高考理科数学一轮立体几何.doc

第七篇 立体几何A第 1 讲 空间几何体的结构及其三视图和直观图最新考纲1认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构2能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简单组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图3会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式4会画某些建筑物的三视图与直观图(在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求). 知 识 梳 理1多面体的结构特征(1)棱柱的侧棱都平行且相等，上下底面是全等且平行的多边形(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形(3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形2旋转体的结构特征(1)圆锥可以由直角三角形绕其任一直角边旋转得到(2)圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底中点连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到(3)球可以由半圆面或圆面绕直径旋转得到3空间几何体的三视图空间几何体的三视图是用正投影得到，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图4空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中 x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中，x轴、y轴的夹角为 45°(或 135°)，z轴与 x轴、y轴所在平面垂直(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴平行于 x 轴和 z 轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于 y 轴的线段长度在直观图中变为原来的一半辨 析 感 悟1对棱柱、棱锥、棱台的结构特征的认识(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱(×)(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥(×)(3)棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得的平面与底面之间的部分()2对圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征的认识(4)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱(×)(5)上下底面是两个平行的圆面的旋转体是圆台(×)(6)用一个平面去截一个球，截面是一个圆面()3对直观图和三视图的画法的理解(7)在用斜二测画法画水平放置的A 时，若A 的两边分别平行于 x 轴和 y 轴，且A90°，则在直观图中A45°.(×)(8)(教材习题改编)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三个视图均相同(×)感悟·提升1两点提醒 一是从棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台的定义入手，借助几何模型强化空间几何体的结构特征如(1)中例如；(2)中例如.二是图形中与 x 轴、y 轴、z 轴都不平行的线段可通过确定端点的办法来解，即过端点作坐标轴的平行线段，再借助所作的平行线段来确定端点在直观图中的位置如(7)2一个防范 三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐” ，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法如(8)中正方体与球各自的三视图相同，但圆锥的不同学生用书第 106 页考点一 空间几何体的结构特征【例 1】 给出下列四个命题：在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等其中正确命题的个数是( )A0 B1 C2 D3解析不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；正确；错误当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等答案 B规律方法 (1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定(2)通过举反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可【训练 1】 给出下列四个命题：有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱其中错误的命题的序号是_解析 认识棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多边形的形状两方面去分析，故都不准确，中对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明，故也不正确，平行六面体的两个相对侧面也可能与底面垂直且互相平行，故也不正确答案 考点二 由空间几何体的直观图识别三视图【例 2】 (2013·新课标全国卷)一个四面体的顶点在空间直角坐标系 Oxyz 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以 zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为( )审题路线 在空间直角坐标系中画出四面体以 zOx 平面为投影面可得正视图解析 在空间直角坐标系中，先画出四面体 OABC 的直观图，如图，设O(0,0,0)，A(1,0,1)，B(1,1,0)，C(0,1,1)，将以 O，A，B，C 为顶点的四面体被还原成一正方体后，由于 OABC，所以该几何体以 zOx 平面为投影面的正视图为 A.答案 A规律方法 空间几何体的三视图是分别从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图，因此在分析空间几何体的三视图时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果【训练 2】 (2014·济宁一模)点 M，N 分别是正方体 ABCDA1B1C1D1的棱A1B1，A1D1的中点，用过 A，M，N 和 D，N，C1的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体如图 1，则该几何体的正视图，侧视图、俯视图依次为图 2中的( )A B C D解析 由正视图的定义可知；点 A，B，B1在后面的投影点分别是点D，C，C1，线段 AN 在后面的投影面上的投影是以 D 为端点且与线段 CC1平行且相等的线段，即正视图为正方形，另外线段 AM 在后面的投影线要画成实线，被遮挡的线段 DC1要画成虚线，正视图为；同理可得侧视图为，俯视图为.答案 B考点三 由空间几何体的三视图还原直观图【例 3】 (1)(2013·四川卷)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是( )(2)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )解析 (1)由于俯视图是两个圆，所以排除 A，B，C，故选 D.(2)A，B 的正视图不符合要求，C 的俯视图显然不符合要求，答案选 D.答案 (1)D (2)D学生用书第 107 页规律方法 在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑【训练 3】 若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )解析 所给选项中，A，C 选项的正视图、俯视图不符合，D 选项的侧视图不符合，只有选项 B 符合答案 B1棱柱、棱锥要掌握各部分的结构特征，计算问题往往转化到一个三角形中进行解决2旋转体要抓住“旋转”特点，弄清底面、侧面及展开图形状3三视图画法：(1)实虚线的画法：分界线和可见轮廓线用实线，看不见的轮廓线用虚线；(2)理解“长对正、宽平齐、高相等” 易错辨析 7三视图识图不准致误【典例】 (2012·陕西卷)将正方体(如图 1 所示)截去两个三棱锥，得到图 2 所示的几何体，则该几何体的侧视图为( )错解 选 A 或 D.错因 致错原因是根据提示观测位置确定三视图时其实质是正投影，将几何体中的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为虚线，错选 A 或 D 都是没有抓住看到的轮廓线在面上的投影位置，从而导致失误正解 还原正方体后，将 D1，D，A 三点分别向正方体右侧面作垂线，D1A 的射影为 C1B，且为实线，B1C 被遮挡应为虚线故选 B.答案 B防范措施 空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图因此在分析空间几何体的三视图问题时，就要抓住正投影，结合具体问题和空间几何体的结构特征进行解答【自主体验】(2014·东北三校模拟)如图，多面体 ABCDEFG 的底面 ABCD 为正方形，FCGD2EA，其俯视图如下，则其正视图和侧视图正确的是( )解析 注意 BE，BG 在平面 CDGF 上的投影为实线，且由已知长度关系确定投影位置，排除 A，C 选项，观察 B，D 选项，侧视图是指光线从几何体的左面向右面正投影，则 BG，BF 的投影为虚线，故选 D.答案 D对应学生用书 P307基础巩固题组(建议用时：40 分钟)一、选择题1一个棱柱是正四棱柱的条件是( )A底面是正方形，有两个侧面是矩形B底面是正方形，有两个侧面垂直于底面C底面是菱形，具有一个顶点处的三条棱两两垂直D每个侧面都是全等矩形的四棱柱解析 A，B 两选项中侧棱与底面不一定垂直，D 选项中底面四边形不一定为正方形，故选 C.答案 C2(2014·福州模拟)沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( )解析 给几何体的各顶点标上字母，如图 1.A，E 在侧投影面上的投影重合，C，G 在侧投影面上的投影重合，几何体在侧投影面上的投影及把侧投影面展平后的情形如图 2 所示，故正确选项为 B(而不是 A)答案 B3下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( )A B C D解析 正方体的三视图都是正方形，不合题意；圆锥的正视图和侧视图都是等腰三角形，俯视图是圆，符合题意；三棱台的正视图和侧视图、俯视图各不相同，不合题意；正四棱锥的正视图和侧视图都是三角形，而俯视图是正方形，符合题意，所以正确答案 D4(2013·汕头二模)如图，某简单几何体的正视图和侧视图都是边长为 1 的正方形，且其体积为 ，则该几何体的俯视图可以是( )4解析 若该几何体的俯视是选项 A，则其体积为 1，不满足题意；由正视图、侧视图可知俯视图不可能是 B 项；若该几何体的俯视图是选项 C，则其体积为 ，12不符合题意；若该几何体的俯视图是选项 D，则其体积为 ，满足题意4答案 D5.已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为 2 的正三角形，侧视图是有一直角边为 2 的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为( )解析 空间几何体的正视图和侧视图的“高平齐” ，故正视图的高一定是 2，正视图和俯视图“长对正” ，故正视图的底面边长为 2，根据侧视图中的直角说明这个空间几何体最前面的面垂直于底面，这个面遮住了后面的一个侧棱，综合以上可知，这个空间几何体的正视图可能是 C.答案 C二、填空题6利用斜二测画法得到的以下结论，正确的是_(写出所有正确的序号)三角形的直观图是三角形；平行四边形的直观图是平行四边形；正方形的直观图是正方形；圆的直观图是椭圆；菱形的直观图是菱形解析 正确；由原图形中平行的线段在直观图中仍平行可知正确；但是原图形中垂直的线段在直观图中一般不垂直，故错；正确；中原图形中相等的线段在直观图中不一定相等，故错误答案 7一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的_(填入所有可能的几何体前的编号)三棱锥；四棱锥；三棱柱；四棱柱；圆锥；圆柱解析 显然，三棱锥、圆锥的正视图可以是三角形；三棱柱的正视图也可以是三角形(把三棱柱放倒，使一侧面贴在地面上，并让其底面面对我们，如图所示)；只要形状合适、摆放适当(如一个侧面正对着观察者的正四棱锥)，四棱锥的正视图也可以是三角形(当然，不是任意摆放的四棱锥的正视图都是三角形)，即正视图为三角形的几何体完全有可能是四棱锥；不论四棱柱、圆柱如何摆放，正视图都不可能是三角形(可以验证，随意摆放的任意四棱柱的正视图都是四边形，圆柱的正视图可以是圆或四边形)综上所述，应填.答案 8. 如图，用斜二测画法得到四边形 ABCD 是下底角为 45°的等腰梯形，其下底长为 5，一腰长为，则原四边形的面积是_2解析 作 DEAB 于 E，CFAB 于 F，则 AEBFADcos 45°1，CDEF3.将原图复原(如图)，则原四边形应为直角梯形，A90°，AB5，CD3，AD2， S四边形 ABCD ×(53)×28.21222答案 82三、解答题9如图所示的是一个零件的直观图，试画出这个几何体的三视图解 这个几何体的三视图如图10如图是一个几何体的正视图和俯视图(1)试判断该几何体是什么几何体；(2)画出其侧视图，并求该平面图形的面积；(3)求出该几何体的体积解 (1)正六棱锥(2)其侧视图如图：其中 ABAC，ADBC，且 BC 的长是俯视图中的正六边形对边的距离，即 BCa，AD 的长是正六棱锥的高，即 ADa，33该平面图形的面积 S a·a a2.12 3332(3)V ×6×a2×a a3.1334332能力提升题组(建议用时：25 分钟)一、选择题1一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是( )A球 B三棱锥 C正方体 D圆柱解析 球的正视图、侧视图和俯视图均为圆，且形状相同、大小相等；三棱锥的正视图、侧视图和俯视图可以为全等的三角形；正方体的正视图、侧视图和俯视图可以为形状相同、大小相等的正方形；圆柱的正视图、侧视图均为矩形，俯视图为圆答案 D2一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为 a 的正方形，则原平面四边形的面积等于( )A.a2 B2a2 C.a2 D.a2242222 23解析 根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则，可以得出一个平面图形的面积 S 与它的直观图的面积 S之间的关系是 SS，本题中直观图的面积24为 a2，所以原平面四边形的面积等于2a2.a2242答案 B二、填空题3.如图所示，E，F 分别为正方体 ABCDA1B1C1D1的面 ADD1A1、面 BCC1B1的中心，则四边形 BFD1E 在该正方体的面上的正投影可能是_(填序号)解析 由正投影的定义，四边形 BFD1E 在面 AA1D1D 与面 BB1C1C 上的正投影是图；其在面 ABB1A1与面 DCC1D1上的正投影是图；其在面 ABCD 与面A1B1C1D1上的正投影也是，故错误答案 三、解答题4已知正三棱锥 VABC 的正视图、侧视图和俯视图如图所示(1)画出该三棱锥的直观图；(2)求出侧视图的面积解 (1)直观图如图所示：(2)根据三视图间的关系可得 BC2，3侧视图中VA2，42(23×32× 2 3)2 3SVBC ×2×26.1233第 2 讲 空间几何体的表面积与体积最新考纲1了解球体、柱体、锥体、台体的表面积的计算公式2了解球体、柱体、锥体、台体的体积计算公式.知 识 梳 理1柱、锥、台和球的侧面积和体积面 积体 积圆柱S侧2rhVShr2h圆锥S侧rlV Sh r2h1313 r213l2r2圆台S侧(r1r2)lV (S上S下)h (r r r1r2)h 13S上S下132 12 2直棱柱S侧ChVSh正棱锥S侧 Ch12V Sh13正棱台S侧 (CC)h12V (S上S下)h13S上S下球S球面4R2V R3432.几何体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和学生用书第 108 页辨 析 感 悟1柱体、锥体、台体与球的面积(1)圆柱的一个底面积为 S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是 2S.(×)(2)设长方体的长、宽、高分别为 2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 3a2.(×)2柱体、锥体、台体的体积(3)(教材练习改编)若一个球的体积为 4，则它的表面积为 12.()3(4)(2013·浙江卷改编)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积等于 24 cm3.()(5)在ABC 中，AB2，BC3，ABC120°，使ABC 绕直线 BC 旋转一周所形成的几何体的体积为 9.(×)3柱体、锥体、台体的展开与折叠(6)将圆心角为，面积为 3 的扇形作为圆锥的侧面，则圆锥的表面积等于234.()(7)(2014·青州模拟改编)将边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，使BDa，则三棱锥 DABC 的体积为a3.(×)312感悟·提升两点注意 一是求几何体的体积，要注意分割与补形将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解二是几何体展开、折叠问题，要抓住前后两个图形间的联系，找出其中的量的关系.学生用书第 109 页考点一 空间几何体的表面积【例 1】 (2014·日照一模)如图是一个几何体的正视图和侧视图，其俯视图是面积为 8的矩形则该几何体的表面积是( 2)A8 B208 2C16 D2482解析 由已知俯视图是矩形，则该几何体为一个三棱柱，根据三视图的性质，俯视图的矩形宽为 2，由面积 8，得长为 4，则该几何体的表面积为 S2×22×2×22×42×2×4208.1222答案 B规律方法 (1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和【训练 1】 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_解析 如图所示：该几何体为长为 4，宽为 3，高为 1 的长方体内部挖去一个底面半径为 1，高为1 的圆柱后剩下的部分S表(4×13×43×1)×22×1×12×1238.答案 38考点二 空间几何体的体积【例 2】 (1)(2013·新课标全国卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A168 B88C1616 D816(2)(2014·福州模拟)如图所示，已知三棱柱 ABCA1B1C1的所有棱长均为 1，且AA1底面 ABC，则三棱锥 B1ABC1的体积为 ( )A. B.31234C. D.61264解析 (1)由三视图可知该几何体由长方体和圆柱的一半组成其中长方体的长、宽、高分别为 4,2,2，圆柱的底面半径为 2、高为 4.所以V2×2×4 ×22××4168.故选 A.12(2)三棱锥 B1ABC1的体积等于三棱锥 AB1BC1的体积，三棱锥 AB1BC1的高为，底面积为 ，故其体积为 × ×.3212131232312答案 (1)A (2)A规律方法 (1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解【训练 2】 如图所示，已知 E，F 分别是棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1的棱 A1A，CC1的中点，求四棱锥 C1B1EDF 的体积解 法一 连接 A1C1，B1D1交于点 O1，连接 B1D，EF，过 O1作 O1HB1D 于 H.EFA1C1，且 A1C1平面 B1EDF，EF平面 B1EDF.A1C1平面 B1EDF.C1到平面 B1EDF 的距离就是 A1C1到平面 B1EDF 的距离平面 B1D1D平面 B1EDF，且平面 B1D1D平面 B1EDFB1D，O1H平面 B1EDF，即 O1H 为棱锥的高B1O1HB1DD1，O1Ha.B1O1·DD1B1D66O1H · ·a·a·a a3.1312236616法二 连接 EF，B1D.设 B1到平面 C1EF 的距离为 h1，D 到平面 C1EF 的距离为 h2，则h1h2B1D1a.2由题意得， ·S13C1EF·(h1h2) a3.16考点三 球与空间几何体的接、切问题【例 3】 (1)(2013·福建卷)已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为 2的正方形，则该球的表面积是_(2)(2013·辽宁卷)已知直三棱柱 ABCA1B1C1的 6 个顶点都在球 O 的球面上，若AB3，AC4，ABAC，AA112，则球 O 的半径为( )A. B2 3 17210C. D313210审题路线 (1)正方体内接于球正方体的体对角线长等于球的直径求得球的半径代入球的表面积公式(注意只算球的表面积)(2)BC 为过底面 ABC 的截面圆的直径取 BC 中点 D，则球心在 BC 的垂直平分线上，再由对称性求解解析 (1)由三视图知，棱长为 2 的正方体内接于球，故正方体的体对角线长为2，即为球的直径3所以球的表面积为 S4·212.(2 32)(2)因为在直三棱柱中 AB3，AC4，AA112，ABAC，所以 BC5，且 BC为过底面 ABC 的截面圆的直径，取 BC 中点 D，则 OD底面 ABC，则 O 在侧面 BCC1B1内，矩形 BCC1B1的对角线长即为球的直径，所以2r13，即 r.12252132答案 (1)12 (2)C学生用书第 110 页规律方法 解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的【训练 3】 (2013·新课标全国卷)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )A. cm3 B. 50038663cm3C. cm3 D. 1 37232 0483cm3解析 作出该球的轴截面，如图所示，依题意 BE2 cm，AECE4 cm，设DEx，故 AD2x，因为 AD2AE2DE2，解得 x3(cm)，故该球的半径AD5 cm，所以 V R3(cm3)435003答案 A考点四 几何体的展开与折叠问题【例 4】 (1)如图所示，在边长为 4 的正方形纸片 ABCD 中，AC 与 BD 相交于O，剪去AOB，将剩余部分沿 OC，OD 折叠，使 OA，OB 重合，则以A，B，C，D，O 为顶点的四面体的体积为_(2)如图所示，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABC 为直角三角形，ACB90°，AC4，BCCC13.P 是 BC1上一动点，则 CPPA1的最小值为_(其中 PA1表示 P，A1两点沿棱柱的表面距离)解析 (1)折叠后的四面体如图所示OA，OC，OD 两两相互垂直，且 OAOCOD2，体积 V SOCD·OA213× ×(2)3.131228 23(2)由题意知，把面 BB1C1C 沿 BB1展开与面 AA1B1B 在一个平面上，如图所示，连接 A1C 即可则 A1、P、C 三点共线时，CPPA1最小，ACB90°，AC4，BCC1C3，A1B1AB5，A1C1538，4232A1C.故 CPPA1的最小值为.82327373答案 (1) (2)8 2373规律方法 (1)有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变(2)研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题【训练 4】 如图为一几何体的展开图，其中 ABCD 是边长为 6 的正方形，SDPD6，CRSC，AQAP，点 S，D，A，Q 共线，点 P，D，C，R 共线，沿图中虚线将它们折叠起来，使 P，Q，R，S 四点重合，则需要_个这样的几何体，可以拼成一个棱长为 6 的正方体解析 由题意知，将该展开图沿虚线折叠起来以后，得到一个四棱锥PABCD(如图所示)，其中 PD平面 ABCD，因此该四棱锥的体积 V ×6×6×672，而棱长为 613的正方体的体积 V6×6×6216，故需要3 个这样的几何体，才能拼成21672一个棱长为 6 的正方体答案 31对于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱锥、棱台与球的表面积的问题，要结合它们的结构特点与平面几何知识来解决2求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积3与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.方法优化 5特殊点在求解几何体的体积中的应用【典例】 (2012·山东卷)如图，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，E，F 分别为线段 AA1，B1C 上的点，则三棱锥 D1EDF 的体积为_一般解法 三棱锥 D1EDF 的体积即为三棱锥 FDD1E 的体积因为 E，F分别为 AA1，B1C 上的点，所以在正方体 ABCDA1B1C1D1中EDD1的面积为定值 ，F 到平面 AA1D1D 的距离为定值 1，所以 × ×1 .12131216优美解法 E 点移到 A 点，F 点移到 C 点，则 × ×1×1×1 .131216答案 16反思感悟 (1)一般解法利用了转化思想，把三棱锥D1EDF 的体积转化为三棱锥 FDD1E 的体积，但这种解法还是难度稍大，不如采用特殊点的解法易理解、也简单易求(2)在求几何体体积时还经常用到等积法、割补法【自主体验】如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，侧棱 AA1与侧面 BCC1B1的距离为 2，侧面BCC1B1的面积为 4，此三棱柱 ABCA1B1C1的体积为_解析 补形法将三棱柱补成四棱柱，如图所示记 A1到平面 BCC1B1的距离为 d，则 d2.则 V三棱柱 V四棱柱 ×4×24.1212答案 4对应学生用书 P309基础巩固题组(建议用时：40 分钟)一、选择题1(2013·广东卷)某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是( )A4 B. C. D6143163解析 由四棱台的三视图可知该四棱台的上底面是边长为 1 的正方形；下底面是边长为 2 的正方形，高为 2.由棱台的体积公式可知该四棱台的体积 V (121322)×2，故选 B.12 × 22143答案 B2(2013·湖南卷)已知棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于( )A1 B. C. D.2212212解析 由俯视图的面积为 1 可知，该正方体的放置如图所示，当正视图的方向与正方体的侧面垂直时，正视图的面积最小，其值为 1，当正视图的方向与正方体的对角面 BDD1B1或 ACC1A1垂直时，正视图的面积最大，其值为，由于2正视图的方向不同，因此正视图的面积 S1，故选 C.2答案 C3(2014·许昌模拟)如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为 1的正方形，俯视图是一个直径为 1 的圆，那么这个几何体的表面积为( )A4 B. C3 D232解析 由三视图可知，该几何体是一个圆柱，S表2××2×1×1.(12)32答案 B4.如图，在多面体 ABCDEF 中，已知 ABCD 是边长为 1 的正方形，且ADE，BCF 均为正三角形，EFAB，EF2，则该多面体的体积为( )A. B. C. D.23334332解析 如图，分别过点 A，B 作 EF 的垂线，垂足分别为 G，H，连接DG，CH，容易求得 EGHF ，AGGDBHHC，SAGDS1232BHC ××1，VVEADGVFBHCVAGDBHC2VEADGVAGDBHC122224 ×× ×2×1.故选 A.1324122423答案 A5(2012·新课标全国卷)平面 截球 O 的球面所得圆的半径为 1，球心 O 到平面 的距离为，则此球的体积为( )2A. B4 C4 D66363解析 如图，设截面圆的圆心为 O，M 为截面圆上任一点，则OO，OM1，OM，即球的半径为，V ()2 2213343334.3答案 B二、填空题6(2013·辽宁卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是_解析 由三视图可知该几何体是一个圆柱内部挖去一个正四棱柱，圆柱底面圆半径为 2，高为 4，故体积为 16；正四棱柱底面边长为 2，高为 4，故体积为16，所以几何体的体积为 1616.答案 16167(2013·陕西卷)某几何体的三视图如图所示，则其体积为_解析 该几何体为一个半圆锥，故其体积为 V × ××12×22 .13123答案 38(2013·江苏卷)如图，在三棱柱 A1B1C1ABC 中，D，E，F 分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥 FADE 的体积为 V1，三棱柱 A1B1C1ABC的体积为 V2，则 V1V2_.解析 设三棱柱 A1B1C1ABC 的高为 h，底面三角形 ABC 的面积为 S，则 V1× S· hShV2，即 V1V2124.131412124124答案 124三、解答题9如图，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)：(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；(2)求这个几何体的表面积及体积解 (1)这个几何体的直观图如图所示(2)这个几何体可看成是正方体 AC1及直三棱柱 B1C1QA1D1P 的组合体由 PA1PD1 cm，A1D1AD2 cm，可得 PA1PD1.故所求几何体的表面2积S5×222×2×2× ×()2224(cm2)，21222体积 V23 ×()2×210(cm3)12210有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为 r 的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度解 如图所示，作出轴截面，因轴截面是正三角形，根据切线性质知当球在容器内时，水的深度为 3r，水面半径 BC 的长为r，则容器内水的体积为3VV圆锥V球 (r)2·3r133r3 r3，4353将球取出后，设容器中水的深度为 h，则水面圆的半径为h，从而容器内水的体积为33V 2h h3，由 VV，得 hr.13(33h)19315能力提升题组(建议用时：25 分钟)一、选择题1已知球的直径 SC4，A，B 是该球球面上的两点，AB，ASCBSC30°，则棱锥 SABC 的体积为( )3A3 B2 C. D1333解析 由题意知，如图所示，在棱锥 SABC 中，SAC，SBC 都是有一个角为 30°的直角三角形，其中 AB，SC4，所以3SASB2，ACBC2，作 BDSC 于 D 点，连接 AD，易证 SC平面3ABD，因此 VS ABC ××()2×4.133433答案 C2(2013·临沂一模)具有如图所示的正视图和俯视图的几何体中，体积最大的几何体的表面积为( )A3 B732C. D1472解析 由正视图和俯视图可知，该几何体可能是四棱柱或者是水平放置的三棱柱，或水平放置的圆柱由图可知四棱柱的体积最大四棱柱的高为 1，底面边长分别为 1,3，所以表面积为 2(1×31×13×1)14.答案 D二、填空题3如图，已知正三棱柱 ABCA1B1C1的底面边长为 2 cm、高为 5 cm，则一质点自点 A 出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点 A1的最短路线的长为_(cm)解析 根据题意，利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱，然后将其展开为如图所示的实线部分，则可知所求最短路线的长为13(cm)52122答案 13三、解答题4如图 1，在直角梯形 ABCD 中，ADC90°，CDAB，AB4，ADCD2，将ADC 沿 AC 折起，使平面 ADC平面ABC，得到几何体 DABC，如图 2 所示(1)求证：BC平面 ACD；(2)求几何体 DABC 的体积(1)证明 在图中，可得 ACBC2，2从而 AC2BC2AB2，故 ACBC，又平面 ADC平面 ABC，平面 ADC平面 ABCAC，BC平面 ABC，BC平面 ACD.(2)解 由(1)可知，BC 为三棱锥 BACD 的高，BC2，S2ACD2，VBACD SACD·BC ×2×2，由等体积性可知，几何体131324 23DABC 的体积为.4 23第 3 讲 空间点、直线、平面之间的位置关系最新考纲1理解空间直线、平面位置关系的定义2了解可以作为推理依据的公理和定理3能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题. 知 识 梳 理1平面的基本性质(1)公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内(2)公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面(3)公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线(4)公理 2 的三个推论推论 1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论 2：经过两条相交直线有且只有一