，当1x 时，()0G x，()G x在(2,1)上递增，在(1,)上递减，()(1)2G xG，（10 分）又当2x 时，()G x ，当x 时，()G x ，当2ln2a，即0ae时，0012ln22axx在(2,)上有解，（11 分）从而，当(0,)ae时，()f x有两个零点.（12 分）