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建筑力学第18章教学课件 建 筑 力 学CONTENTS目 录影响线概述用静力法作梁的影响线用机动法作梁的影响线18.118.218.3第18章 影响线及其应用影响线的应用18.4PART18.1位移法的基本原理18.1 影响线概述在竖向单位移动荷载的作用下，结构内力、反力或变形的量值随竖向单位荷载位置的移动而变化的规律图像称为影响线。由于在竖向单位移动荷载作用下结构中的量值与荷载呈线性关系，因此为研究在移动荷载作用下的支座反力、截面内力、应力、变形等量值，必须先研究单个荷载作用下静定梁和连续梁的影响线。18.1 影响线概述 1.绘制影响线的有关规定绘制影响线时，用水平轴表示荷载的作用位置，用纵轴表示结构上某一指定位置的某一量值的大小；将正量值画在水平轴的上方，负量值画在水平轴的下方。18.1 影响线概述 2.绘制影响线的方法（1）静力法。（2）机动法。PART18.2用静力法作梁的影响线18.2.1 用静力法作单跨静定梁的影响线用静力法作静定梁影响线的依据是静力平衡条件，以单位荷载P=1的作用位置x为变量，根据平衡条件将所求的量值表示为荷载位置坐标x的函数(称为影响线方程)，然后绘出影响线。首先以简支梁为例说明用静力法作影响线的过程。18.2.1 用静力法作单跨静定梁的影响线 1.支座反力影响线图18-1(a)所示的简支梁AB受移动荷载P=1作用，取梁的左端A为原点，假定支座反力以向上为正。图图18-1 18-1 静力法绘支座反力影响线静力法绘支座反力影响线18.2.1 用静力法作单跨静定梁的影响线18.2.1 用静力法作单跨静定梁的影响线这就是RB的影响线方程。可见RB的影响线也是一条直线。A点：x=0，RB=0B点：x=l，RB=1用同样方法作出RB影响线，如图18-1(c)所示。支座反力影响线的竖标没有量纲。由以上两条影响线可以清楚地看到支座反力RA和RB随着单位荷载移动的变化范围和变化规律，并能方便地求出单位荷载P=1在任意位置时RA和RB的数值。18.2.1 用静力法作单跨静定梁的影响线 2.弯矩影响线现在讨论简支梁AB上的任意截面C的弯矩影响线。截面C的位置如图18-2(a)所示。当单位荷载P=1作用在截面C以左或以右时，弯矩MC具有不同的函数表达式，应当分别考虑。图图18-2 18-2 静力法绘弯矩影响线和剪力影响线静力法绘弯矩影响线和剪力影响线18.2.1 用静力法作单跨静定梁的影响线当P=1作用于截面C的左边，即作用在AC段时，如图18-2(a)所示，取截面C的右段梁为隔离体，并规定以梁的下边纤维受拉的弯矩为正，C截面上的弯矩为18.2.1 用静力法作单跨静定梁的影响线按上述数值不难得到MC在CB段的影响线，两段合起来，就得到全部的截面C的弯矩影响线，如图18-2(b)中阴影的部分所示。对应该点的影响线竖标为abl。弯矩影响线竖标的量纲是长度量纲。18.2.1 用静力法作单跨静定梁的影响线 3.剪力影响线现在作截面C的剪力影响线，如图18-2(a)所示。规定剪力所在截面的微段顺时针转动为正，反之为负。当单位荷载P=1作用于截面C的左边时，如图18-2(a)所示，则C截面上的剪力为由此可见，当单位荷载在截面C的左边时，FSC的影响线与RB的影响线相同，但符号相反。因此，可先把RB的影响线画在基线下面，然后保留其中的AC段，就得到FSC在AC段的影响线，按比例关系可求得C点的竖标为-al。18.2.1 用静力法作单跨静定梁的影响线当P=1作用于截面C的右边时同理可得同理，当单位荷载在截面C的右边时，FSC的影响线与RA的影响线相同。因此，可先作RA的影响线，然后保留其中CB段，就得到FSC在CB段的影响线，按比例关系可求得C点的竖标为bl。两段合起来，就得到全部的截面C的剪力影响线，如图18-2(c)所示的阴影部分所示。显然，利用两段影响线方程绘制的结果也是一样的。由图18-2(c)可以看出，FSC的影响线由两段平行线组成，在C点发生突变。当P=1作用在AC段任一点时，截面C为负号剪力；当P=1作用在CB段任一点时，截面C为正号剪力；当P=1正好作用在C点时，截面C的剪力无确定值。剪力影响线的竖标是无量纲的。18.2.1 用静力法作单跨静定梁的影响线 4.内力影响线与内力图的比较(1)影响线的每一个竖标均表示同一个截面上内力的大小，不同的竖标只是反映单位荷载位置的不同而已。内力图的竖标则表示对应截面内力的大小，不同的竖标表示不同的截面上内力的大小。(2)影响线对应的是单位移动荷载，而内力图对应的是某一固定荷载。18.2.2 用静力法作多跨静定梁的影响线多跨静定梁AB如图18-3（a）所示。用静力法作多跨静定梁的影响线时，主要是分别求出单位荷载在基本部分和附属部分移动时量值的影响线方程。图图18-3 18-3 用静力法作多跨静定梁的影响线用静力法作多跨静定梁的影响线18.2.2 用静力法作多跨静定梁的影响线（1）作MF的影响线。由于截面H处于附属部分，因此，当F=1在基本部分AD上移动时，附属部分不受力，则MF的影响线方程为MF=0当F=1在附属部分DB上移动时，选D为坐标原点，按单跨梁求出MF的影响线方程为作出其影响线，如图18-3（b）所示。18.2.2 用静力法作多跨静定梁的影响线（2）作弯矩MC和剪力FQC的影响线。当F=1在附属部分移动时，选取坐标系，如图18-3（c）所示。由附属部分的平衡条件可得由于基本部分仅承受从附属部分传递来的FDy的作用,因此对于外伸梁AD，可用截面法求得弯矩MC和剪力FQC的影响线方程，即18.2.2 用静力法作多跨静定梁的影响线当F=1在基本部分上移动时，附属部分不受力，可不考虑附属部分，只对外伸梁AD作影响线。为方便起见，取点A为坐标原点，x轴向右为正，如图18-3（d）所示。由截面法求出MC和FQC的影响线方程为根据式、和式、分别作出影响线，如图18-3（e）、（f）所示。PART18.3用机动法作梁的影响线18.3 用机动法作梁的影响线机动法是以虚位移原理为依据的。虚位移原理指出，刚体体系受力系作用处于平衡的充要条件是：在任何微小的虚位移中，力系所做的虚功总和为零。虚位移必须是符合约束条件的微小位移。静定结构是没有多余约束的几何不变体系，要使刚体产生虚位移，必须解除一个约束，使刚体成为具有一个自由度的几何可变体系，体系上所有各点的位移可以由某一点的虚位移来确定。18.3.1 机动法基本原理下面以绘制图18-4(a)所示外伸梁支座A的反力RA的影响线为例来说明机动法作影响线的原理和步骤。图图18-4 18-4 机动法绘支座反力影响线机动法绘支座反力影响线18.3.1 机动法基本原理为了求出RA，将支座A去掉，代以未知力RA，这样原结构便成为具有一个自由度的几何可变体系。这个体系在RB、P和支座反力RA共同作用下维持平衡。然后使体系发生微小的虚位移，如图18-4(b)所示，A点发生虚位移x，力P作用点相应的虚位移为P，根据虚位移原理，各力所做的虚功总和应等于零，即(18-1)将P=1代入式(18-1)，得(18-2)18.3.1 机动法基本原理x和P都是微小的，但是它们的比值却是有限的。当P=1移动时，P随着x变化，是荷载位置参数x的函数。而x则与x无关，是一个常数，可以任意给定，为了分析简便，取x=1，则式(18-2)可变为RA=-P(18-3)式中，P为虚位移图上相应于单位荷载P=1作用点的竖标；RA为当单位荷载在不同位置时支座A的反力值。18.3.1 机动法基本原理式(18-3)表示，x=1时荷载虚位移P的图形反映了反力RA的变化规律，反力RA的影响线完全可以由虚位移P的图形来代替，只是正负号相反。由于规定P与荷载方向相同为正，即P向下为正，RA与之反号，所以RA的影响线以向上为正。这种绘制影响线的方法就是机动法。以上证明带有普遍性，由此可总结出用机动法作影响线的步骤如下：(1)解除与所求量值相对应的约束，代之以正值的约束反力。(2)使机构沿所求量值的正方向发生虚拟单位位移，即位移图。(3)在位移图上标纵坐标及正负号，就得到该量值的影响线。18.3.2 用机动法作简支梁的影响线 1.弯矩影响线如图18-5(a)所示，如果要作C截面弯矩影响线，则去掉相应的转动约束，把C点变成可动铰，并以一对力偶MC代替转动作用，如图18-5(b)所示，使AC、CB沿MC正向发生相对单位转角1，得到图18-5(c)所示的位移图，即为MC的影响线。由x=+=1可求出A点的值为a，再根据比例关系可求得C点的值为abl。图图18-5 18-5 用机动法绘弯矩影响用机动法绘弯矩影响线和剪力影响线线和剪力影响线18.3.2 用机动法作简支梁的影响线 2.剪力影响线要求出C截面剪力影响线，则应去掉相应的约束，把C变成定向约束，用一对力FSC代替剪力作用，如图18-5(d)所示，使AC、CB沿FSC正向发生相对单位位移1，得到图18-5(e)所示的位移图，就是FSC的影响线。由于C点是定向约束，只能在竖向滑移，因此C点左右两侧梁段的位移是保持平行的，C点影响线的值可根据该条件按比例关系求得。18.3.3 用机动法作多跨静定梁的影响线作多跨静定梁影响线时，需要分清它的基本部分和附属部分及这些部分之间的相互约束关系，再利用单跨静定梁已知的影响线进行分析。当P=1在基本部分的梁段上移动时，量值的影响线与相应单跨静定梁相同，其附属部分梁段上的量值影响线为零。当P=1在附属部分的梁段上移动时，量值的影响线与相应单跨静定梁相同。位于附属部分的任何量值的影响线只限于附属部分局部，可按相应单跨梁的影响线作出，而该影响线在基本部分范围的竖标都为零。18.3.3 用机动法作多跨静定梁的影响线位于基本部分的某量值的影响线不限于该基本部分本身，还涉及它的附属部分。在附属部分范围内，该量值的影响线为一直线，只要确定两个竖标就可将其绘出。如图18-6(a)所示的多跨静定梁，AC是基本部分，CD是附属部分，当求附属部分CD上某截面K的弯矩MK的影响线时，可确定影响线在AC段的竖标都为零，在CD段与对应的简支梁的影响线相同，绘制的影响线如图18-6(b)所示。18.3.3 用机动法作多跨静定梁的影响线当绘制AC部分的支座A的约束反力RA的影响线时，可确定影响线在AC段与对应的单跨外伸梁的影响线相同，在CD段只需确定C点和D点的竖标，就可绘出其影响线，C点竖标已由AC段得出，D点竖标可求出为零，最后绘出RA的影响线，如图18-6(c)所示。图图18-6 18-6 用机动法作多跨静定梁的影响线用机动法作多跨静定梁的影响线PART18.4影响线的应用18.4 影响线的应用影响线的应用主要有两方面：一是利用影响线求结构在固定荷载作用下某量值的数值；二是利用影响线确定最不利荷载位置，即使结构某量值S达到最大值(包括最大正值和最大负值，最大负值也称为最小值)时的荷载位置。只要所求某量值的最不利荷载位置一经确定，其最大值就可求出。18.4.1 用影响线求量值 1.集中荷载由于影响线反映的是单位荷载作用下量值的大小，因此当荷载不等于1时，要求某量值只需将相应的影响线值乘以荷载的大小即可。若多个集中荷载同时作用，则将每个荷载分别计算后再叠加就可求出相应的量值。如图18-7所示图图18-7 18-7 集中荷载的量值计算集中荷载的量值计算18.4.1 用影响线求量值如作用在结构上的实际荷载是一组集中荷载P1、P2Pn，它们的位置已知，现在要计算这些荷载对某处某量值S所产生的总影响。设y1、y2yn分别为各相应荷载作用点的竖标，则由P1产生的S值等于P1y1，P2产生的S值等于P2y2，Pn产生的S值等于Pnyn。根据叠加原理，可知在这组集中荷载作用下S值为(18-4)应用式(18-4)时，要注意影响线竖标的正负号，如在图18-7中，y1为负值，y2和y3为正值。18.4.1 用影响线求量值 2.分布荷载如图18-8所示，若作用在结构上的实际荷载是分布荷载qx，现研究分布荷载对某处影响量S的值。图图18-8 18-8 分布荷载的量值计算分布荷载的量值计算1 118.4.1 用影响线求量值将分布荷载沿长度分割成许多无穷小的微段dx，每一微段上的荷载qxdx可作为一集中荷载，它所产生的S值为yxqxdx，则作用于结构上的全部均布荷载所产生的S值为(18-5)18.4.1 用影响线求量值如图18-9所示，当荷载为均布时，qx为常数，式(18-5)可写成(18-6)式中，A表示影响线在分布荷载范围内的面积。式(18-6)表明，均布荷载产生的S值等于荷载集度乘以分布荷载范围内影响线图形的面积。在计算面积A时，同样要注意正负号。图图18-9 18-9 分布荷载的量值计算分布荷载的量值计算2 218.4.1 用影响线求量值【例例18-118-1】图图18-10 18-10 【例【例8-18-1】图】图18.4.1 用影响线求量值【解】作RA影响线并求出有关的竖标值，如图18-10(b)所示。根据式(18-4)求得RA为所得正号表示所产生的支座反力RA与假设方向相同，即向上。18.4.2 用影响线确定最不利荷载位置当移动荷载是任意断续布置的均布荷载时，如人数、货物等，由式(18-6)即S=qA可知，其最不利荷载位置是在影响线正号部分布满荷载(求最大正值Smax)，或在负号部分布满荷载(求最大负值Smin)，如图18-12所示。图图18-12 18-12 用影响线确定最不利荷载位置用影响线确定最不利荷载位置1 118.4.2 用影响线确定最不利荷载位置当移动荷载是集中荷载时，由S=Py可知，其最不利荷载位置是这个集中荷载作用在影响线的最大竖标处(求最大正值Smax)，或作用在影响线的最小竖标处(求最大负值Smin)。工程上多为集中荷载群，一般称之为一组集中荷载，如火车、汽车车队、吊车组等。其最不利荷载位置的确定一般要困难些，可分两步进行：求出使S达到极值的所有荷载位置，此位置称为荷载的临界位置；从荷载临界位置中确定最不利荷载位置，也就是从S的所有极大(小)值中选出最大(小)值。18.4.2 用影响线确定最不利荷载位置下面仅就影响线为三角形的情况讨论荷载临界位置的判定方法。图18-13(a)所示为一组集中荷载，荷载移动时，其间距和数值保持不变。图18-13(b)所示为某量值S的影响线，为三角形，左段直线倾角为，右段直线倾角为(以逆时针方向为正，所以为正，为负)。取坐标轴x向右为正，y向上为正。设荷载组处于图示位置时所产生的量值用S1表示，根据叠加原理，则S1=P1y1+P2y2+Piyi+Pnyn式中，y1、y2yn分别是各集中荷载对应的影响线竖标。18.4.2 用影响线确定最不利荷载位置图图18-13 18-13 用影响线确定最不利荷载位置用影响线确定最不利荷载位置2 218.4.2 用影响线确定最不利荷载位置18.4.2 用影响线确定最不利荷载位置由于影响线是由折线组成的，荷载组是由集中力组成的，导数dSdx不是连续函数，因此S的极值应发生在dSdx改变符号处。这一极值条件可用增量S是否改变符号来判定，即当S变号时，则S有极值。18.4.2 用影响线确定最不利荷载位置由式(18-7)可知，当没有集中荷载经过影响线的顶点时，S是一个不变的常数，要使S变号，只有在某一个荷载从一段移向另一段的情况下才有可能。这就需要该荷载越过影响线的顶点。由此可得出结论：只有当荷载组中的某一个荷载位于影响线顶点时，才有可能是临界位置。但这不是充分条件，因为荷载越过影响线的顶点虽然能使S的大小发生变化，但并不一定能使S改变符号。只有既越过影响线顶点又能使S改变符号的荷载才会使S产生极值，这一荷载称为临界荷载，以Pcr表示。与此相应的荷载位置即为临界位置。18.4.2 用影响线确定最不利荷载位置显然，当Pcr位于影响线顶点时，它应满足如下极值条件：当由S0变为S0，或由S=0变为S0时，S为极大值；当由S0时，S为极小值。当求极大值时，根据式(18-7)，可将上述极值条件表示为18.4.2 用影响线确定最不利荷载位置若以R左表示Pcr左方荷载的合力，R右表示Pcr右方荷载的合力，则上面两个不等式可写为(18-8)式（18-8）是判定临界荷载的依据，称为三角形影响线临界荷载判别式。经过几次计算，就可以确定临界荷载。在一般情况下，临界位置可能不止一个，这就需要将与各临界位置相应的S极值求出，然后从中选出最大值或最小值，而其相应的荷载位置即为最不利荷载位置。为了减少试算次数，事先大致估计最不利荷载位置，其原则是：把数量大、排在中间、排列密集的荷载放在影响线最大的竖标附近。18.4.2 用影响线确定最不利荷载位置【例例18-318-3】图图18-14 18-14 【例【例8-38-3】图】图18.4.2 用影响线确定最不利荷载位置18.4.2 用影响线确定最不利荷载位置可知，此位置也为临界位置，相应的MC值为MC=478.52.275+324.53.0+0.6=2256.8kNm比较上述计算，可知P2置于C点时为最不利荷载位置，如图18-14(b)所示，MC的最大值为2353.2kNm。当荷载组中包含的集中荷载很多时，利用式(18-8)先判定临界荷载，然后算出对应的S值，其中最大者即为Smax，这种做法较为方便；但是对于只含较少集中荷载的情况，则可不必判定临界荷载，只需将它们分别置于影响线的顶点算出S值，然后取其大者，这样将会更简单、清晰。18.4.2 用影响线确定最不利荷载位置【例例18-418-4】图图18-15 18-15 【例【例8-48-4】图】图18.4.2 用影响线确定最不利荷载位置【解】先作出FSC影响线，它由两个直角三角形组成，对于这种形式的影响线，临界荷载判别式(18-8)已不适用。经分析(可参阅有关教材)可知：剪力FSC出现极值时，必须有一个集中荷载位于影响线的顶点。其中集中荷载位于上顶点时将出现极大值，位于下顶点时将出现极小值。根据以上求极值的条件，为了求得FSC的最大值，应把P1置于C点的右边(相隔一个微小距离)，这时P4不在梁上，而AC段也没有荷载，如图18-15(b)所示，所以有FSCmax=400.6+0.4+0.2=48kNTHANKS