微分方程的基本概念一阶微分方程.pptx

解由题意得：一、问题的提出两端同时积分：第1页/共19页1、微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.例常微分方程偏常微分方程二、微分方程的定义未知函数是一元函数的微分方程未知函数是多元函数时，出现偏导数，即含有偏导数的微分方程，实质:联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.第2页/共19页2、微分方程的阶:微分方程中所含的未知函数的导数的最高阶阶数称为微分方程的阶.如前例分别为一阶、二阶、一阶思考：3、微分方程的解:将某个函数代入微分方程，能使方程恒等。则称此函数为微分方程的解。第3页/共19页均为解，有何区别？例2 验证下列函数都是微分方程y-2y+y=0的解.y=Cex;y=xex;y=C1ex+C2xex.解:y=Cex,y=Cex,y=Cex,代入原方程左边=Cex-2Cex+Cex=0=右边 y=Cex是原方程的解.同理.y=C1ex+C2xex解解的线性组合也是解C，C1，C2均为常数第4页/共19页4、微分方程的解的分类：(1)通解:微分方程的解中含有任意常数,且独立的(即不能合并了)任意常数的个数与微分方程的阶数相同.(2)特解:确定了通解中任意常数数值的解.通解：通用的解，含有任意常数；特解：特殊的解，不含有任意常数第5页/共19页既不为通解，也不为特解，称为个解例2 验证下列函数都是微分方程y-2y+y=0的解.y=Cex;y=xex;y=C1ex+C2xex.为特解为通解特解可以从通解中通过某个条件求出常数得到特解称为定解条件，也称为初始条件一般地，n阶微分方程就有n个定解条件第6页/共19页求特解步骤：先求通解，然后代入定解条件，确定通解中任意常数的值，可得特解。微分方程微分方程的通解定解条件如例1求解得：微分方程的特解第7页/共19页解第8页/共19页所求特解为练习：满足微分方程，故是其解。中不含任意常数,故为微分方程的特解.第9页/共19页Basic concept of differential equations三、齐次方程三、齐次方程一、一阶微分方程的形式一、一阶微分方程的形式四、一阶线性微分方程四、一阶线性微分方程微积分电子教案二、可分离变量的微分方程二、可分离变量的微分方程第10页/共19页即f（x，y）是可分离变量的一阶微分方程的形式一般形式：常见形式：正规型 微分型 一、可分离变量的微分方程学习微分方程重点就是了解这个方程是什么类型？这种类型怎么解？一般形式解法分离变量，直接积分。第11页/共19页解法：1、分离变量。将变量x的函数和微分与变量y的函数和微分分离在等式两边例1 求解微分方程解分离变量两端积分得：例2 求微分方程解分离变量两端积分2、然后积分。第12页/共19页解分离变量两端积分得：结论1:通解既可用显函数表示,也可用隐函数表示.与例1的区别：一个显函数解，一个隐函数解第13页/共19页结论2：解微分方程中形如 ，可以直接写为而不必再加绝对值。结论3：解微分方程时若积分后，出现对数,积分常数常写成lnc形式，以便于合并化简可简写为：解分离变量两端积分第14页/共19页若求在 y(0)=1 条件下的特解，怎样求？例5:已知某商品需求量Q,对价格p的弹性 ，且该商品的最大需求量为200，求需求函数Q。解：由题意得：方程（1）可化为：两端积分得：第15页/共19页将 Q(0)=200代入，可得 C=200故所求需求函数例6：设 在 连续，且满足 ，求解：原方程对x求导：即：分离变量得：两端积分得：由原方程可知：f(0)=0 代入通解 c=2故第16页/共19页作业：P384 1(1，3)6 7注意:积分方程求导后化为微分方程;注意隐条件.练习：求下列微分方程的通解1、(1+x2)dy-dx=0、xydxdy-=第17页/共19页练习：求下列微分方程的通解解:1、分离变量,得：、1、(1+x2)dy-dx=0 xydxdy-=0112=+-dxxdy积分得：y-arctanx=C原方程的通解为：2、分离变量，得xdxydy-=两边积分得：lny=-lnx+lnC即 lnxy=lnC xy=CxCy=：故原方程的通解为y=arctanx+C第18页/共19页感谢您的观看。第19页/共19页