广东省潮州市2022-2023学年高三上学期期末教学质量检测数学试卷含答案.pdf

潮州市潮州市 20222023 学年度第学一期期末高三级教学质量检测卷学年度第学一期期末高三级教学质量检测卷数数学学本试卷分选择题和非选择题两部分，共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟。注意事项：1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己姓名和考号填写在答题卡上。2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；答案不能答在试卷上。3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束，将答题卡交回。一、选择题一、选择题（本题共 12 道小题,其中 1 至 8 小题为单项选择题，9 至 12 小题为多项选择题）（一）单项选择题（一）单项选择题（本题共 8 道小题，每小题只有一个选项正确，每小题 5 分，共 40 分）1已知集合3|),(,|),(2xyyxBxyyxA，则BA（）A3,0B)9,3(),0,0(C)0,0(D)9,3(2已知复数z满足1 3i55iz，则复数z在复平面内对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3某种心脏手术成功率为 0.7，现采用随机模拟方法估计“3 例心脏手术全部成功”的概率。先利用计算器或计算机产生 09 之间取整数值的随机数，由于成功率是 0.7，故我们用 0、1、2 表示手术不成功，3、4、5、6、7、8、9 表示手术成功，再以每 3 个随机数为一组，作为 3例手术的结果。经随机模拟产生如下 10 组随机数：856、832、519、621、271、989、730、537、925、907 由此估计“3 例心脏手术全部成功”的概率为（）A0.2B0.3C0.4D0.54若55443322105)1(xaxaxaxaxaax，则543215432aaaaa（）A4B8C80D31255如图是函数 f x的图象，则函数 f x的解析式可以为（）AelnxxB2eexxC21xxD21xx6若正实数 x，y 满足141yx，且不等式mmyx342恒成立，则实数 m 的取值范围（）A)1,4(B),4()1,(C4,1D),4 1,(7已知抛物线:E24yx的焦点为F，过F的直线与E交于BA,两点，且|3|BFAF，AOB的面积为（）A334B338C34D388点 M，N 分别是棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中棱 BC，CC1的中点，动点 P 在正方形 BCC1B1（包括边界）内运动若 PA1面 AMN，则 PA1长度的最小值是（）A3B233C3D223（二）多项选择题（二）多项选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，每小题有多个选项正确，每小题全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错得 0 分）9下列说法正确的是（）A),(2NX，当不变时，越小，该正态分布对应的正态密度曲线越扁平B运用最小二乘法得到的线性回归直线定经过点),(yxC相关系数r越大，y 与 x 相关的程度就越强D利用2进行独立性检验时，2的值越大，说明有更大的把握认为两事件有关系10已知函数)(43)3sin(2)(*Nxxf在区间65,125上单调递减，则下列叙述正确的是（）A)(xf的最小正周期为2B)(xf关于直线12x轴对称C)(xf在,2上的最小值为45D)(xf关于点)0,32(对称11已知双曲线2222:1xyCab)0,0(ba的左，右焦点为1F，2F，记22cab，则下列结论中正确的有（）A若ba，则曲线 C 的离心率)2,1(eB若以1F为圆心，b为半径作圆1F，则圆1F与 C 的渐近线相切C直线axaby与双曲线 C 相切于一点D若 M 为直线2axc上纵坐标不为 0 的一点，则当 M 的纵坐标为cab时，2OMF外接圆的面积最小12已知函数)(xf的定义域为),0(，导函数为)(xf，满足xexxfxxf)1()()(，（e为自然对数的底数），且0)1(f，则（）A)3(2)2(3ffB)()2()1(efffC)(xf在1x处取得极小值D)(xf无极大值二、填空题二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13设BA,是圆C上的两点，且32AB，则ACAB14在等比数列na中，1235aa，2446aa，记数列na的前 n 项和、前 n 项积分别为 Sn，Tn，则nnTS2)1(的最大值是15如图，正四棱锥 PABCD 的每个顶点都在球 M 的球面上，侧面 PAB 是等边三角形若半球 O 的球心为四棱锥的底面中心，且半球与四个侧面均相切，则半球 O 与球 M 的半径之比为16定义在 R 上的奇函数)(xf满足)2()(xfxf，且当 1,0 x时，12)(xxf，则函数3)102()()(xxfxg的所有零点之和为_三、解答题三、解答题（本题共 6 道小题,第 17 题 10 分,第 1822 题每小题 12 分，共 70 分）17(本小题满分 10 分)对于数列xn，若对任意 nN*，都有212nnnxxx成立，则称数列xn为“有序减差数列”.设数列an是递减等比数列，其前 n 项和为 Sn，且a1，a2，a34,3,2,1,2,3,4.(1)求数列an的通项公式，并判断数列Sn是否为“有序减差数列”；(2)设nnab2log，为偶数为奇数nbnacnnn,，求921.ccc的值.18(本小题满分 12 分)在平面四边形 ABCD 中，BCCD，AC=3，AD=1，ACD=30(1)求 CD 的长；(2)若ABC 为锐角三角形，求 BC 的取值范围19(本小题满分 12 分)在四棱锥 PABCD 中，底面四边形 ABCD 是一个菱形，且oABC60，AB2，PA=3，PA平面 ABCD.(1)若 Q 是线段 PC 上的任意一点，证明：平面 PAC平面 QBD；(2)当CPCQ31时，求平面 PBC 与平面 QBD 的夹角的余弦值.20(本小题满分 12 分)核酸检测是诊断新冠肺炎的重要依据，首先取病人的唾液或咽拭子的样本，再提取唾液或咽拭子样本里的遗传物质，如果有病毒，样本检测会呈现阳性，否则为阴性。根据统计发现，疑似病例核酸检测呈阳性的概率为 p（0p1）。现有 4 例疑似病例，分别对其取样、检测，多个样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验混合样本中只要有病毒，则混合样本化验结果就会呈阳性，若混合样本呈阳性，则将该组中备份的样本再逐个化验；若混合样本呈阴性，则判定该组各个样本均为阴性，无需再检验。现有以下三种方案：方案一：逐个化验；方案二：四个样本混合在一起化验；方案三：平均分成两组，每组两个样本混合在一起，再分组化验。在新冠肺炎爆发初期，由于检查能力不足，化验次数的期望值越小，则方案越“优”.(1)若 p31，现将该 4 例疑似病例样本进行化验，请问：方案一、二、三中哪个最“优”？(2)若对 4 例疑似病例样本进行化验，且想让“方案二”比“方案一”更“优”，求 p 的取值范围.21(本小题满分 12 分)已知椭圆 C:2222byax1)0,0(ba的左、右顶点分别为 A，B，点),(00yxP为椭圆 C上一点，点 M，N 关于 y 轴对称，且MNAB，|MN|4，PAB 的面积的最大值为 2(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)设直线 PM,PN 分别交 x 轴于点 D，E，若|AD|，|DE|，|EB|成等比数列,求点 M 的纵坐标22(本小题满分 12 分)已知函数)(ln)(,1)(2Raaxxgaxxxf，(1)若1a，求函数)()()(xgxfxh在区间,1te（其中eete,1是自然对数的底数）上的最小值；(2)若存在与函数)()(xgxf，的图象都相切的直线，求实数a的取值范围潮州市期末考试数学答题卡第 1页（共 6 页）县（市、区）学校 _班级 _班级座号 _姓名 _试室号 _密封线内不准答题潮州市潮州市 20222023 学年度第学一期期末高三级教学质量检测卷学年度第学一期期末高三级教学质量检测卷数学答题卡数学答题卡题题 号号一一二二三三总分总分171819202122得得 分分本框为考号填涂区和选择题答题区本框为考号填涂区和选择题答题区，必必用用 2 2B B 铅笔填涂铅笔填涂，填涂的正确方法是：填涂的正确方法是：考考 号号 填填 涂涂 区区一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 题，每小题题，每小题 5 分，共分，共 60 分）分）172839410511612以下为非选择题答题区必须用以下为非选择题答题区必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在指定的区域内作答，否则答案无效黑色字迹的钢笔或签字笔在指定的区域内作答，否则答案无效.二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 分，共分，共 20 分）分）13、14、15、16、三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）17、（本小题满分、（本小题满分 10 分）分）潮州市期末考试数学答题卡第 2页（共 6 页）18、（本小题满分、（本小题满分 12 分）分）潮州市期末考试数学答题卡第 3页（共 6 页）19、（本小题满分、（本小题满分 12 分）分）潮州市期末考试数学答题卡第 4页（共 6 页）20、（本小题满分、（本小题满分 12 分）分）潮州市期末考试数学答题卡第 5页（共 6 页）21、（本小题满分、（本小题满分 12 分）分）潮州市期末考试数学答题卡第 6页（共 6 页）22（本小题满分（本小题满分 12 分）分）7潮州市潮州市 2022202220232023 学年度第一学期末考试高三级教学质量检测卷学年度第一学期末考试高三级教学质量检测卷数学参考答案数学参考答案一、选择题一、选择题（本题共 12 道小题，其中 1 至 8 小题为单项选择题，9 至 12 小题为多项选择题，每小题 5 分，共 60 分）题号123456789101112答案BABCDCADBDBCABDBCD二、填空题二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13.614.815.3116.18部分解析：4两边同时求导得4534232145432)1(5xaxaxaxaax令 x1，可得答案选 C5对于 A：|ln)(xexfx显然在),0(单调递增，故 A 错误；对于 B：2eexxf x定义域为R，故 B 错误；对于 C：21fxxx在,0单调递减，故 C 错误；故选：D6不等式 x+4ym23m 恒成立，(x+4y)minm23m，x0，y0，且141yx，x+4y(x+4y)(yx41)42442244yxxyyxxy，当且仅当yxxy44，即 x2，y8 时等号成立，(x+4y)min4，故 m23m4，即(m+1)(m4)0，解得1m4，实数 m 的取值范围是1，4选 C7设直线 AB 的方程为 xmy1，联立241yxxmy，所以2440ymy，所以121244yymy y，又因为|AF|3|BF|，所以123yy，所以2222434ymy，所以213m，不妨取33m，则12124 334yyy y，所以2124 38 31633yy，所以12118 34 312233AOBSOFyy，故选 A8取 B1C1的中点 E，BB1的中点 F，连结 A1E，A1F，EF，取 EF 中点 O，连结 A1O，点 M，N 分别是棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中棱 BC，CC1的中点，AMA1E，MNEF，AMMNM，A1EEFE，平面 AMN平面 A1EF，动点 P 在正方形 BCC1B1（包括边界）内运动，且 PA1面 AMN，点 P 的轨迹是线段 EF，8A1EA1F5122，EF2112，A1OEF，当 P 与 O 重合时，PA1的长度取最小值 A1O223)22()5(2，故选：D9对于 A，根据正态曲线的几何特征，该正态分布对应的正态密度曲线越瘦高，故 A 错误；对于 B，运用最小二乘法得到的线性回归直线定经过点),(yx，故 B 正确；对于 C，线性相关系数r绝对值越接近 1，表明 2 个随机变量相关性越强，故 C 错误；对于 D，随机变量2的观测值越大，则两个变量有关系的可能性越大，即犯错误的概率越小，故 D 正确。10由条件知1251256521T，512，*N，21或，当1时，)(xf在区间65,125上不单调递减2，43)32sin(2)(xxf，故选 BC.11对于 A，因为ba，所以2)(12222222ababaace，故C的离心率)2,1(e，A 正确；对于 B，因为1,0Fc到渐近线0bxay的距离为22bcdbba，所以 B 正确；对于 C，直线axaby与双曲线 C 相交于一点，所以 C 不正确；对于 D，由正弦定理，可知2OMF外接圆的半径为22sin2|OMFOFR，所以当2sinOMF最大，即2MFOM 时，R最小由直角三角形性质可得 M 的纵坐标为cab，所以 D 正确12因为xexxfxxf)1()()(，所以22)1()()(xexxxfxxfx，所以2)1()(xexxexxfxx，所以xxf)(在(,)单调递增，)3(2)2(3,3)3(2)2(ffff，错误由0)(xexxfx，得cxexfx)(，又 f（1）0，所以 e+c0，即 ce，所以exexfx)(，eexfx)(，当 x1 时，0)(xf，)(xf单调递增，所以正确当 0 x1 时，0)(xf，)(xf单调递减，所以 f极小（x）f（1）ee0，故 BCD 正确13.过点 C 作 CDAB 于 D，则 AD21AB3，)(DCADABACAB60332DCABADAB14.由1235aa，2446aa得公比23546aaaaq，从而11a，12nna，12 nnS，21210222222nnnnT，825)25(21)5(212222222222)1(nnnnnnnnTS，所以当32nn或9时，nnTS2)1(取最大值 8.15.如图，连接 PO，BD，取 CD 的中点 E，连接 PE，OE，过 O 作OHPE 于 H易知 PO底面 ABCD，设 AB4，则2422BCBABD，2221BDBO，2222BOBPPO设球 M 的半径为 R，半球 O 的半径为 R0.则22R322322220PEOEPOOHR故310PEOEPOOHRR.16.依题意，定义在 R 上的奇函数 f x满足 2fxfx，所以 f x关于1x 对称，从而可知 fx是周期为4的周期函数.且 f x关于点2,0对称.由于函数3210yx关于2,0对称，画出 yf x，3210yx的图象如下图所示，由图可知，yf x，3210yx有9个公共点，所以 g x的所有零点和为1829.17.（1）数列an是递减的等比数列，所以数列an的公比 q0，又因为a1，a2，a34，3，2，1，2，3，4，所以1,2,4321aaa，2 分所以2112aaq3 分)211(8211)211(4nnnS4 分)211(8)211(4)211(421212nnnnnnSSS02128242412nnnn，5 分即122nnnSSS成立，所以数列Sn是“有序减差数列”。6 分（2）由（1）得nna28，7 分nabnnnn32log28loglog32228 分所以)()(.864297531921bbbbaaaaaccc641718411)411(218)5311()2121212121(85975310 分1018.（1）解：在ACD中，由余弦定理得：ACDDCACDCACADcos22222 分即0232 DCDC，解得 DC=1，或 DC=24 分（2）解法一：由BCCD，且30ACD，可得60ACB，在ABC中，设aBC，由余弦定理可得aaAB3326 分因为ABC为锐角三角形，所以222222BCABACACABBC,8 分即2222333333aaaaaa10 分解得3223 a，所以BC的取值范围为3,2 3212 分（2）解法二：由BCCD，且30ACD，可得60ACB，在ABC中，由正弦定理sinsinBCACBACB，得3sin 120sin313sinsin2tan2BACBACBCBBB，9 分因为ABC为锐角三角形，012090 BACB，090B，所以3090B，可得3tan3B，10 分则103tan B，所以131222tan2B，所以32 32BC，所以BC的取值范围为3,2 3212 分19.（1）证明：因为四边形 ABCD 是菱形，所以 ACBD1 分又 PA平面 ABCD，所以 PABD2 分又APAAC，所以 BD平面 PAC3 分因为BD平面 QBD，所以平面 PAC平面 QBD5 分（2）设 BD 与 AC 的交点为 O，以 OB、OC 所在的直线分别为 x、y 轴，与 AP 同方向的直线为 z轴建立空间直角坐标系，则)1,31,0(Q，P(0,-1,3)，B(3,0,0)，C(0,1,0)，D(-3,0,0)1,31,3(BQ，)0,0,32(BD6 分设平面 QBD 的一个法向量为),(zyxn，则00BDnBQn，所以0320313xzyx11令 y=3，得 x=0，z=-1，)1,3,0(n8 分同理可得，平面 PBC 的一个法向量为)2,3,3(m9 分4010741029|,cos|mn11 分所以平面 PBC 与平面 QBD 的夹角的余弦值为40107.12 分20.（1）方案一：逐个检验，检验次数为 4；1 分方案二：混合在一起检测，记检测次数为 X，则随机变量 X 的可能取值为 1，5所以8116)311()1(4XP，816581161)5(XP，2 分所以方案二检测次数 X 的数学期望为813418165581161)(XE；3 分方案三：每组两个样本检测时，若呈阴性则检测次数为 1 次，其概率为94)311(2，4 分若呈阳性则检测次数为 3 次，其概率为95941，设方案三的检测次数为随机变量 Y，则 Y 的可能取值为 2，4，6，所以8116)94()2(2YP，81409594)4(12CYP，8125)95()6(2YP，6 分所以方案三检测次数 Y 的期望为81342812568140481162)(YE，7 分因为 4E(X)E(Y)，所以选择方案一最优8 分（2）方案二：记检测次数为 X，则随机变量 X 的可能取值为 1，5，所以4)1()1(pXP，4)1(1)5(pXP，9 分所以随机变量 X 的数学期望为444)1(45)1(1 5)1()(pppXE，10 分由于“方案二”比“方案一”更“优”，则4)1(45)(4pXE，11 分解得2210 p，即当2210 p时，方案二比方案一更“优”12 分21.（1）由MNAB，|MN|4，可得42a，解得2a，2 分又PAB 的面积的最大值为 2，所以2421b，解得1b，3 分所以椭圆 C 的方程为1422 yx4 分（2）由题意知，点 P 与点 A，B 不重合，设 M(2，m)，N(2，m)，则直线 PM 的方程为)(20000 xxxmyyy，令 y0 得myxyxxD0000)2(，5 分12同理得myxyxxE0000)2(，6 分所以|)2(|2)2(|000000myxmmyxyxAD，7 分|4|)2()2(|0000000000myymyxyxmyxyxDE，8 分|)2(|)2(2|000000myxmmyxyxEB，9 分因为|AD|，|DE|，|EB|成等比数列，所以|AD|EB|DE|2，即202020202)(16)()4(myymyxm，10 分因为142020 yx，即202044yx，所以 m24，即 m212 分22.（1）由题意，可得xxxxgxfxhln)()()(2，xxxxxxh)1)(12(112)(，1 分令0)(xh，得1x当11te时，)(xh在,1te上单调递减，tttthxhln)()(2min；2 分当 t1 时，)(xh在 1,1e上单调递减，在,1 t上单调递增，0)1()(min hxh3 分综上，当11te时，tttxhln)(2min；当 t1 时，0)(minxh 4 分（2）设函数)(xf在点)(,(11xfx处与函数)(xg在点)(,(22xgx处有相同的切线，则212121)()()()(xxxgxfxgxf，21212121ln112xxaxaxxxax，5 分22121axx，代入axaxxxxx2121221ln1，得024ln24122222aaxxax问题转化为：关于 x 的方程024ln24122222aaxxax有解，6 分设)0(24ln241)(22xaaxxaxxF，则函数)(xF有零点，2ln141)(2axaxxF）（，当aex2时，02lnax，0)(2aeF7 分问题转化为：)(xF的最小值小于或等于 08 分1332232121221)(xaxxxxaxxF，设)0(0120020 xaxx，则当 0 xx0时，F（x）0，当 xx0时，F（x）0)(xF在（0，x0）上单调递减，在（x0，+）上单调递增，)(xF的最小值为24ln241)(200200aaxxaxxF9 分由012020axx知0012xxa，故2ln12)(000200 xxxxxF10 分设)0(2ln12)(2xxxxxx，则01122)(2xxxx，故（x）在（0，+）上单调递增，（1）0，当 x（0，1时，（x）0，F（x）的最小值 F（x0）0 等价于 0 x0111 分又函数xxy12 在（0，1上单调递增，1,(1200 xxa12 分