2023届辽宁省葫芦岛市普通高中高三1月学业质量监测考试数学试题含答案.pdf

高三数学试卷第 2 页（共 4 页）高三数学试卷第 1 页（共 4 页）装订线2023 年年 1 月月葫葫芦芦岛岛市市普普通通高高中中学学业业质质量量监监测测考考试试高三数学注意事项:1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号、考场号、座位号用 2B 铅笔涂在答题卡上2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题纸上.写在本试卷上无效.3.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回.第卷（选择题，共 60 分）一一、单单项项选选择择题题（本本题题共共8小小题题，每每题题5分分，共共40分分.在在每每小小题题给给出出的的四四个个选选项项中中，只只有有一一项项符符合合题题目目要要求求.）1.设集合104,53MxxNxx，则 MNA.103xxB.143xxC.45xxD.05xx2.设2()5()410zzzzi，则z A.1iB.1iC.12iD.12i3.已知向量 a=(3,3),b=(1,0),c=a+kb若 ac，则实数 k 的值为A-6B43C0D642022 年 4 月 16 日，中国航天，又站在了一个新的起点，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场预定区域成功着陆，三名航天员安全出舱，飞行任务取得圆满成功.神舟十三号返回舱外形呈钟形钝头体，若将其近似地看作圆台，其高为2.5m，下底面圆的直径为2.8m，上底面圆的直径为1m，则可估算其体积约为3.14A33.6mB37.6mC322.8mD334.4m5在一段时间内，甲去某地的概率是14，乙去某地的概率是25，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在这段时间内至少有 1 人去此地的概率是A.110B.920C.1120D.9106.已知(0,2)，sin2=cos(4-)，则 cos2的值为A0B12C32D327.已知函数()f x为偶函数，当0 x 时，()4xf xx，设3(log 0.2)af，0.2(3)bf，1.1(3)cf，则A.cabB.abcC.cbaD.bac8 已知抛物线2:8C yx的焦点为 F，直线 l 过点 F 且与 C 交于 M，N 两点，若8MF，则OMN的面积为A8 33B16 33C5D10二二、多多项项选选择择题题（本本题题共共4小小题题，每每题题5分分，共共20分分.每每小小题题给给出出的的四四个个选选项项中中，有有多多项项符符合合题题目目要要求求.全全部部选选对对得得5分分，部部分分选选对对的的2分分，有有选选错错的的得得0分分.）9已知点(2,3)A，(3,2)B ，斜率为 k 的直线 l 过点(1,1)P，则下列满足直线 l 与线段AB相交的斜率 k 取值范围是A34k B4k C40k D304k10已知R，函数2()(3)sin()f xxx，存在常数aR，使得()f xa为偶函数，则的值可能为A6B4C3D211.在正方体1AC中，M 为 AB 中点，N 为 BC 中点，P 为线段1CC上一动点（不含 C）过 M，N，P 的正方体的截面记为，则下列判断正确的是A当 P 为1CC中点时，截面为六边形B当112CPCC时，截面为五边形C当截面为四边形时，它一定是等腰梯形D设 DD1中点为 Q，三棱锥 QPMN 的体积为定值学校姓名考号高三数学试卷第 4 页（共 4 页）高三数学试卷第 3 页（共 4 页）12.已知函数(),()f x g x的定义域均为 R，且()(2)5,()(4)7f xgxg xf x若()yg x的图像关于直线2x 对称，(2)4g，则A.函数 f(x)对称轴为方程为 x=-1B.函数 g(x)的周期为 4C.对于函数 f(x),有 f(1)+f(2)+f(3)+f(20)=-20D.对于函数,有 g(7)=-6第卷（非选择题，共 90 分）三三、填填空空题题（本本大大题题共共 4 小小题题，每每题题 5 分分，共共 20 分分.）13.(1-2x)(x+1)8的展开式中 x2的系数为(用数字作答).14.已知曲线1xeyxa在 x=1 处的切线 l 与直线230 xy垂直，则实数 a 的值为_.15.随机变量 X 服从正态分布210,XN，12P Xm，1(8)0PXn，则21mn的最小值为_16.设B是椭圆2222:1(0)xyCabab的上顶点，若C上的任意一点P都满足3PBa，则C的离心率的取值范围是_四四、解解答答题题（本本大大题题共共 6 小小题题，共共 70 分分.写写出出必必要要文文字字说说明明、证证明明或或演演算算步步骤骤.）17.(本小题满分 10 分)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且cos2abBcc.（1）求 C；（2）已知2b，设 D 为边AB的中点，若7CD，求 a.18.(本小题满分 12 分)已知数列an满足a11，a23，数列bn为等比数列且公比q0，满足2bn(an1-an)bn2.（1）求数列an的通项公式；（2）数列bn的前 n 项和为 Sn，若_，记数列cn满足 cnan，n 为奇数，bn，n 为偶数，求数列cn的前 2n 项和 T2n在S2+1=12S3,b1，2a2-1,b3成等差数列，S7254 这三个条件中任选一个补充在第(2)问中，并对其求解注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分19.(本小题满分 12 分)2022 年 10 月 22 日，党的二十大胜利闭幕，为了更好的学习二十大精神，某市市委宣传部面向全市各部门开展了二十大宣讲活动。某部门为了巩固活动成果，面向其下属甲、乙、丙三个单位开展“领悟二十大精神”知识竞赛,竞赛成绩达到 95 分以上(含 95 分)的单位将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的单位及冠军得主,收集了甲、乙、丙三个单位以往的知识竞赛成绩,并整理得到如下数据(单位:m):甲:98,97,95.5,95.4,94.8,94.2,94,93.5,93,92.5;乙:97.8,95.6,95.1,93.6,93.2,92.3;丙:98.5,96.5,92,91.6.假设用频率估计概率,且甲、乙、丙三个单位的知识竞赛成绩相互独立.（1）估计甲单位在“知识竞赛”中获得优秀奖的概率;（2）设 X 是甲、乙、丙三个单位中获得优秀奖的单位总数数,估计 X 的数学期望 EX;（3）在“领悟二十大精神”知识竞赛中,甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大?(结论不要求证明)20（本小题满分 12 分）如 图,在 三 棱 锥 P-ABC 中,PA=AB=2，PA 平 面 ABC，ABC,PBC 的面积分别为 2,2 2.（1）求 A 到平面 PBC 的距离;（2）设 D 为 PC 的中点,平面 PBC平面 PAB,求二面角 A-BD-C的正弦值.21.（本小题满分 12 分）已知圆 C：(x-2 3)2+y2=12,，定点 M(-2 3,0)，N 为圆C上一动点，线段 MN 的中垂线与直线 CN 交于点 P.(1)证明：PCPM为定值，并求出点 P 的轨迹C的方程；(2)若曲线C上一点Q，点A,B分别为1:3lyx在第一象限上的点与2:3lyx 在第四象限上的点，若1,23AQQBuuu ruuu r，求AOB面积的取值范围.22.（本小题满分 12 分）已知 f(x)=ex-(a-b)x,g(x)=x-lnx-b,h(x)=()f xx+g(x).（1）若 h(x)0，求 a 的取值范围;（2）若 a=1,证明:存在函数 y=f(x)-b(x+1)和函数 y=g(x)共有 3 个不同的零点，并且这 3 个零点成等差数列.2023 年年 1 月葫芦岛市普通高中学业质量监测考试月葫芦岛市普通高中学业质量监测考试 高三数学高三数学 参考答案及评分标准参考答案及评分标准 一单项选择 14 DBAB 58 CADB 二多项选择 9.AB 10.AD 11AC 12.BC 三填空题 13.12 14.25e 15.6+42 16.12,1)四解答题 17（本小题满分 10 分）17（本小题满分 10 分）（1）由 cosB=ac-b2c，得 2ccosB=2ab，利用正弦定理得：2sinCcosB=2sinAsinB，即 2sinCcosB=2sin(B+C)sinB，化简得 sinB=2sinBcosC，2 分 C（0，），sinC0，cosC=12，又C（0，），3C=.4 分（2）因为 D 为边AB的中点，所以1()2CDCACB=+，则6 分()()22222111242 2cos4443CDCACBCACBCA CBaa=+=+=+，化简得22240aa+=，8 分 解得4a=（舍负）10 分 注：采用补形等其他方法，亦赋分。注：采用补形等其他方法，亦赋分。18（本小题满分 12 分）（本小题满分 12 分）（1）因为 2bn(an1an)bn2，a11，a23，令 n=1 得 4b1b3，2 分 又数列bn为等比数列，所以解得 q=2,故 bn1=2bn，4 分 则 an1an2，所以数列an是以 1 为首项 2 为公差的等差数列，所以 an2n-16 分（2）由（1）知数列数列bn为公比为 2 的等比数列 若选，由 S2+1=12S3得 b1+2b1+112(b1+2b1+4b1)，所以 b12,则 bn=2n8 分 若选，由 b1，2a2-1,b3成等差数列得 4a2-2=b1+b3，即 b1+4b110，所以 b12,则 bn=2n8 分 若选，由 S7254 得1(127)12=254，所以 b12,则 bn=2n 8 分 所以21,2,nnnncn=为奇数为偶数 所以数列cn的奇数项是以 1 为首项 4 为公差的等差数列，偶数项是以 4 为首项 4 为公比的等比数列10 分 所以 T2n()()1321242nnaaabbb+=2(1)4(14)4(41)4=22143nnn nnnn+12 分 19（本小题满分（本小题满分 1 12 2 分）分）(1)由题意知知识竞赛成绩达到 95 分以上(含 95 分)获优秀奖,甲单位的成绩共有 10 个,甲单位的成绩达到 95 分及以上的有 98,97,95.5,95.4,共四个,所以设“甲单位在竞赛中获优秀奖”为事件 A,则事件 A 的概率为 P(A)=410=0.4.2 分(2)由题意知X所有可能取值为0,1,2,3.甲单位在知识竞赛中获优秀奖的概率为P(A)=0.4.设“乙单位在知识竞赛中获优秀奖”为事件 B,则事件 B 的概率为 P(B)=36=0.5.设“丙单位在知识竞赛中获优秀奖”为事件 C,则事件 C 的概率为 P(C)=24=0.5.4 分 于是 P(X=0)=0.60.50.5=0.15,P(X=1)=0.40.50.5+0.60.50.5+0.60.50.5=0.4,6 分 P(X=2)=0.40.50.5+0.40.50.5+0.60.50.5=0.35,P(X=3)=0.40.50.5=0.1,8 分 所以 E(X)=00.15+10.4+20.35+30.1=1.4.10 分(3)甲获得冠军的概率估计值最大.甲的平均数为(98+97+95.5+95.4+94.8+94.2+94+93.5+93+92.5)10=94.79,乙的平均数为(97.8+95.6+95.1+93.6+93.2+92.3)6=94.6,丙的平均数为(98.5+96.5+92+91.6)4=94.65.故甲获得冠军的概率估计值最大.12 分 20(本小题满分本小题满分 12 分分)(1)在三棱锥 P-ABC 中，设点 A 到平面 PBC 的距离为 h，则=13 =223=13 =43，2 分 解得2h=，所以点 A 到平面 PBC 的距离为2.4 分(2)取 PB 的中点 E,连接 AE,如图，因为 PA=AB，所以 AEPB，又平面 PBC平面 PAB，平面 PBC平面 PAB=PB，且 AE平面 PAB，所以 AE平面 PBC，又 BC平面 PBC，AEBC 又 PA平面 ABC，且 BC平面 ABC，所以，PABC.又 AE，PA平面 PAB 且 AEPA=A，所以 BC平面 PAB，又 AB平面 PAB，所以 BCAB.6 分 于是，以 B 为原点直线 BC，BA 为 x,y 轴，过 B 且平行于 PA 做 z 轴，建立空间直角坐标系，如图，由（1）得2AE=，所以 AP=AB=2,PB=2 2，又PBC 面积为 2 2，所以 BC=2，于是，(0,2,0),(0,2,2),(0,0,0),(2,0,0),所以的中点()1,1,1D，则()1,1,1BD=，()()0,2,0,2,0,0BABC=,8 分 设平面ABD的一个法向量(),mx y z=，则020m BDxyzm BAy=+=，可取()1,0,1m=，设平面BDC的一个法向量(),na b c=，则020m BDabcm BCa=+=，x z y 可取()0,1,1n=r，10 分 则11cos,222m nm nmn=，所以二面角ABDC的正弦值为213122=.12 分 21(本小题满分本小题满分 12 分分)（1）证明：由题意，圆 C 的圆心（2 3，0），半径 R=2 3，由点 N 与M关于PQ对称，则|=|,|P|=|=|=23，且|=23 0)，由APPB=，设(,).1=(2),31=(32)=1+21+,=3 121+，6 分 由于 P 点在双曲线上(1+2)23(1+)2(12)23(1+)2=1,412=3(1+)2,12=3(1+)24 8 分 又|=12+312=21，同理|=22，设 OA 的倾斜角为3，则sin=sin23=32.=12|sin=12 41232=312=334(+1+2)10 分 容易知道，函数=+1,13,2,在1,13上单调递减，在(1,2上单调递增，当1=时，()min=334(1+11+2)=33；当13=时，()max=334(13+3+2)=43；33,43.12 分 22(本小题满分本小题满分 12 分分)(1)由题意可知，h(x)=exx-a-lnx+x 的定义域为(0,+),因为 h(x)0，从而有 aexx-lnx+x，2 分 令（x）=exx-lnx+x，(x)=e(-1)2-1+1=(e+)(-1)2.当 0 x1 时,(x)1 时,(x)0,(x)单调递增.则(x)min=(1)=e+1.要使得 h(x)0 恒成立,即满足 a(x)min=e+1.故 a 的取值范围为(-,e+1.4 分(2)证明:令 F(x)=f(x)-b(x+1)=ex-x-b,F(x)=ex-1，在区间(-,0)上单调递减,在区间(0,+)上单调递增；F(x)min=1-b g(x)=x-ln x-b,g(x)=1-1x=x-1x,在区间(0,1)上单调递减,在区间(1,+)上单调递增,且g(x)min=1-b g(x)min=F(x)min,两个最小值相等 6 分 当 b1 时,首先,证明函数 F(x)=ex-x-b 有 2 个零点.依据 F(x)的单调性.结合零点存在定理 F(-b)=e-b0,F(0)=1-b0,(令 t(b)=eb-2b,则当 b1 时,t(b)=eb-20,t(b)t(1)=e-20)所以 F(x)在区间(-,0)上存在且只存在 1 个零点,设为 x1,在区间(0,+)上存在且只存在 1 个零点,设为 x2.其次,证明函数 g(x)有 2 个零点.依据 g(x)的单调性，结合零点存在定理 g(e-b)=e-b0,g(1)=1-b0,(令(b)=b-ln 2b,则当 b1 时,(b)=1-10,(b)(1)=1-ln 20)所以 g(x)在区间(0,1)上存在且只存在 1 个零点,设为 x3,在区间(1,+)上存在且只存在 1 个零点,设为 x4.8 分 再次,证明存在 b 使得 x2=x3.因为 F(x2)=g(x3)=0,所以 b=e2-x2=x3-ln x3.若 x2=x3,则e2-x2=x2-ln x2,即e2-2x2+ln x2=0.所以只需证明 ex-2x+ln x=0 在区间(0,1)上有解即可,即(x)=ex-2x+ln x 在区间(0,1)上有零点.因为(1e3)=e1e3-2e3-30,所以(x)=ex-2x+lnx 在区间(0,1)上存在零点 x0,令 x2=x3=x0即可,此时取 b=e0-x0,此时存函数 F(x)和函数 g(x)共有 3 个零点.10 分 最后,证明 x1+x4=2x0,即三个零点成等差数列.因为 F(x1)=F(x2)=F(x0)=0=g(x3)=g(x0)=g(x4),所以 F(x1)=g(x0)=x0-lnx0-b=elnx0-lnx0-b=F(ln x0),又因为 F(x)在区间(-,0)上单调递减,x10,0 x01,所以 ln x00,所以e01,x41,所以 x4=e0.又因为e0-2x0+ln x0=0,所以 x1+x4=ln x0+e0=2x0,即函数 F(x)和 g(x)从的 3 个零点成等差数列.12 分