第十二章-动能定理x.ppt

理论力学电子教程理论力学电子教程第一节 力与力偶的功理论力学电子教程理论力学电子教程 设质点设质点M在变力在变力F的作用下作曲线运动，在某微的作用下作曲线运动，在某微小时段小时段dt 内产生的位移为内产生的位移为 ，路程为，路程为ds。由于。由于 非非常微小，可以认为其大小与常微小，可以认为其大小与ds 的大小相等，且方向与的大小相等，且方向与速度方向（轨迹的切线方向）一致。因此，速度方向（轨迹的切线方向）一致。因此，F在在ds上上所做的所做的元功元功为为 (12-1)第一节第一节 力与力偶的功力与力偶的功理论力学电子教程理论力学电子教程第一节第一节 力与力偶的功力与力偶的功而力而力F在由在由 至至 的一段路程中所做的功为的一段路程中所做的功为(12-2)(12-2)设质点同时受设质点同时受n个力个力F、F、Fn作用，这作用，这n个个力的合力是力的合力是F，则当质点由，则当质点由运动到运动到时，合力时，合力F所做的功为所做的功为 即：合力在任一段路程中做的功等于各分力在即：合力在任一段路程中做的功等于各分力在同一段路程中做的功之和。同一段路程中做的功之和。理论力学电子教程理论力学电子教程 取直角坐标系取直角坐标系Oxyz，则力，则力F 的的元功元功又可表示为又可表示为而在由而在由 至至 一段路程中力一段路程中力F的的总功总功为：为：几种常见力的功的计算公式几种常见力的功的计算公式、重力的功、重力的功取直角坐标系取直角坐标系Oxyz的的z轴铅直向上，则质点系中轴铅直向上，则质点系中任一质点任一质点 所受的重力所受的重力 在各坐标轴上的投影为在各坐标轴上的投影为Fix0，Fiy0，FizPi。第一节第一节 力与力偶的功力与力偶的功理论力学电子教程理论力学电子教程当质点系由第一位置运动到第二位置时，质点系当质点系由第一位置运动到第二位置时，质点系重力重力P所做的功等于所做的功等于 但但 ，其中，其中 是整个质是整个质点系的重量，点系的重量，是质点系重心是质点系重心的纵坐标。于是的纵坐标。于是(12-5)(12-5)即：即：质点系所受重力的功，等于质点系的重量质点系所受重力的功，等于质点系的重量与其重心的高度差之乘积。与其重心的高度差之乘积。上式表明：上式表明：重力的功等于质点的重量与其起始重力的功等于质点的重量与其起始位置与终了位置的高度差的乘积，而与质点运动路位置与终了位置的高度差的乘积，而与质点运动路径无关。径无关。第一节第一节 力与力偶的功力与力偶的功理论力学电子教程理论力学电子教程2、牛顿引力的功、牛顿引力的功图图12-3 12-3 牛顿引力的功牛顿引力的功设位于固定中心设位于固定中心O而质量而质量为为m的物体对于质量为的物体对于质量为m的的质点质点M作用有引力作用有引力F（图（图12-3），而），而 服从牛顿万有引服从牛顿万有引力定律，即力定律，即其中其中r是质点是质点与引力中心点与引力中心点O的距离；的距离；G是引是引力常数。力常数。第一节第一节 力与力偶的功力与力偶的功理论力学电子教程理论力学电子教程以以O为原点，取矢径为原点，取矢径r，则，则 于是于是 利用利用 ，从，从 到到 积分上积分上式，即得质点由式，即得质点由M运动到运动到M时引力时引力F所做的功所做的功(12-6)(12-6)牛顿引力所做的功也只与质点的起始位置及终了牛顿引力所做的功也只与质点的起始位置及终了位置有关，而与质点运动的路径无关。位置有关，而与质点运动的路径无关。第一节第一节 力与力偶的功力与力偶的功理论力学电子教程理论力学电子教程3、弹性力的功、弹性力的功设有一弹簧，一端固定于设有一弹簧，一端固定于O点，另一端系一质点点，另一端系一质点M，如，如图所示。质点运动时，弹簧将图所示。质点运动时，弹簧将伸长或缩短，因而对质点作用伸长或缩短，因而对质点作用一力一力F，称为，称为弹性力弹性力。在弹性。在弹性极限内，根据虎克定律，弹性极限内，根据虎克定律，弹性力力F的大小是的大小是图图12-4 12-4 弹性力的功弹性力的功第一节第一节 力与力偶的功力与力偶的功理论力学电子教程理论力学电子教程于是，弹性力于是，弹性力 的元功为的元功为从从 到到 积分上式，积分上式，弹簧伸长时，弹性力弹簧伸长时，弹性力 指向固定点指向固定点O。以固定点。以固定点为原点，取矢径为原点，取矢径r，则，则 即得质点由即得质点由 运动运动 到时弹性力到时弹性力F所做的功所做的功第一节第一节 力与力偶的功力与力偶的功理论力学电子教程理论力学电子教程 为了简便，命为了简便，命 及及 分别代表质点分别代表质点在第一位置及第二位置时弹簧的伸长（或缩短）量，则在第一位置及第二位置时弹簧的伸长（或缩短）量，则上式成为上式成为 可见，可见，弹性力所做的功也只与质点的起始及弹性力所做的功也只与质点的起始及终了位置有关，而与质点运动的路径无关。终了位置有关，而与质点运动的路径无关。(12-7)(12-7)第一节第一节 力与力偶的功力与力偶的功理论力学电子教程理论力学电子教程4、作用于转动刚体的力及力偶的功作用于转动刚体的力及力偶的功设刚体绕设刚体绕z轴转动，力轴转动，力F 作作用于刚体上用于刚体上M点，若刚体转动点，若刚体转动角度为角度为 ，则，则M点的微小位移点的微小位移 。于是，刚体在定轴转动中仅。于是，刚体在定轴转动中仅有力有力F 的切向分量的切向分量Ft t做功，故做功，故其元功为其元功为第一节第一节 力与力偶的功力与力偶的功理论力学电子教程理论力学电子教程 力力F 对于对于z轴的矩用轴的矩用M表示，则表示，则(12-8)(12-8)若有矩为若有矩为m的力偶作用于刚体上的力偶作用于刚体上，且力偶作用面，且力偶作用面垂直于垂直于z轴，则有轴，则有Mz=m，于是，力偶所作的功为，于是，力偶所作的功为(12-9)(12-9)当刚体作平面运动时，作用于刚体上的力偶当刚体作平面运动时，作用于刚体上的力偶所做的功，可同样计算。所做的功，可同样计算。当转动刚体在力当转动刚体在力F 作用下由作用下由 1 1位置运动到位置运动到 2 2位置，则位置，则力力F的总功为的总功为第一节第一节 力与力偶的功力与力偶的功若M=常量,则理论力学电子教程理论力学电子教程5、摩擦力的功摩擦力的功当两刚体沿接触面有相对滑动时，摩擦当两刚体沿接触面有相对滑动时，摩擦力是做功的力是做功的。一般情况下摩擦力方向与其作。一般情况下摩擦力方向与其作用点的运动方向相反，所以摩擦力作负功，用点的运动方向相反，所以摩擦力作负功，其大小等于摩擦力与滑动距离的乘积。其大小等于摩擦力与滑动距离的乘积。如果摩擦力作用点没有位移，尽管有静如果摩擦力作用点没有位移，尽管有静滑动摩擦力存在，但静滑动摩擦力不做功。滑动摩擦力存在，但静滑动摩擦力不做功。第一节第一节 力与力偶的功力与力偶的功理论力学电子教程理论力学电子教程正压力，摩擦力作用于瞬心C处，而瞬心的元位移(2)圆轮沿固定面作纯滚动时，滑动摩擦力的功圆轮沿固定面作纯滚动时，滑动摩擦力的功(1)动滑动摩擦力的功动滑动摩擦力的功FN=常量时,W=fFN S,与质点的路径有关。(3)滚动摩擦阻力偶滚动摩擦阻力偶M的功的功 若M=常量则理论力学电子教程理论力学电子教程力在单位时间内所作的功，力在单位时间内所作的功，称为称为功率。功率。以以P表示。表示。6、功率功率 设力在设力在t 时间内作的功为时间内作的功为W，则在这段时间内，则在这段时间内的平均功率为的平均功率为当当t趋近于零时的瞬时功率（简称功率）为趋近于零时的瞬时功率（简称功率）为 功率等于力与速度的标积，亦即等于力在速度方功率等于力与速度的标积，亦即等于力在速度方向上的投影与速度之乘积。向上的投影与速度之乘积。(12-10)(12-10)第一节第一节 力与力偶的功力与力偶的功理论力学电子教程理论力学电子教程当作用于定轴转动刚体上的力矩为当作用于定轴转动刚体上的力矩为Mz时，时，功率为功率为机器工作时，必需输入功率。输入功率中，一机器工作时，必需输入功率。输入功率中，一部分用于克服摩擦力之类的阻力而损耗掉，另一部部分用于克服摩擦力之类的阻力而损耗掉，另一部分用于使机械作功，称为分用于使机械作功，称为输出功率输出功率。输出功率与输入功率之比称为机器的输出功率与输入功率之比称为机器的机械效率机械效率，它是衡量机器质量的指标之一。它是衡量机器质量的指标之一。用用表示：表示：第一节第一节 力与力偶的功力与力偶的功理论力学电子教程理论力学电子教程 半径为2r的圆轮在水平面上作纯滚动如图示，轮轴上有绕有软绳，轮轴半径为r，绳上作用常值水平拉力F，求轮心C运动x距离时，力F所作的功。2 2r rO Or rC Cx xF F例例1理论力学电子教程理论力学电子教程 将力F向轮心简化，产生力偶 MC=Fr ，轮的转动角度为 。根据式力F所作的功为解解：2 2r rO Or rC Cx xF F理论力学电子教程理论力学电子教程第二节 质点系的动能理论力学电子教程理论力学电子教程第二节第二节 质点系的动能质点系的动能 质点的动能定义为质点的动能定义为质点系的动能应为各个质点动能的总和质点系的动能应为各个质点动能的总和在某些问题中，可将在某些问题中，可将质点系的运动看作随同质心质点系的运动看作随同质心的平移和相对质心的运动的合成，据此计算质点系的的平移和相对质心的运动的合成，据此计算质点系的动能，动能，往往较为方便。往往较为方便。或或是从运动的角度描述物体机械能的一种是从运动的角度描述物体机械能的一种形式，也是物体作功能力的一种度量。形式，也是物体作功能力的一种度量。理论力学电子教程理论力学电子教程设质点系质心的速度为设质点系质心的速度为vC C ，任一点，任一点Mi i相对于相对于质心的速度为质心的速度为 ，则绝对速度为，则绝对速度为 。于是于是质点系的动能质点系的动能第二节第二节 质点系的动能质点系的动能理论力学电子教程理论力学电子教程（因（因 ）于是上式可写为于是上式可写为 即：即：质点系的动能等于随同其质心平移的质点系的动能等于随同其质心平移的动能与相对其质心运动的动能之和。动能与相对其质心运动的动能之和。这一关系称为这一关系称为柯尼希定理。柯尼希定理。(12-14)(12-14)由于由于第二节第二节 质点系的动能质点系的动能理论力学电子教程理论力学电子教程对于刚体，可推导出下列更为简便实用对于刚体，可推导出下列更为简便实用的动能计算公式。的动能计算公式。刚体平移时，在同上瞬时，刚体上各点刚体平移时，在同上瞬时，刚体上各点的速度都相等，所以，平移刚体的动能为的速度都相等，所以，平移刚体的动能为(12-15)(12-15)第二节第二节 质点系的动能质点系的动能、平移刚体的动能、平移刚体的动能1理论力学电子教程理论力学电子教程 设刚体绕固定轴设刚体绕固定轴z z 转动的角速度为转动的角速度为，则与，则与z z 轴相距轴相距 的一点的速度大小为的一点的速度大小为 ，刚体的，刚体的动能等于动能等于(12-16)(12-16)刚体的平面运动可以看作随同质心的平移与绕着刚体的平面运动可以看作随同质心的平移与绕着质心转动的合成，所以其动能质心转动的合成，所以其动能(12-17)(12-17)第二节第二节 质点系的动能质点系的动能、定轴转动刚体的动能定轴转动刚体的动能2、平面运动刚体的动能平面运动刚体的动能3理论力学电子教程理论力学电子教程 坦克或拖拉机履带单位长度质量为r ，轮的半径为r，轮轴之间的距离为d，坦克或拖拉机前进的速度为v0。求全部履带的总动能。v0C C2 2C C1 1d dr r例例2理论力学电子教程理论力学电子教程v0C C2 2C C1 1d dr r 解：解：在C1C2杆上建立动系C1xy。牵连运动为水平平移，牵连速度为v0；相对运动为绕在两个作定轴转动圆轮上履带的运动。圆轮的角速度为w v0/r,履带上各点的相对速度均为v0。理论力学电子教程理论力学电子教程v0C C2 2C C1 1d dr r应用柯希尼定理，全部履带的总动能为理论力学电子教程理论力学电子教程第三节 动能定理第三节第三节 动能定理动能定理理论力学电子教程理论力学电子教程第三节第三节 动能定理动能定理一、质点系的动能定理一、质点系的动能定理设质点系由设质点系由n个质点组成，考察某质点个质点组成，考察某质点 ，设，设其质量为其质量为mi，速度为，速度为 ，作用于，作用于 的所有力的合的所有力的合力为力为 。将该质点的运动微分方程。将该质点的运动微分方程两边点乘微小位移两边点乘微小位移 ，得，得理论力学电子教程理论力学电子教程每一个质点都可以写出这样一个方程，然后叠加，每一个质点都可以写出这样一个方程，然后叠加，得得上式中上式中 为整个质点系的动能为整个质点系的动能T，于是，于是即即(12-18)(12-18)上式为上式为质点系动能定理的微分形式质点系动能定理的微分形式，它表明：，它表明：质点系质点系动能的微分等于作用于质点系的力的元功之和动能的微分等于作用于质点系的力的元功之和。第三节第三节 动能定理动能定理理论力学电子教程理论力学电子教程将式将式(12-18)(12-18)两边积分，积分的上下限对两边积分，积分的上下限对应于质点系的第二、第一位置，得应于质点系的第二、第一位置，得即，即，当质点系从第一位置运动到第二位置时，当质点系从第一位置运动到第二位置时，质点系动能的改变等于作用于质点系的所有力质点系动能的改变等于作用于质点系的所有力的功之和。的功之和。这是质点系这是质点系动能定理的积分形式，动能定理的积分形式，常称为常称为动动能定理能定理。(12-19)(12-19)第三节第三节 动能定理动能定理理论力学电子教程理论力学电子教程(1)如将作用于质点系的力分为主动力与约束力，则包如将作用于质点系的力分为主动力与约束力，则包括主动力与约束力的功。不过，对于一般常见的约束，括主动力与约束力的功。不过，对于一般常见的约束，如铰约束及辊轴支座等，对应的约束力不做功。如铰约束及辊轴支座等，对应的约束力不做功。(2)如果将作用于质点系的力分为外力与内力，则如果将作用于质点系的力分为外力与内力，则方程中包括所有外力与内力的功。内力虽然是成对方程中包括所有外力与内力的功。内力虽然是成对出现的，但它们的功之和一般并不等于零。出现的，但它们的功之和一般并不等于零。但对刚体而言，由于刚体内任意两点间的距离始终但对刚体而言，由于刚体内任意两点间的距离始终保持不变，所以保持不变，所以刚体内各质点相互作用的内力功之刚体内各质点相互作用的内力功之和恒等于零。和恒等于零。第三节第三节 动能定理动能定理理论力学电子教程理论力学电子教程 不可伸长的绳子，不可伸长的绳子，绕过半径为绕过半径为r的均质滑轮的均质滑轮，一，一端悬挂物体端悬挂物体，另一端连接于，另一端连接于放在光滑水平面上的物块放在光滑水平面上的物块；物；物块块又与一端固定于墙壁的弹簧又与一端固定于墙壁的弹簧相连，如图相连，如图 所示。已知物体所示。已知物体重重P，滑轮，滑轮重重P，物块，物块重重P，弹簧常数为，弹簧常数为k，绳子与滑轮，绳子与滑轮之间无滑动。设系统原来静止于之间无滑动。设系统原来静止于平衡位置，现给平衡位置，现给以向下的初速以向下的初速度度 ，求，求下降一段距离下降一段距离h 时的速度。滑轮轴处的摩擦不计。时的速度。滑轮轴处的摩擦不计。第三节第三节 动能定理动能定理理论力学电子教程理论力学电子教程 解：解：系统在运动过程中的受力情况如图所示，其系统在运动过程中的受力情况如图所示，其中弹性力中弹性力Fk（h），而而是弹簧的静伸长，且是弹簧的静伸长，且P1。系统从初始位置运动到新位置时。系统从初始位置运动到新位置时,各力所各力所做的功之和为做的功之和为 其次计算动能。因绳子不可伸长，故其次计算动能。因绳子不可伸长，故 设物体设物体下降距离下降距离h时的速度为时的速度为 ，这时，这时的速度的速度为为 ，滑轮角速度为，滑轮角速度为，则有，则有第三节第三节 动能定理动能定理理论力学电子教程理论力学电子教程系统在两位置的动能分别是系统在两位置的动能分别是 据动能定理据动能定理 ，解得，解得第三节第三节 动能定理动能定理理论力学电子教程理论力学电子教程 位于水平面内的位于水平面内的行星机构中，曲柄行星机构中，曲柄OO1受力矩受力矩作用而绕固定铅直轴作用而绕固定铅直轴O转动，转动，并带动齿轮并带动齿轮O1在固定水平齿轮在固定水平齿轮O上滚动，如图所示。设曲柄上滚动，如图所示。设曲柄OO1为均质杆，长为均质杆，长l，重，重1；齿；齿轮轮O1为均质圆盘，半径为为均质圆盘，半径为r，重，重P2。设轮曲柄由静止开始转动，。设轮曲柄由静止开始转动，试求曲柄运动到任一位置的角试求曲柄运动到任一位置的角速度、角加速度。速度、角加速度。第三节第三节 动能定理动能定理理论力学电子教程理论力学电子教程 解：解：本题用动能定理求解角速度很方便。至于角本题用动能定理求解角速度很方便。至于角加速度，只要把得到的角速度方程对时间求导即可。加速度，只要把得到的角速度方程对时间求导即可。开始时，整个系统处于静止，所以开始时，整个系统处于静止，所以T1。当曲柄转过任一角当曲柄转过任一角时，设曲柄角速度为时，设曲柄角速度为，动齿轮，动齿轮中心中心O的速度为的速度为 ，动齿轮转动的角速度为，动齿轮转动的角速度为，则系，则系统的动能为统的动能为因为因为 ，所以可将动能，所以可将动能T表示为表示为的函数的函数第三节第三节 动能定理动能定理理论力学电子教程理论力学电子教程 在作用于系统的力及力偶中，只有转矩在作用于系统的力及力偶中，只有转矩 做功，做功，其值为其值为 。于是，由动能定理有。于是，由动能定理有由此解得由此解得 将式将式(a)对对t求导数，并注意求导数，并注意 ，从而求得从而求得(a)第三节第三节 动能定理动能定理理论力学电子教程理论力学电子教程 材料抗冲击的材料抗冲击的能力可由冲击试验机测定，能力可由冲击试验机测定，如图所示。试验机摆锤质量如图所示。试验机摆锤质量为为1818kg，重心到转轴的距离，重心到转轴的距离=84=84cm。杆重不计。实验开始。杆重不计。实验开始时将摆锤抬至时将摆锤抬至 位位置后释放，转至铅直位置冲置后释放，转至铅直位置冲击试件，试件断裂后，摆锤击试件，试件断裂后，摆锤上升至上升至 的位置。的位置。求冲断试件需用的能量。求冲断试件需用的能量。第三节第三节 动能定理动能定理理论力学电子教程理论力学电子教程 解：解：先研究冲击前摆锤的运动过程。摆锤初先研究冲击前摆锤的运动过程。摆锤初始动能为始动能为0，设摆锤转至铅直位置（冲击前瞬时），设摆锤转至铅直位置（冲击前瞬时）的动能为的动能为T1 1，则由动能定理，则由动能定理代入已知数据得代入已知数据得第三节第三节 动能定理动能定理理论力学电子教程理论力学电子教程代入已知数据得代入已知数据得摆锤损失的动能，即冲断试件所需的能摆锤损失的动能，即冲断试件所需的能Wk为为 然后研究摆锤冲断试件后的运动。由于冲击是在然后研究摆锤冲断试件后的运动。由于冲击是在极短时间内完成，所以可以近似认为摆锤在冲击试件极短时间内完成，所以可以近似认为摆锤在冲击试件前后的位置相同，即都在铅直位置。设摆锤冲击后具前后的位置相同，即都在铅直位置。设摆锤冲击后具有的动能为有的动能为T2，摆至位置，摆至位置 时动能为时动能为0。由动能定理由动能定理第三节第三节 动能定理动能定理理论力学电子教程理论力学电子教程二、功率方程二、功率方程两边同除以两边同除以dt上上式称为式称为功率方程功率方程(12-20)(12-20)由动能定理的微分形式由动能定理的微分形式第三节第三节 动能定理动能定理理论力学电子教程理论力学电子教程在功率方程中，等式右边应包括所有作用于质在功率方程中，等式右边应包括所有作用于质点系的力的功率。点系的力的功率。对机器而言，应包括：对机器而言，应包括：输入功率输入功率，即作用于机，即作用于机器的主动力的功率；器的主动力的功率；输出功率输出功率，也称有用功率；，也称有用功率；损损耗功率耗功率，也称无用功率。，也称无用功率。后两者应取负号后两者应取负号。若以若以Pi、Po、Pl分别表示这三种功率，则分别表示这三种功率，则(12-21)(12-21)第三节第三节 动能定理动能定理理论力学电子教程理论力学电子教程三、三、质点相对运动的动能定理质点相对运动的动能定理 将这方程的两边投影到相对轨迹的切线上，得将这方程的两边投影到相对轨迹的切线上，得自然轴系形式的相对运动微分方程自然轴系形式的相对运动微分方程由质点相对运动微分方程由质点相对运动微分方程第三节第三节 动能定理动能定理理论力学电子教程理论力学电子教程即：即：质点在相对运动中的动能的改变，等于作用于质质点在相对运动中的动能的改变，等于作用于质点的力及牵连惯性力在相对位移中的功之和。点的力及牵连惯性力在相对位移中的功之和。沿相对轨迹积分，得沿相对轨迹积分，得由于由于 垂直于垂直于 ，所以，所以 的元功等于零，故上式就成为的元功等于零，故上式就成为 两边分别乘以两边分别乘以 (其中其中是相对运动弧坐标是相对运动弧坐标)，得得(12-23)(12-23)(12-22)(12-22)第三节第三节 动能定理动能定理理论力学电子教程理论力学电子教程光滑细管光滑细管AB，弯成半，弯成半径为径为R的半圆形，以匀角速的半圆形，以匀角速绕铅直轴绕铅直轴z 转动，如图所转动，如图所示。质量为示。质量为m的质点的质点M自初自初位置位置Mo开始，沿管向下运开始，沿管向下运动，且动，且 ，求，求 随位随位置变化的规律。置变化的规律。第三节第三节 动能定理动能定理理论力学电子教程理论力学电子教程 解：解：首先计算首先计算W及及We。实际作用于质点的力有重。实际作用于质点的力有重力及管壁的约束力。但管壁约束力始终与相对路径垂力及管壁的约束力。但管壁约束力始终与相对路径垂直，不做功，而重力的功是直，不做功，而重力的功是 牵连惯性力的功是牵连惯性力的功是又又 ，于是可得，于是可得解得解得 第三节第三节 动能定理动能定理理论力学电子教程理论力学电子教程 平台的质量 m=30 kg，固连在刚度系数 k=18 Nmm1的弹性支承上。现在从平衡位置给平台以向下的初速度v0=5 m s 1，求平台由这位置下沉的最大距离s，以及弹性支承中承受的最大力，假设平台作平动。例例3l l0 01=ss2=s+sv0A A1 1A A2 2v2=0mgF(b)(b)(c)(c)(a)(a)理论力学电子教程理论力学电子教程解：解：取平台为研究对象。从平衡位置A1(图a)运动到最大下沉位置A2(图b)，平台的初动能 T1=mv02/2，而末动能 T2=0。弹簧的初变形1=s=mg/k，末变形 2=s+s，作用在平台上的力有重力mg 和弹性力 F(图c)。l l0 01=ss2=s+sv0A A1 1A A2 2v2=0mgF(b)(b)(c)(c)(a)(a)理论力学电子教程理论力学电子教程根据动能定理的积分形式由此求得平台的最大下沉距离弹性支承有最大压缩量2=s+s,故承受的最大压力Fmax=k(s+s )=mg+ks=4 kN s=204 mm它们的总功为l l0 01=ss2=s+sv0A A1 1A A2 2v2=0mgF(b)(b)(c)(c)(a)(a)理论力学电子教程理论力学电子教程例例4 两根均质直杆组成的机构及尺寸如图示；OA杆质量是AB杆质量的两倍，各处摩擦不计，如机构在图示位置从静止释放，求当OA杆转到铅垂位置时，AB杆B 端的速度。解解：取整个系统为研究对象理论力学电子教程理论力学电子教程 卷扬机如图所示。鼓轮在常力偶M的作用下将圆柱沿斜坡上拉。已知鼓轮的半径为R1，质量为m1，质量分布在轮缘上；圆柱的半径为R2，质量为m1，质量均匀分布。设斜坡的倾角为，圆柱只滚不滑。系统从静止开始运动，求圆柱中心C经过路程s时的速度。O OMMD DC C例例5理论力学电子教程理论力学电子教程 圆柱和鼓轮一起组成质点系。作用于该质点系的外力有：重力m1g和m2g，外力偶M，水平轴支反力FOx和FOy，斜面对圆柱的作用力FN和静摩擦力Fs。应用动能定理进行求解，先计算力的功。因为点O没有位移。力FOx，FOy和m1g所作的功等于零；圆柱沿斜面只滚不滑，边缘上任一点与地面只作瞬时接触，因此作用于瞬心D的法向约束力FN和摩擦力Fs不作功，此系统只受理想约束，且内力作功为零。OMCm1gFOxFOym2gFNFsDw1w2解：解：理论力学电子教程理论力学电子教程质点系的动能计算如下：式中J1，JC分别为鼓轮对于中心轴O，圆柱对于过质心C 的轴的转动惯量：w1和w2分别为鼓轮和圆柱的角速度，即 主动力所作的功计算如下：OMCm1gFOxFOym2gFNFsDw1w2理论力学电子教程理论力学电子教程由动能定理得 以 代入，解得：于是 OMCm1gFOxFOym2gFNFsDw1w2理论力学电子教程理论力学电子教程例例6 图示系统中,均质圆盘A、B各重P，半径均为R,两盘中心线为水平线,盘A上作用矩为M(常量)的一力偶；重物D重P1。问下落距离h时重物的速度与加速度。(绳重不计，绳不可伸长，盘B作纯滚动，初始时系统静止)理论力学电子教程理论力学电子教程解解：取系统为研究对象理论力学电子教程理论力学电子教程 上式求导得：理论力学电子教程理论力学电子教程例例7 行星齿轮传动机构,放在水平面内。动齿轮半径r,重P,视为均质圆盘；曲柄重P1,长l,作用一力偶,矩为M(常量),曲柄由静止开始转动；求曲柄的角速度(以转角 的函数表示)和角加速度。理论力学电子教程理论力学电子教程 根据动能定理，得 将 式对t 求导数，得 解解：取整个系统为研究对象理论力学电子教程理论力学电子教程例例8 质量为m 的杆置于两个半径为r，质量为的实心圆柱上，圆柱放在水平面上，求当杆上加水平力时，杆的加速度。设接触处都有摩擦，而无相对滑动。解：用动能定理求解。解：用动能定理求解。取系统为研究对象，杆作平动，圆柱体作平面运动。设任一瞬时，杆的速度为v，则圆柱体质心速度为 v/2，角速度理论力学电子教程理论力学电子教程系统的动能主动力的元功之和：由动能定理的微分形式：两边除以，并求导数，得理论力学电子教程理论力学电子教程 系统在铅直平面内由两根相同的匀质细直杆构成，A，B为铰链，D为小滚轮，且AD水平。每根杆的质量m=6 kg，长度l=0.75 m。当仰角1=60时，系统由静止释放。求当仰角减到2=20时杆AB的角速度。摩擦和小滚轮的质量都不计。例例9 A AB BD DF FE Em mg gm mg g 1 1 1 1(a)B BA AF FE Em mg gm mg g 2 2 2 2(b)理论力学电子教程理论力学电子教程解解:取整个系统为研究对象，其中杆AB定轴转动，而杆BD平面运动。由图b知，杆BD的速度瞬心是Cv。分析点B的速度有 由于BCv=BD=AB，代入上式，求得wAB=wBDAB wAB=BCv wBDA ABD DF FE EmgmgF FAxAxF FAyAyF FDD(a)B BA AD DF FE Em mg gm mg gF F AxAxF F AyAyF F DD 2 2 2 2 BDBD ABAB(b)v vB Bv vDDC Cv v 1 1 1理论力学电子教程理论力学电子教程AB=BD但两者的转向相反。另外，当2=20 时，有DCv=2l sin 20 由余弦定理可求得Cv E，从而得杆BD质心C的速度vE=Cv E BDA AB BD DF FE Em mg gm mg gF FAxAxF FAyAyF FDD(a)B BA AD DF FE Em mg gm mg gF F AxAxF F AyAyF F DDv vB Bv vDD 2 2 2 2404070707070 BDBD ABAB(b)C Cv v 1 1 1 1v vE E理论力学电子教程理论力学电子教程 在运动过程中，只有杆的重力做功。所以作用在系统中的力在运动过程中的总功为系统开始时处于静止，初动能系统开始时处于静止，初动能系统开始时处于静止，初动能系统开始时处于静止，初动能 T1=0，而末动能等于而末动能等于而末动能等于而末动能等于A AB BD DF FE Em mg gm mg gF FAxAxF FAyAyF FDD(a)B BA AD DF FE Em mg gm mg gF F AxAxF F AyAyF F DDv vB Bv vDD 2 2 2 2404070707070 BDBD ABAB(b)C Cv v 1 1 1 1v vE E理论力学电子教程理论力学电子教程从而得杆AB的角速度大小AB=3.9 rads1(顺钟向)代入动能定理积分形式的方程 T2 T1=W 理论力学电子教程理论力学电子教程 如图所示质量为 m1 的物块 A 悬挂于不可升长的绳子上，绳子跨过滑轮与铅直弹簧相连，弹簧刚度系数为 k。设滑轮的质量为m2，并可看成半径是 r 的匀质圆盘。现在从平衡位置给物块 A 以向下的初速度 v0，试求物块 A由这位置下降的最大距离s，弹簧和绳子的质量不计。s sk kA Av v0 0v v2 2=0 0O O例例10 理论力学电子教程理论力学电子教程解：解：取整个系统作为研究对象。系统运动过程中做功的力为有势力(重力和弹性力)，故可用机械能守恒定律求解。取物块 A的平衡位置作为初位置。弹簧的初变形1=s=m1g/k。物块 A有初速度 v1=v0，故系统初动能 以物块 A 的最大下降点作为末位置，则弹簧的末变形2=s+s；系统的末动能 T2=0。s sk kA Av v0 0v v2 2=0 0O O理论力学电子教程理论力学电子教程 取弹簧未变形时的位置作为弹性力场的零点，又取物块 A的平衡位置作为重力场的零点。于是，系统的初势能 ，而末势能应用机械能守恒定律，有考虑到1=s，2=s+s，m1g=ks，将上式整理后得从而求得物块 A的最大下降距离s sk kA Av v0 0v v2 2=0 0O O理论力学电子教程理论力学电子教程 在绞车的主动轴上作用一恒力偶M以提升重物，如图所示。已知重物的质量为m；主动轴和从动轴连同安装在轴上的齿轮附件的转动惯量分别为J1和J2，传动比 ；鼓轮的半径为R。轴承的摩擦和吊索的质量均可不计。绞车开始静止，求当重物上升的距离为h时的速度。MMm mg g例例11 理论力学电子教程理论力学电子教程 将代入上式，得 选取绞车和重物为研究的质点系。把重物的静止位置和升高了h的位置作为质点系运动的始点和终点，在这两瞬时的动能分别为MMm mg g解：解：理论力学电子教程理论力学电子教程质点系具有理想约束，各处约束反力的功等于零；质点系内力功的和显然等于零。因 ，于是由动能定理得（a a）主动力的功为MMm mg g理论力学电子教程理论力学电子教程解得 重物运动过程中，速度v及上升的距离h都是变化的，将式（a）两端对时间取一阶导数，并注意到上式两端消去v，可求得重物的加速度 得MMm mg g理论力学电子教程理论力学电子教程 绳的一端系小球，另端固定，如图所示。设球以初速 vA=3 ms1 从位置OA摆下，当摆到铅直位置时，绳受到固定在O1点的钉子限制，开始绕此点摆动。已知l=1 m,h=0.7 m,A=60。（1）求小球到达点C 时的速度vC。（2）设球的质量为m=0.5 kg，不计绳的质量，设绳碰撞时无能量损失。求当绳碰到O1点的钉子前、后，且仍在铅直位置时，绳中的拉力FB 和 FB。h hC CA AB BMMMMO O1 1O Ol ll l A A v vA Av vC C例例12 75理论力学电子教程理论力学电子教程 球的轨迹可分为两段：一段是以O为中心、l为半径的圆弧AB。另一段是以O1为中心、l为半径的圆弧BC。显然绳的拉力FT在运动过程中总垂直位移，故拉力F的功 ，而重力的功 。代入后得(a)hCABMMO1OvAFmgvvCllA A到B的运动阶段，球的受力图如图中M位置所示。应用质点动能定理，得 1.求小球到达点C时的速度vC。解：解：76理论力学电子教程理论力学电子教程 再考察B到C的运动阶段，球的受力图如图中M 位置所示，应用质点动能定理，得 同理，约束力的功 ，而重力的功为(b)hCABMMFmgO1OvAvvCllAmgvF代入后得将式 代入得77理论力学电子教程理论力学电子教程 如果把ABC视作一个连续运动的阶段，应用质点动能定理，因绳的拉力不作功，得得（c c）将数据代入（c），得hCABMMFmgO1OvAvvCllAmgvF78理论力学电子教程理论力学电子教程 应用牛顿定律在法线方向的投影式求绳的拉力FB和FB。这里，也应分开两种状态。在第一种情形下，小球是沿圆弧AB运动，圆心为O，半径为l，B点的法向加速度为 ，2.绳中的拉力FB 和 FB。由牛顿第二定律hCABMMFmgO1OvAvvCllAmgvF79理论力学电子教程理论力学电子教程代入数据得将式 代入得hCABMMFmgmgO1OvAvvBvCllAFB80理论力学电子教程理论力学电子教程 在第二种情形下，小球是沿圆弧BC运动，圆心为O1，半径为 l，B点的法向加速度为 。代入数据得 FB 约为FB 的2.53倍。由牛顿第二定律得hCABMMFmgmgO1OvAvvBvCllAFB81理论力学电子教程理论力学电子教程 汽车连同车轮总重量为m1g，如图所式，每个轮子重m2g，半径为r，对轮心的回转半径为r。发动机汽缸中气体的平均压力经过变速箱和后桥齿轮系传到后轮上，成为作用在后轮上的平均驱动力矩M。设汽车由静止开始运动，空气阻力与汽车速度的平方成正比，F=v2，为阻力系数，由实验测定。每个轮子受到地面的滚动摩阻力矩为Mr，略去所有的轴承摩擦。求汽车的加速度和能达到的极限速度。v vF FF FN2N2F FN1N1F F2 2F F1 1MMMMr rMMr r例例13 理论力学电子教程理论力学电子教程v vF FF FN2N2F FN1N1F F2 2F F1 1MMMMr rMMr r 由于 ，代入上式并求微分得(b)(b)(b)应用质点系动能定理来建立汽车运动方程。(a)(a)(a)设vC为汽车的速度，即轮子中心的速度，为轮子的角速度，汽车的动能为解：解：理论力学电子教程理论力学电子教程v vF FF FN2N2F FN1N1F F2 2F F1 1MMMMr rMMr r 将式（b）、（c）、（d）代入（a），并在等式两边除以无限小时间间隔dt后得 作功的外力有阻力F和滚动摩阻力矩Mr，所以(c)(c)内力的功为驱动力矩M在后轮无限小转角d上的功：(d)理论力学电子教程理论力学电子教程v vF FF FN2N2F FN1N1F F2 2F F1 1MMMMr rMMr r因 ,则 这就是汽车的加速度。当汽车到达其极限速度v*时aC=0，由式（e）知(e)(e)得理论力学电子教程理论力学电子教程 车床电动机的功率P=4.5 kw，主轴的最低转速为n=42 rpm，如图所示。设传动时由于摩擦而损耗的功率是输入功率的30%，如工件的直径d=100 mm，求在此转速时的切削力F。n nn nd dr rF F例例14 理论力学电子教程理论力学电子教程n nn nd dr rF F 车床正常运转时是匀速的，因此动能不随时间改变，即 ，故输入功率与输出功率和消耗功率之和平衡。解解:由题意知 ，代入上式得理论力学电子教程理论力学电子教程对比上两式得 如忽略走刀阻力，则P有用就表示切削力F的功率，如图所示。即nndrF理论力学电子教程理论力学电子教程第四节 势力场和势能 机械能守恒定律第四节第四节 势力场和势能势力场和势能 机械能守恒定律机械能守恒定律理论力学电子教程理论力学电子教程第四节第四节 势力场和势能势力场和势能 机械能守恒定律机械能守恒定律设有一空间（有限大或无限大），当质点占据设有一空间（有限大或无限大），当质点占据其中一定的位置时，就受到一个