塑性力学梁的弹塑性弯曲.pptx

2 由由于于塑塑性性本本构构关关系系有有全全量量和和增增量量两两种种理理论论，需需要要给给出出对对这这两两种种理理论论的的边边值值问问题的提法及解法题的提法及解法全量理论的边值问题及解法全量理论的边值问题及解法设设在在物物体体V V内内给给定定体体力力 ，在在应应力力边边界界 上上给给定定面面力力 ，在在位位移移边边界界 上上给给定定 ，要要求求物物体体内内部部各各点点的的应应力力 、应应变变 、位位移移 。确确定定这这些些未未知知量量的的基基本本方方程程组组有：有：1 1）2 2）3 3）4 4）5-1 5-1 弹塑性力学中的边值问题弹塑性力学中的边值问题 第1页/共20页35）求求解解方方法法和和弹弹性性问问题题一一样样，可可以以用用两两种种基基本本方方法法：按按位位移移求求解解或或按按应应力力求求解解。在全量理论适用并按位移求解弹塑性问题时，依留申提出的弹性解法显得很方便。在全量理论适用并按位移求解弹塑性问题时，依留申提出的弹性解法显得很方便。将将 代入用位移表示的平衡微分方程得：代入用位移表示的平衡微分方程得：其中或或 在在弹弹性性状状态态时时，故故当当上上式式右右端端等等于于零零时时，可可得得到到弹弹性性解解。将将它它作作为为第第一一次次近近似似解解，代代入入上上式式右右端端作作为为已已知知项项，又又可可以以解解出出第第二二次次近近似似解解。重重复复以以上上过过程程，可可得得出出所所要要求求的的精精确确度度内内接接近近实实际际的的解解。在在小小变变形形情情况况下下，可可以以证证明明解解能能够够很很快快收收敛。在很多问题第二次近似解已能给出较为满意的结果敛。在很多问题第二次近似解已能给出较为满意的结果。第2页/共20页4增量理论的边值问题及解法增量理论的边值问题及解法设在加载阶段的某一瞬时，已求得物体内各点的设在加载阶段的某一瞬时，已求得物体内各点的 求求在在此此基基础础上上，给给定定体体力力增增量量 、上上面面力力增增量量 、上上位位移移增增量量 时时，物物体体内内部部各各点点的的应应力力增增量量 、应应变变增增量量 、位位移移增增量量 。确确定定这这些些增增量量的的基基本本方方程程组有：组有：1 1）2）3）本构关系（理想弹塑性材料）弹性区 第3页/共20页5 塑性区塑性区4 4）5 5）此此外外，在在弹弹塑塑性性交交界界面面上上还还应应满满足足一一定定的的连连续续条条件件和和间间断断性性条条件件。在在给给定定加加载载历历史史时时，可可以以对对每每时时刻刻求求出出增增量量，然然后后用用“积积分分”（累累计计）的的方方法法得得出出应应力力和和应变等分布规律。应变等分布规律。塑塑性性力力学学中中比比较较简简单单的的问问题题，包包括括用用平平衡衡微微分分方方程程、屈屈服服条条件件和和应应力力边边界界条条件件就就能能完完全全确确定定应应力力场场的的所所谓谓静静定定问问题题，以以及及屈屈服服条条件件为为线线性性的的情情况况，求求解解时时并并不不需需要要处处理理整整套套方方程程（因因为为其其中中许许多多方方程程已已自自动动满满足足），需需要要处处理理的的方方程程也也可可用用较较简简单单的的数数学学方方法法求求解解。属属于于这这类类问问题题的的有有纯纯拉拉伸伸、纯纯弯弯曲曲、纯纯扭扭转转、平平面面弯弯曲曲、厚壁筒和旋转圆盘等。厚壁筒和旋转圆盘等。第4页/共20页5-2 5-2 梁的纯弯曲梁的纯弯曲6一、研究对象及基本假设一、研究对象及基本假设 考考虑虑横横截截面面有有两两个个对对称称轴轴的的梁梁，由由MisesMises理理想想塑塑性性材材料料制制成成。荷荷载载作作用用在在对对称称平面平面x yx y平面内，仍采用材料力学中梁弯曲理论的一般假设：平面内，仍采用材料力学中梁弯曲理论的一般假设：（1 1）、平截面假设；）、平截面假设；（2 2）、小变形，挠度）、小变形，挠度 ；（3 3）、梁内各点均为单向应力状态，只有）、梁内各点均为单向应力状态，只有 ；（4 4）、梁的材料在拉伸和压缩有完全相同的力学性能。）、梁的材料在拉伸和压缩有完全相同的力学性能。材料不可压缩，即取材料不可压缩，即取第5页/共20页7二、应力分布二、应力分布 设梁受弯矩设梁受弯矩M M 后产生的曲率为后产生的曲率为 ，由基本假设可知，由基本假设可知 规定使梁下凸时曲率及曲率半径为正。规定使梁下凸时曲率及曲率半径为正。因因为为梁梁内内各各点点都都处处于于单单向向应应力力状状态态，所所以以在在外外载载比比例例增增加加的的情情况况下下，必必然然是是简单加载，可以使用全量理论，直接建立应力与应变的物理关系。简单加载，可以使用全量理论，直接建立应力与应变的物理关系。或或所以只要求出曲率所以只要求出曲率 ，即可确定梁内各点的应力。，即可确定梁内各点的应力。第6页/共20页8三、三、的关系的关系 由截面上的力的合成得：由截面上的力的合成得：上上式式建建立立了了曲曲率率 与与弯弯矩矩 之之间间的的关关系系。给给定定 可可以以求求出出相相应应的的 ，但但给给定定 反反求求 时时，须须视视 的的形形式式，如如 形形式式不不是是十十分分简简单单，则则给给定定 不不易易求求 。这这可通过绘出可通过绘出曲线来求。确定曲线来求。确定 关系是解决梁弯曲问题的关键。关系是解决梁弯曲问题的关键。四、理想弹塑性材料梁四、理想弹塑性材料梁 对于理想弹塑性材料，其应力应变关系如下表示：对于理想弹塑性材料，其应力应变关系如下表示：第7页/共20页9当当弯弯矩矩 超超过过一一定定大大小小，使使得得梁梁截截面面上上一一部部分分区区域域进进入入塑塑性性之之后后，梁梁截截面面上上的的应应力力分分布布如如图图。是是塑塑性性区区的的边边缘缘到到中中性性轴轴的的距距离离。以以 ，代代入入（5-15-1）得得第8页/共20页10得得其中其中 是截面的弹性区对中性轴的惯性矩。是截面的弹性区对中性轴的惯性矩。是截面是截面 一块塑性区对中性轴的静矩。一块塑性区对中性轴的静矩。第9页/共20页5-2 5-2 梁的弯曲梁的弯曲6一、研究对象及基本假设一、研究对象及基本假设 考考虑虑横横截截面面有有两两个个对对称称轴轴的的梁梁，由由MisesMises理理想想塑塑性性材材料料制制成成。荷荷载载作作用用在在对对称称平面平面xyxy平面内，仍采用材料力学中梁弯曲理论的一般假设：平面内，仍采用材料力学中梁弯曲理论的一般假设：（1 1）、平截面假设；）、平截面假设；（2 2）、小变形，挠度）、小变形，挠度 ；（3 3）、各层间相互挤压不计；）、各层间相互挤压不计；（4 4）、长度比横向尺寸大得多，因而）、长度比横向尺寸大得多，因而 。材料不可压缩，即取材料不可压缩，即取 梁的位移分量为梁的位移分量为梁的应变分量为梁的应变分量为满足应变协调方程满足应变协调方程 。第10页/共20页7梁梁的的纵纵向向纤纤维维是是受受简简单单拉拉伸伸或或压压缩缩。在在弯弯矩矩M M增增长长时时，每每一一单单元元体体的的加加载载显显然然都都是是简单加载，故可以用全量理论求解。简单加载，故可以用全量理论求解。二、本构方程二、本构方程 在在本本构构方方程程中中忽忽略略次次要要应应力力（即即挤挤压压应应力力 和和横横向向剪剪应应力力 ）的的影影响响，材材料料处于轴向应力的单向拉压状态。对于理想弹塑性材料，应力处于轴向应力的单向拉压状态。对于理想弹塑性材料，应力应变关系为应变关系为其中，其中，为屈服应变，即应力刚达到屈服应力为屈服应变，即应力刚达到屈服应力 时的应变。时的应变。三、平衡微分方程（不计体力）三、平衡微分方程（不计体力）略略 在在 求出后，挤压应力求出后，挤压应力 和横向剪应力和横向剪应力 可以根据上述方程求出。可以根据上述方程求出。第11页/共20页7四、内力和应力分量四、内力和应力分量 根据上面假设，有根据上面假设，有满足平衡微分方程及物理方程。满足平衡微分方程及物理方程。作用在横截面上的内力：弯矩作用在横截面上的内力：弯矩M M和剪力和剪力 分别为（分别为（纯弯、纯弯、横力弯曲）横力弯曲）要求截面上的应力分布，还必须借助于变形条件。由于平面要求截面上的应力分布，还必须借助于变形条件。由于平面假设，当梁处于纯弹性时假设，当梁处于纯弹性时 当梁产生塑性变形时，由上面的假设，当梁产生塑性变形时，由上面的假设，MisesMises屈服条件为屈服条件为 第12页/共20页8可以证明塑性区可以证明塑性区 ，故屈服条件为，故屈服条件为 。五、横截面上的弯矩和弹塑性区的关系五、横截面上的弯矩和弹塑性区的关系 由由于于材材料料是是各各项项同同性性的的，截截面面又又是是对对称称的的，故故随随着着M M的的增增加加，也也在在增增加加。塑塑性性变变形形是是由由梁梁截截面面边边缘缘对对称称地地向向内内部部发发展展的的。当当最最外外层层纤纤维维上上的的应应力力达达到到 时时梁梁就就进进入入塑塑性性阶阶段段。在在梁梁的的横横截截面面上上弹弹性性区区和和塑塑性性区区是是共共存存的的。在在弹弹性性区区应应力力按按线线性分布，在塑性区按上式分布。两者交界处，正应力正好等于性分布，在塑性区按上式分布。两者交界处，正应力正好等于 。第13页/共20页9 当当材材料料是是理理想想弹弹塑塑性性材材料料时时，则则 ，继继续续增增加加弯弯矩矩，截截面面上上的的应应力力的的分布分成三个区域分布分成三个区域 其其中中 是是塑塑性性区区边边缘缘到到对对称称轴轴的的距距离离。随随着着各各截截面面上上的的弯弯矩矩的的不不同同，也也不不同同，因此因此 是是 的函数，即的函数，即 。当。当 时，该截面全部进入塑性状态。时，该截面全部进入塑性状态。现现在在进进一一步步考考察察 与与M M的的关关系系。当当 时时，即即最最外外层层纤纤维维刚刚开开始始屈屈服服，这这时时的的弯弯矩矩称称为为最最大大弹弹性性弯弯矩矩或或弹弹性性极极限限弯弯矩矩 。当当 时时，整整个个截截面面都都进进入入塑塑性状态，在忽略掉剪应力影响的情况下，这时的弯矩称为极限弯矩性状态，在忽略掉剪应力影响的情况下，这时的弯矩称为极限弯矩 。第14页/共20页10 式中式中 ，是截面弹性区对中性轴的惯性矩，是截面弹性区对中性轴的惯性矩 是截面是截面 一块塑性区对中性一块塑性区对中性 轴的静矩。轴的静矩。如梁的横截面是高为如梁的横截面是高为h 、宽为、宽为b 的矩形，则的矩形，则 ，第15页/共20页11 ，四、受有均布荷载的矩形截面简支梁的弹塑性区域的分布四、受有均布荷载的矩形截面简支梁的弹塑性区域的分布 如是受有均布荷载的矩形截面简支梁，材料仍然是理想弹塑性材料（如是受有均布荷载的矩形截面简支梁，材料仍然是理想弹塑性材料（MisesMises）。）。整理后为：整理后为：这就是梁沿轴向的弹塑性区分界线方程。弹塑性区的分界线为双曲线。这就是梁沿轴向的弹塑性区分界线方程。弹塑性区的分界线为双曲线。设梁在弹性时能承受的最大均布荷载为设梁在弹性时能承受的最大均布荷载为 ，则，则 即为即为第16页/共20页12在弯矩最大的截面在弯矩最大的截面(处处)刚开始进入塑性即刚开始进入塑性即 时的值，它可由上式得：时的值，它可由上式得：五、极限荷载五、极限荷载 当当 处处的的整整个个截截面面进进入入塑塑性性状状态态，梁梁成成为为一一个个机机构构，进进入入自自由由塑塑性性变变形形阶阶段，将发生段，将发生“无限制无限制”的塑性流动。这时的的塑性流动。这时的 称为极限荷载，用表示称为极限荷载，用表示 。且且 。在在极极限限设设计计的的理理论论中中，要要求求出出使使结结构构丧丧失失承承载载能能力力时时的的荷荷载载，在在目目前前的的情情形形就就是是极极限限荷荷载载 。在在许许用用应应力力的的设设计计中中，只只要要梁梁中中任任一一处处达达到到塑塑性性状状态态，梁梁就就不不许可承受更多的荷载，许可承受更多的荷载，第17页/共20页13也也即即最最大大荷荷载载是是 。但但是是当当梁梁中中有有一一小小部部分分进进入入塑塑性性状状态态时时，梁梁的的挠挠度度仍仍受受中中间间弹弹性性区区的的限限制制，不不会会过过分分增增大大，梁梁上上荷荷载载还还可可以以增增加加，理理论论上上应应该该可可以以达达到到 ，也也即即增增加加50%50%。这这样样可可以以充充分分发发挥挥材材料料的的潜潜力力，节节省省材材料料和和更更合合理理地地使使用用材材料料。但梁是否会因变形过大而影响使用？但梁是否会因变形过大而影响使用？六、梁的挠度六、梁的挠度 进进一一步步的的研研究究表表明明，当当荷荷载载 时时，也也就就是是在在约约束束塑塑性性变变形形阶阶段段，梁梁的最大挠度小于弹性最大挠度的两倍，梁的挠度仍然属于弹性量级。的最大挠度小于弹性最大挠度的两倍，梁的挠度仍然属于弹性量级。第18页/共20页第19页/共20页谢谢您的观看！第20页/共20页