福建省福州第一中学2022-2023学年高一上学期期末质量检测数学试卷含答案.pdf
福州一中福州一中 20222023 学年学年高一质量检测高一质量检测高一数学（高一数学（必修第一册必修第一册）模块试卷）模块试卷（考试时间：120 分钟满分：150 分）班级班级_ 座号座号_ 姓名姓名_一、一、单项选择题单项选择题：本大题共本大题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项符只有一项符合题目要求合题目要求1.已知集合21,Ss snnZ，41,Tt tnnZ，则ST（）A.SB.TC.RD.2.已知角的终边上经过点2,Pa，若3，则a的值为（）A.6B.63C.6D.633.若函数 f x和 g x分别由下表给出：则满足 1g f x的x值是（）A.4B.3C.2D.14.为了得到函数 2sin3f xx的图象，只要把函数 2sin 35g xx图象上所有的点（）A向左平移5个单位长度B向右平移5个单位长度C向左平移15个单位长度D向右平移15个单位长度5.已知3sin35，,26，则sin的值为（）A.34 310B.34 310C.32 310D.32 3106.密位制是度量角的一种方法.将周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角.以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制.在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写。密位的写法是在百位数字与十位数字之间画一条短线，如：478密位写成“478”，x1234 f x2341x1234 g x21431周角等于6000密位，记作1周角6000.如果一个扇形的半径为2，面积为73，则其圆心角可以用密位制表示为（）A.2500B.3500C.4200D.70007.若函数 yf x与yfx在区间,m n上的单调性相同，则称区间,m n为 yf x的“稳定区间”，若区间1,2023为函数 12xf xa的“稳定区间”，则实数a的取值范围为（）A.2,1B.12,2C.1,22D.1,28.已知函数 f x的定义域为R，且满足 22f xf x，23fx为偶函数，若 00f，1231123ffff nf n，则n的值为（）A.117B.118C.122D.123二、二、多项选择题多项选择题：本大题共本大题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，有多项符合有多项符合题目要求，全部选对的得题目要求，全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 2 分分9.对于给定的实数a，不等式2110axax 的解集可能是（）A.11xxa B.1x x C.1x x D.R10.已知函数 sinf xAx（其中0A，0，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.f x的图象关于点,012中心对称B.f x在区间,36上单调递增C.f x的图象关于直线23x轴对称D.直线1y 与 231212yf xx图象的所有交点的横坐标之和为8311.已知,x y是正数，且满足221xy，则下列叙述正确的是（）A.1264 2xyB.lnln4ln2xy C.222x yD.221tantan26xy12.已知函数 cossinf xxx，则下列结论正确的有（）A.f x的一个周期是2B.f x在37,24上单调递增C.f x最大值为2D.方程 10f x 在2,2上有7个解三、三、填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分13.请写出一个定义域不是R，但值域为R的奇函数：()f x _.14.已知为第四象限角，5cossin3，则cos2.15.函数 22f xaxax，若命题“0,1x，3f xa”是假命题，则实数a的取值范围为.16.设aR，函数 22tan 2,249,xaxaf xxaxaxa，若函数 f x在区间0,内恰有6个零点，则a的取值范围是_.四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.（10 分）已知集合2611xAxx，集合22210Bx xaxaa，定义集合ABx xAxB且.（1）若2a，求AB.（2）若ABA，求a的取值范围.18.（12 分）已知函数 cosf xAx（其中0A，0，2）的图象过点,03P，且图象上与点P最近的一个最低点的坐标为7,212.（1）求函数 f x的解析式并用“五点法”作出函数在一个周期内的图象简图；（2）将函数 f x的图象向右平移0m m 个单位长度得到的函数 yg x是偶函数，求m的最小值.19.（12 分）已知函数 1lg1xf xx（1）判断函数 yf x的单调性并用定义法加以证明（2）求不等式 lg30ff xf的解集20.（12 分）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上升，可以俯瞰四周景色.某摩天轮最高点距离地面的高度为110m，最低点距离地面10m，已知摩天轮共有40个座舱，开启后摩天轮按逆时针方向匀速旋转，转动一周的时间大约为20min.游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转完一周后下舱.（1）当游客距离地面高度不低于85m时，可以看到游乐园全貌，问在游客乘坐摩天轮旋转一周的过程中，有多少分钟可以看到游乐园全貌？（2）当甲、乙两人先后坐上相邻的座舱，何时二人距离地面的的高度相等？21.（12 分）已知函数 sin4f xx,42sin133g xx,且满足0,x,0f xg x恒成立.（1）求解 g x的零点以及 f x的函数解析式.（2）求函数 f x在区间,4t t上最大值与最小值之差的取值范围.22.（12 分）设函数 f x和 g x的定义域分别为1D和2D，若对01xD，有且仅有n个不同的实数1232,nx xxxD，使0ig xf x(其中1,2,3,in nN,)，则称 g x为 f x的“n重覆盖函数”.（1）试判断 2sin 2023g xxx是否为 12xf x 的“4重覆盖函数”?并说明理由.（2）已知函数 22231,21log,1axaxxg xx x 为 222log21xxf x的“2重覆盖函数”，求实数a的取值范围福州一中福州一中 20222023 学年第一学期学年第一学期高一期末质量检测高一期末质量检测高一数学（高一数学（必修第一册必修第一册）模块试卷）模块试卷参考答案与评分标准参考答案与评分标准一一、选择题选择题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分。在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题只有一项是符合题目要求的。目要求的。12345678BCDDABBC二、二、选择选择题：本题共题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分。分。9101112ABBCDACDBCD三三、填空填空题：本题共题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分。13.tanf xx14.65915.24,716.39 5,2,24 2四四、解答题：共、解答题：共 70 分分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10 分）解答：（1）若2a，集合256023Bx xxxx，1 分因为265101501511xxAxxx xxxxxx3 分所以1235ABxxx或.5 分（2）若ABA，则AB ，6 分因为22210101Bx xaxaax xaxax axa，7 分所以5a，或11a ，即0a 或5a 故当ABA时，a的取值范围为05a aa或.10 分18（12 分）解答：（1）依题得,，2A，74123T，22T，因为72212k，kZ，所以26k，kZ，因为2，所以6，2cos 26f xx，3 分列表得作图得7 分（2）依题得 2cos 22cos 2266g xxmxm，8 分因为 yg x是偶函数，所以直线0 x 是 yg x的一条对称轴，9 分所以26mkkZ，即122kmkZ，因为0m，所以m最小值是512.12 分19（12 分）解答：（1）令101xx，解得11x，所以 yf x的定义域为1,1，1 分任取12,1,1x x ，且12xx，2 分12121212121111lglglg111 1xxxxf xf xxxxx，3 分因为1211xx，所以2111xx ，所以12110 xx，21110 xx，所以122111110 xxxx，即122111111xxxx，122111lg011xxxx，4 分所以12f xf x，yf x在1,1上单调递减5 分26x20232x612371256y020-20（2）因为 yf x定义域为1,1，关于原点对称，又因为 11lglg11xxfxf xxx ，所以 yf x为奇函数，7 分因为 lg30ff xf，所以 lg3lg3ff xff，8 分由（1）得，yf x在1,1上单调递减，所以 1lg3f x ，即11lglg31xx ，所以1111013xx，11 分解得19211x，所以不等式 lg30ff xf的解集为19,2 11.12 分20（12 分）解答：（1）以摩天轮轴心为原点O，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系，设座舱距离地面最近的位置为点P，游客坐上座舱开始转动mint后距离地面的高度为H m.当0mint 时，游客位于点0,50P，以OP为终边的角为2.因为摩天轮半径11010502rm，旋转角速度为2/min/min2010radrad，所以50sin60,020102Htt，3 分当150sin60 85,sincos102102102Httt 即，1cos102t 所以243103t，解得204033t，6 分故游客乘坐摩天轮旋转一周的过程中，有402020min333分钟可以看到游乐园全貌.7 分（2）设游客甲坐上座舱开始转动mint后，甲、乙距离地面的高度分别为1H m,2H m.依题得，150sin60,020102Htt，221150sin60 50sin60,020102401020Httt，9 分因为12HH，所以11sinsin1021020tt，因为020t，所以111021020tt，解得41min4t 所以当游客甲坐上座舱开始转动41min4后，二人距离地面的的高度相等.12 分21（12 分）解答：（1）令 42sin1033g xx，即41sin332x，所以42336xk或526kkZ，即 g x零点为3382xk或7382xk kZ，3 分由上可知 g x在0,的零点依次为38,78,158,因为0,x，0f xg x恒成立，则当30,8x时，0g x，0f x，当37,88x时，0g x，0f x，所以 sin4f xx过点3,08,7,08,即 f x周期273288T，2，sin 24f xx6 分（2）由（1）得，sin 24f xx，周期为，区间,4t t的长度为4，设函数 f x在区间,4t t上最大值与最小值之差为M,当 f x在区间,4t t内部取最值，且 4f tft时，M会取得最小值，此时 max1f x，min22f x，min222122M；8 分当 f x在区间,4t t内最值均在端点处取到时，此时 3sin 2sin 2444Mf tfttt2sin22t，所以max2M，11 分所以函数 f x在区间,4t t上最大值与最小值之差的取值范围为22,22.12 分22（12 分）解答：（1）2sin 2023g xxx是 12xf x 的“4重覆盖函数”，1 分理由如下：由10,12x可知，11,02xf x ，2 分令23tx，当02x时，1133t，则112sin,33yt t，当3t 或113t时，31y ，则当1,0k 时，yk与2sinyt在区间11,33上有且仅有4个交点，所以 2sin 2023g xxx是 12xf x 的“4重覆盖函数”.6 分（2）22221loglog12121xxxf x定义域为R，因为111,221x，所以 222log0,121xxf x，7 分依题得，g xk，0,1k，有2个不相等实数根，当1x 时，2logg xx单调递增且2log0,x，所以 g xk在1,上有且仅有1个实数根；所以当21x 时，2231axaxk，0,1k 有且仅有1个实数根8 分【法一】【法一】令 2231h xaxaxk，故只需 h x在2,1有唯一零点.因为270hk，故由零点存在定理可知，210hh，即 1320hak，min32ak，320a，解得23a 12 分【法二】【法二】令 2231h xaxax，故只需 yh x与01ykk在2,1图象唯一交点.当0a 时，31h xx，01h，符合题意；当0a 时，h x开口向下，对称轴3112xa ，所以 h x在0,1上单调递减，且对2,0 x ，有 01h xh.所以只需 1320ha，即23a，所以0a.当0a 时，只需 311210ah，即3423aa，所以203a.综上所述，23a 12 分【法三】【法三】令 2231h xaxaxk，故只需 h x在2,1有唯一零点.当0a 时，310h xxk ，12,13kx，符合题意；当0a 时，h x开口向下，对称轴3112xa ，270hk恒成立只需 312210ah ，或 3211210ah ，即 1320hak，解得0a；当0a 时，h x开口向上，对称轴3112xa ，270hk恒成立只需 311210ah，或 3111210ah ，即 1320hak，min32ak，320a，解得203a;综上所述，23a 12 分
