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工程数学第1章电子课件第1章线性代数线性代数初步线性代数是数学的重要分支，它不仅是一门数学课程，也是一种非常实用的学科工具，其在工程、科技及经济等领域中都有着广泛的应用.本章将介绍行列式、矩阵、线性方程组的基本概念、基本运算及简单应用.学习目标知识目标：熟练掌握行列式的概念及性质.熟练掌握矩阵的概念及各种运算.掌握逆矩阵的求解方法和求矩阵的秩的方法.掌握线性方程组的多种求解方法.学习目标素质目标：养成思考问题时数学理论与实际相结合的习惯，提升学生应用数学知识解决实际问题的能力.鼓励学生阅读相关数学书籍，提高数学文化素养.通过典型数学案例，培养学生建立数学模型的能力.阅读数学家高斯的故事，启迪智慧，养成做事情找规律、动脑筋、勤思考的好习惯.学习目标素质目标：会用克莱姆法则求解线性方程组.会将线性方程组表示为矩阵方程.能将一些实际问题中的数据转化成矩阵表示，能利用矩阵进行数据处理.具备一定的数学语言表达能力和分析问题的缜密思维能力.能利用行列式、矩阵的知识熟练进行线性方程组的解的判定与求解.能融会贯通地应用线性代数的工具来解决实际问题，提升数学解题能力.数学，如果正确地看，不但拥有真理，而且也具有至高的美.罗素（Bertrand Arthur William Russell，英国数学家）目录1.2 矩阵概念与运算1.1 行列式1.4 线性方程组1.3 矩阵的初等变换1.1行列式1.1.1 二阶、三阶行列式1.1.1 二阶、三阶行列式定义11.1.1 二阶、三阶行列式1.1.1二阶、三阶行列式1.1.1 二阶、三阶行列式1.1.1二阶、三阶行列式1.1.1 二阶、三阶行列式1.1.1二阶、三阶行列式1.1.1 二阶、三阶行列式例1.1.1 二阶、三阶行列式定义21.1.1 二阶、三阶行列式1.1.1 二阶、三阶行列式例题6.1.2矩阵的运算例1.1.1 二阶、三阶行列式例1.1.1 二阶、三阶行列式定义31.1.1 二阶、三阶行列式1.n阶行列式的定义定义41.1.1 二阶、三阶行列式1.n阶行列式的定义定理2行列式任意一行（列）的各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和为零.例题1.1.2 n阶行列式1.1.2 n阶行列式性质4 将行列式的某一行（列）的所有元素都乘以数k后加到另一行（列）对应位置的元素上，行列式的值不变.注：以数k乘第j行各元素加到第i行相应元素上，记作 _+_；以数k乘第j列各元素加到第i列相应元素上，记作 _+_,即2.行列式的性质1.1.2 n阶行列式计算行列式时，常用性质4把行列式化为三角形行列式来计算.例1.1.2 n阶行列式例1.1.2 n阶行列式定义51.1.2 n阶行列式3.克莱姆法则例题1.1.2 n阶行列式例题1.1.2 n阶行列式例1.1.2 n阶行列式例1.1.2 n阶行列式定义5习题1-11.计算下列行列式.定义5习题1-13.用克莱姆法则解下列方程组.1.2矩阵概念与运算在许多实际问题中会有对数据表的分析、处理和运算.例如，给出某单位职工的12个月的工资表，求出每个职工的年收入；学校通过各位教师所授课的班级期末测评表，为授课教师做年度评价；气象台通过观测站一天的整点气温测量数据，研究和预报下一天的气温变化；等等.如果数据较多，计算往往引起混乱，怎样既能保证数据不乱，又能准确地求得信息数据？此时矩阵是一种可以使用的有效的计算工具.矩阵是线性代数中的一个重要概念，本节将讨论矩阵的概念、基本运算及逆矩阵.定义11.2.1 矩阵的概念定义11.2.1 矩阵的概念（6）各非零行首个非零元素的列标随行标的增大而严格增大的矩阵，称为阶梯形矩阵，如.（7）行数与列数分别相同的矩阵称为同型矩阵.定义11.2.1 矩阵的概念定义21.2.1 矩阵的概念1.2.2 矩阵的运算1.矩阵加减法1.2.2 矩阵的运算2.矩阵的数乘1.2.2 矩阵的运算例题1.2.2 矩阵的运算例1.1.2 n阶行列式1.2.2 矩阵的运算3.矩阵的乘法1.2.2 矩阵的运算3.矩阵的乘法1.2.2 矩阵的运算1.2.2 矩阵的运算1.2.2 矩阵的运算1.2.2矩阵的运算1.2.2 矩阵的运算4.方阵的幂例题例3四个工厂均能生产甲、乙、丙三种产品，其单位成本如表1-1所示.例1.2.2矩阵的运算现要生产甲种产品600件，乙种产品500件，丙种产品200件，问由哪个工厂生产，成本最低？例题1.2.2矩阵的运算例题例4有三个水果生产基地，2019年的水果产量和销售价格如表1-2所示，如何求得各基地的年产值？例1.2.2矩阵的运算例题1.2.2矩阵的运算1.2.2 矩阵的运算5.矩阵转置1.2.2 矩阵的运算5.矩阵转置定义31.2.2 矩阵的运算6.方阵的行列式例1.2.2 矩阵的运算定义41.2.3 逆矩阵 1.逆矩阵的概念定义51.2.3 逆矩阵 2.矩阵的求法伴随矩阵求逆法例题1.2.3 逆矩阵 证明由1.1.2节的定理1及定理2，知例题1.2.3 逆矩阵 例题1.2.3 逆矩阵 得1.2.3 逆矩阵 3.初等变换求逆法利用伴随矩阵法可求逆矩阵，但对于较高阶的矩阵，计算量太大.下面介绍一种更为简便的方法初等变换求逆法.例1.2.3 逆矩阵 习题1-2习题1-2习题1-24.某个班级学习小组五名同学的两学期期末成绩与总评要求如表1-3所示.两学期成绩平均计算，利用矩阵及其运算用百分制评定每位同学的总成绩.习题1-25.某厂计划生产A，B，C三种产品，每件产品所需资源及现有资源如表1-4所示.习题1-21.3矩阵的初等变换定义11.3.1 矩阵初等变换的概念1.3.1 矩阵初等变换的概念例1.3.1 矩阵初等变换的概念例1.3.1 矩阵初等变换的概念例1.3.1 矩阵初等变换的概念1.3.1 矩阵初等变换的概念1.3.1 矩阵初等变换的概念例如，定义31.3.2 矩阵的秩例题1.3.2 矩阵的秩例题1.3.2 矩阵的秩1.3.3 用初等变换求逆矩阵1.3.3用初等变换求逆矩阵例1.3.3 用初等变换求逆矩阵习题1-3习题1-31.4线性方程组线性方程组的求解是线性代数最主要的任务，这类问题在许多领域都有着相当广泛的应用.前面我们学习了用克莱姆法则求解n元n个方程组成的方程组，当系数行列式不为零时解的情形，但计算量往往比较大，运算麻烦.并且，当系数行列式为零，或者未知量的个数与方程的个数不相等时，克莱姆法则不能使用.本节将在矩阵理论的基础上进一步讨论一般线性方程组的解法.1.4 线性方程组定义1.4 线性方程组例1.4.1 用逆矩阵解线性方程组例1.4.1 用逆矩阵解线性方程组我们知道：（1）对调方程组的两个方程；（2）一个方程的两边同乘以一个非零常数；（3）一个方程的两边同乘以一个常数后加在另一个方程上.以上做法都不会改变方程组的解，称为方程组的同解变换.对于一般线性方程组（1），将其系数矩阵与自由常数项矩阵合成一个矩阵称为方程组的增广矩阵.对线性方程组的同解变形等价于对其增广矩阵的一系列初等行变换.由矩阵的初等行变换解方程组的方法叫高斯消元法.1.4.2 用初等行变换解线性方程组高斯消元法例题1.4.2 用初等行变换解线性方程组高斯消元法1.4.2 用初等行变换解线性方程组高斯消元法例题1.4.2 用初等行变换解线性方程组高斯消元法例题1.4.2 用初等行变换解线性方程组高斯消元法1.4.3 矩阵的秩与线性方程组解的讨论1.4.3 矩阵的秩与线性方程组解的讨论1.4.3 矩阵的秩与线性方程组解的讨论1.4.3 矩阵的秩与线性方程组解的讨论例题1.4.3 矩阵的秩与线性方程组解的讨论例题1.4.3 矩阵的秩与线性方程组解的讨论例题1.4.3 矩阵的秩与线性方程组解的讨论解 因为例题1.4.3 矩阵的秩与线性方程组解的讨论例题1.4.3 矩阵的秩与线性方程组解的讨论例题1.4.3 矩阵的秩与线性方程组解的讨论练习1-4练习1-4练习1-4数学文化聚焦代数观念的变革时期19世纪欧洲的社会环境也为数学发展提供了适宜的舞台，法国资产阶级大革命所造成的民主精神和重视数学教育的风尚，鼓励大批有才干的青年步入数学教育和研究领地.法国在19世纪一直是最活跃的数学中心之一，涌现出一批优秀人才，如傅里叶、泊松、彭赛列、柯西、刘维尔、伽罗瓦、埃尔米特、若尔当、达布、庞加莱、阿达马.他们在几乎所有的数学分支中都做出了卓越贡献.法国革命的影响波及欧洲各国，使整个学术界思想十分活跃，突破了一切禁区.18世纪数学发展的主流是微积分学的扩展，由于微积分与力学和天文学问题的紧密相联和运用，不仅使这些自然科学领域迅猛发展，同时也使得微积分理论在18世纪末达到了一种相对完美的程度.19世纪是数学史上创造精神和严格精神高度发扬的时代.复变函数论的创立和数学分析的严格化、非欧几何的问世和射影几何的完善、群论和非交换代数的诞生，是这一世纪典型的数学成就.它们所蕴含的新思想深刻地影响着20世纪的数学.代数观念的变革时期1830年，乔治皮科克的代数学问世，书中对代数运算的基本法则进行了探索性研究.在这之前，代数的符号运算实际仅是实数与复数运算的翻版.皮科克试图建立一门更一般的代数，它仅是符号及其满足的某些运算法则的科学.他和德摩根等英国学者围绕这一目标的工作，为代数结构观点的形成及代数公理化研究做了尝试，由此开启了代数系统的讨论.因而皮科克被誉为“代数中的欧几里得”.英国新一代数学家打破了近一个世纪以来以牛顿为偶像的故步自封的局面，成立了向欧洲大陆数学学习的“分析学会”，使英国进入了世界数学发展的潮流.皮科克、格林、哈密顿、西尔维斯特、凯莱、布尔等英国数学界的杰出人物在代数学、代数几何、数学物理方面的成就尤为突出.代数学思想的革命就发生在19世纪这个伟大的年代.19世纪的代数有两个看上去似乎针锋相对的特征：一个是越来越一般化、越来越抽象的趋势；另一个是专注于一些受约束的表达式.这种表面上的针锋相对直接关系着19世纪代数学家们提出并希望回答的问题在种类上的改变.代数观念的变革时期这一时期还诞生了代数不变量理论，这是从数论中的二次型及射影几何中的线性变换引申出的课题.1841年左右，凯莱受布尔的影响开始研究代数型在线性变换下的不变量.之后，寻找各种特殊型的不变量及不变量的有限基，成为19世纪下半叶最热门的研究课题，进而开辟了现在称为“线性代数”的研究领域.代数中更深刻的思想来自数学史上传奇式的人物伽罗瓦（18291832年），伽罗瓦提出并论证了代数方程可用根式解的普遍判别准则，从概念和方法上为最基本的一种代数结构“群”理论奠定了基础.伽罗瓦在1832年去世前，几次向巴黎科学院递交他的论文，均未获答复.他的理论在1846年由刘维尔发表之前几乎无人知晓，到19世纪60年代后才引起重视，这是数学史上新思想历经磨难终放异彩的最典型的例证.19世纪60年代末，若尔当担起了向数学界阐明伽罗瓦理论的重任，在发表于1870年的置换论中，他对置换群理论及其与伽罗瓦方程论的联系做出清晰的总结，为群论在19世纪最后30年间的发展奠定了基础.代数观念的变革时期虽然线性代数作为一个独立的数学分支到20世纪才形成，然而它的历史却非常久远.中国古代的“鸡兔同笼”问题实际上就是一个简单的线性问题，即最古老的线性问题是线性方程组的求解，在中国古代数学著作九章算术方程中已经做了比较完整的叙述，其中所述方法实质上相当于现代的对方程组的增广矩阵施行初等变换，消去未知量的方法.由于费马、笛卡儿和莱布尼茨的工作，现代意义的线性代数基本上出现于17世纪.到18世纪末，线性代数的领域还只限于平面与空间.到19世纪上半叶完成了到n维线性空间的过渡.随着研究线性方程组和变量的线性变换问题的深入，行列式和矩阵理论在19世纪先后完善，为处理线性问题提供了有力的工具，从而推动了线性代数理论的发展.代数观念的变革时期历经19世纪数学家的工作，数学不再局限于数和连续量的问题，破天荒第一次清楚地表达了这样一种观点：数学的本质特征更多地在于它的形式，而不是它的内容.早在17世纪后期，在关孝和及莱布尼茨的工作中就已经涉及行列式的早期思想，后经克莱姆、范德蒙、柯西等人的工作，到19世纪已取得了丰硕的成果.从某种意义上来说，行列式的系统化以及行列式的现代表示就是在19世纪完成的.1841年，凯莱发表了一篇名为论位置几何学的文章，在其中给出了行列式的现代符号.1850年，西尔维斯特提出了“矩阵”一词，1858年，凯莱发表了“关于矩阵理论的论文”，系统地提出矩阵概念及其运算法则，在凯莱之后，矩阵理论不断完善，不仅成为数学中的锐利武器，还是描述和解决物理问题的有效武器.另外，矩阵是又一类不满足乘法交换律的数学对象，它和群论都是推动抽象代数观点形成和发展的重要因素.数学王子高斯高斯12岁时，已经开始怀疑几何学中的一些基础证明.而当他16岁时，则预测在欧氏几何之外必然会产生一门完全不同的几何学，即非欧几里得几何学.高斯最终成为微分几何的始祖之一.幼年被誉为“神童”的约翰卡尔弗里德里希高斯(Johann Carl Friedrich Gauss)是德国数学家、物理学家和天文学家.1777年4月30日生于德国的布伦瑞克，1855年2月23日病逝于哥廷根，终年78岁.他与阿基米德、牛顿一起被称为历史上最伟大的三位数学家.这位罕见的数学天才，用他光辉的数学成就和异常敏捷的数学思维为后人留下了许许多多近乎神话的传说.高斯有一个很出名的故事：用很短的时间计算出了小学老师布置的任务对自然数从1到100的求和.他所使用的方法是对50对构造成和101的数列求和（1+100，2+99，3+98，），同时得到结果5 050.这一年，高斯9岁.这是一次令人难以置信的数学能力的显露.这使得高斯的老师布特纳和布伦瑞克公爵认识到了高斯在数学上异乎寻常的天赋，这个天才儿童给他们留下了深刻印象.于是他们从高斯14岁起便资助其学习与生活.数学王子高斯1795年，18岁的高斯进入哥廷根大学学习.次年，在他19岁时，第一个成功地证明了正十七边形可以用尺规作图.1799年，高斯在他的博士论文中给出了代数基本定理的圆满证明，并将其成功地运用到无穷级数中，从而发展了数学分析的理论.1807年，高斯成为哥廷根大学的教授和当地天文台的台长.18181826年，高斯主导了汉诺威王国的大地测量工作，并通过最小二乘法为基础的测量平差的方法和求解线性方程组的方法，显著地提高了测量精度.此后数学上著名的算法“最小二乘法”和“高斯消元法”风靡于世.汉诺威王国的大地测量工作于1848年结束.这是大地测量史上的巨大工程.如果没有高斯在理论上的仔细推敲，在观测上力图合理和精确，在数据处理上尽量周密和细致，就不可能圆满地完成.数学王子高斯出于对实际应用的兴趣，高斯发明了日光反射仪.日光反射仪可以将光束反射至大约450 km以外的地方.高斯后来不止一次地对原先的设计做出改进，试制成功了后来被广泛应用于大地测量的镜式六分仪.此外，高斯还因为发明了磁强计而转向物理的研究.他与比他年轻27岁的韦伯(18041891年)在电磁学领域以亦师亦友的身份共同工作.1833年，通过受电磁影响的罗盘指针，他向韦伯发送出电报.这不仅是韦伯实验室与天文台之间的第一个电话电报系统，也是世界第一个电话电报系统，尽管线路只有8 km.1840年，他和韦伯画出了世界上的第一张地球磁场图，并且定出了地球磁南极和磁北极的位置.次年，这些位置得到美国科学家的证实.高斯作为一个数学家闻名于世，他越来越多的学生，包括后来闻名于世的戴德金和黎曼等都成了有影响的数学家.谢谢观看谢谢观看