向量的内积长及正交性.pptx

一、内积定义及性质一、内积定义及性质1.定义1 设有 n 维向量令 x,y=x1 y1+x2 y2+xn yn,称 x,y 为向量 x 与 y 的内积(Inner product).说明说明 1.n(n 4)维向量的内积是3维向量数量积的推广,但是没有3维向量直观的几何意义2.若向量 x 与 y 均为列向量,内积可用矩阵记法表示为:x,y=xT y.第1页/共20页2.内积的运算性质(其中 x,y,z 为 n 维向量,为实数).(1)x,y=y,x;(2)x,y=x,y;(3)x+y,z=x,z+y,z;(4)当 x=时,x,x=0;当 x 时,x,x 0.施瓦茨(Schwarz)不等式:x,y 2 x,x y,y.第2页/共20页1.定义2 令 二、向量的长度及性质二、向量的长度及性质称|x|为 n 维向量 x 的长度(或范数).向量的长度具有下述性质：(1)非负性:当 x=时,|x|=0;当 x 时,|x|0.(2)齐次性:|x|=|x|;(3)三角不等式:|x+y|x|+|y|;(4)|x,y|x|y|.当|x|y|0时,有:第3页/共20页2.当|x|=1 时,称 x 为单位向量.若 ,则 为单位向量.若 ,称为把向量 单位化.第4页/共20页解解(3)当|x|y|0时,称为向量 x 与 y 的夹角.第5页/共20页1.当 x,y=0 时,称向量 x 与 y 的正交.三、正交向量组的概念及求法三、正交向量组的概念及求法有 x,y=0,故向量 x 与 y 正交.由定义可知:若 x=时,则 x与任何向量都正交.2.若一非零向量组中的向量两两正交,则称该向量组为正交向量组定理 若n维向量 1,2,r 是正交向量组,则 1,2,r 线性无关.第6页/共20页证明证明定理 若n维向量 1,2,r 是正交向量组,则 1,2,r 线性无关.第7页/共20页3.正交单位向量组每个向量都是单位向量的正交向量组.4.向量空间的正交基第8页/共20页例例1 1 已知R3空间中两个向量 正交,试求 3 使 1,2,3 构成R3的一个正交基.解题分析:即求 3使 1,2,3为正交向量组.解解设 3=(x1,x2,x3)T ,且与 1,2正交,则有解得：令 x3=1,得:3=(1,0,1)T,则 1,2,3 构成R3的一个正交基.第9页/共20页5.规范 正交基例如例如定义(标准)第10页/共20页 同理可知：初始单位向量组第11页/共20页6、求规范正交基的方法下面介绍下面介绍施密特正交化施密特正交化方法（方法（Gram-Schmidt orthogonalizations method）第12页/共20页(1)正交化 取 b1=a1,(2)单位化第13页/共20页例例2 2 用施密特正交化方法将向量组正交规范化:解解 取 b1=a1=(1,1,1,1)T,第14页/共20页单位化得如下规范正交向量组:第15页/共20页例例2 2解解第16页/共20页定义定义4 4四、正交矩阵与正交变换四、正交矩阵与正交变换定理定理 A 为正交矩阵的充要条件是 A 的列向量都是单位向量且两两正交例例5 5 判别下列矩阵是否为正交阵第17页/共20页正交矩阵的性质：定义 若P为正交阵,称线性变换 y=Px为正交变换性质性质 正交变换保持向量的长度不变证明证明第18页/共20页1.施密特正交化方法将一组基规范正交化的方法：五、小结五、小结2.A为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：第19页/共20页谢谢您的观看！第20页/共20页