学年高中数学第章指数函数和对数函数对数函数.对数函数的图像和性质学案北师大版必修.doc

5.3对数函数的图像和性质学 习 目 标核 心 素 养1.掌握对数函数的图像和性质(重点)2掌握对数函数的图像和性质的应用(难点)3体会数形结合的思想方法.1.通过对对数函数图像和性质的应用，体会数学抽象素养2通过数形结合思想的应用，提升直观想象素养.对数函数的图像和性质阅读教材P93P96有关内容，完成以下问题思考：函数ylogax与ylogx的图像有什么关系？提示ylogxlogax，所以，它们关于x轴对称1如下图，曲线是对数函数ylogax的图像，a取，那么相应于c1，c2，c3，c4的a值依次为()A.， B，C.， D，A先排c1，c2底的顺序，底都大于1，当x>1时图低的底大，c1，c2对应的a分别为，.然后考虑c3，c4底的顺序，底都小于1，当x<1时底大的图高，c3，c4对应的a分别为，.综合以上分析，可得c1，c2，c3，c4的a值依次为，.应选A.2函数f(x)log2.5x的值域为_答案R3函数ylog2x2的单调递增区间是_(0，)由x2>0，得x0，令ux2，那么u在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增，又ylog2u在(0，)上单调递增，那么ylog2x2的单调递增区间是(0，)4函数y的定义域是_(0,1由logx0，得0<x1，所以，其定义域为(0,1比拟大小【例1】比拟大小：(1)log0.31.8，log0.32.7；(2)log67，log76；(3)log3，log20.8；(4)log712，log812.思路探究(1)底数相同，可利用单调性比拟；(2)与1比拟；(3)与0比拟；(4)可结合图像比拟大小解(1)考查对数函数ylog0.3x，0<0.3<1，它在(0，)上是减函数，log0.31.8>log0.32.7；(2)log67>log661，log76<log771，log67>log76；(3)log3>log310，log20.8<log210，log3>log20.8；(4)法一：在同一坐标系中作出函数ylog7x与ylog8x的图像，由底数变化对图像位置的影响知：log712>log812.法二：log712log812>0，log712>log812.比拟对数大小的思路(1)底数相同，真数不同的，可看作同一对数函数上的几个函数值，用对数函数的单调性比拟大小；(2)底数不同，真数相同的几个数，可通过图像比拟大小，也可通过换底公式比拟大小；(3)底数不相同，真数也不相同的几个数，可通过特殊值来比拟大小，常用的特殊值是“0或“1.1设alog36，blog510，clog714，那么()Ac>b>a Bb>c>aCa>c>b Da>b>cDalog36log33log321log32，blog510log55log521log52，clog714log77log721log72.log32log52log72，abc，应选D.对数函数的图像及应用【例2】函数yloga(xb) c>0，且a1的图像如下图(1)求实数a与b的值；(2)函数yloga(xb)与ylogax的图像有何关系？解(1)由图像可知，函数的图像过点(3,0)与点(0,2)，所以得方程0loga(3b)与2logab，解得a2，b4.(2)函数yloga(x4)的图像可以由ylogax的图像向左平移4个单位得到解决对数函数图像问题的考前须知(1)明确对数函数图像的分布区域.对数函数的图像在第一、四象限.当x趋近于0时，函数图像会越来越靠近y轴，但永远不会与y轴相交.(2)建立分类讨论的思想.在画对数函数图像之前要先判断对数的底数a的取值范围是a>1，还是0<a<1.(3)牢记特殊点.对数函数ylogax(a>0，且a1)的图像经过点：(1，0)，(a，1)和2画出以下函数的图像，并根据图像写出函数的定义域与值域以及单调区间：(1)ylog3(x2)；(2)y|logx|.解(1)函数ylog3(x2)的图像可看作把函数ylog3x的图像向右平移2个单位得到的，如图.其定义域为(2，)，值域为R，在区间(2，)上是增加的(2)y|logx|其图像如图.其定义域为(0，)，值域为0，)，在(0,1)上是减少的，在1，)上是增加的.与logaf(x)型函数的单调性有关的问题探究问题1求函数ylog2(x22x3)的单调区间提示：由x22x3>0，得1<x<3.令ux22x3，那么u在(1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减又ylog2u是增函数那么ylog2(x22x3)的单调递增区间是(1,1)，单调递减区间是(1,3)2函数ylog(x2axa)在区间(，)上是增函数，求实数a的取值范围提示：依题意，解得2a<22.【例3】函数f(x)loga(6ax)在0,2上为减函数，求实数a的取值范围思路探究从u6ax是减函数及u>0入手，分析a满足的条件解令u6ax，a>0且a1，u是减函数，又f(x)在0,2上为减函数，那么ylogau是增函数，所以，a>1，由u6ax在0,2恒大于0，得62a>0.解得a<3.综上得1<a<3.函数ylogaf(x)的单调性可通过ylogau与uf(x)的单调性来判断.当ylogau与uf(x)的单调性相同时，ylogaf(x)单调递增；当ylogau与uf(x)的单调性相反时，ylogaf(x)单调递减.3(1)log0.7(2x)<log0.7(x1)，那么x的取值范围是_(2)假设函数f(x)axloga(x1)在0,1上的最大值和最小值之和为a，那么a的值等于_(1)(1，)(2)(1)因为函数ylog0.7x在(0，)上为减函数，所以由log0.7(2x)<log0.7(x1)得解得x>1.即x的取值范围是(1，)(2)当0<a<1时，因为yax在0,1上为减函数，yloga(x1)在0,1上也是减函数，所以f(x)在0,1上为减函数，所以f(x)maxf(0)1，f(x)minf(1)aloga2，于是1aloga2a，解得a；同理，当a>1时，f(x)在0,1上为增函数，所以f(x)maxf(1)aloga2，f(x)minf(0)1，于是1aloga2a，解得a，与a>1矛盾综上，a.1比拟两个(或多个)对数的大小时，一看底数，底数相同的两个对数可直接利用对数函数的单调性来比拟大小，假设“底的范围不明确，那么需分两种情况讨论；二看真数，底数不同但真数相同的两个对数可借助于图像，或应用换底公式将其转化为同底的对数来比拟大小；三找中间值，底数、真数均不相同的两个对数可选择适当的中间值(如1或0等)来比拟2需要注意的问题(1)由logaf(x)>logag(x)利用单调性去掉对数符号时，务必保证f(x)>0，g(x)>0，否那么就扩大了自变量的取值范围(2)复合函数的单调性规律“同增异减：内、外层函数单调性相同时，复合函数为增函数；内、外层函数单调性相反时，复合函数为减函数.1思考辨析(1)对数函数ylogax(a>0，且a1)在(0，)上是增函数() (2)假设logm<logn，那么m<n.()(3)对数函数ylog2x与ylogx的图像关于y轴对称()答案(1)×(2)(3)×2loga<1，那么a的取值范围是()A0<a< Ba>C.<a<1 D0<a<，或a>1D当0<a<1时，loga<1logaa，0<a<；当a>1时，loga<1logaa，a>1.综上得，0<a<，或a>1.3函数ylog2(x21)的递增区间是_(1，)由x21>0，得x>1，或x<1.令ux21，那么u在(，1)上递减，在(1，)上递增，又ylog2a是增函数，那么ylog2(x21)的递增区间是(1，)4求函数y(logx)2logx的单调区间解令ulogx，那么yu2u.由yu2u2，得yu2u在上单调递减，在上单调递增由logx，得x；由logx，得0<x.又ulogx是减函数那么y(logx)2logx递增区间是，)；递减区间是(0，