平面向量的数量积平面向量高考一轮数学.pptx

平面向量的数量积平面向量高考一轮数学平面向量的数量积平面向量高考一轮数学返回目录 1.平面向量的数量积 已知两个非零向量已知两个非零向量a和和b,则则 叫做叫做a与与b的数量积的数量积(或内积或内积),记作记作 .规定规定:零向量与任一向量的数量积为零向量与任一向量的数量积为 .两个非零向量两个非零向量a与与b垂直的充要条件是垂直的充要条件是 ,两个非零向量两个非零向量a与与b平行的充要条件是平行的充要条件是 .|a|b|cos ab=|a|b|cos 0 ab=0 ab=|a|b|考点分析第1页/共30页返回目录 2.平面向量数量积的几何意义 数量积数量积ab等于等于a的长度的长度|a|与与b在在a的方向上的投影的方向上的投影 的乘积的乘积.3.平面向量数量积的重要性质 (1)ea=ae=;(2)非零向量非零向量a,b,a b ;(3)当当a与与b同向时同向时,ab=;当当a与与b反向时反向时,ab=,aa=,|a|=;|b|cos|a|cos ab=0|a|b|-|a|b|a2第2页/共30页返回目录(4)cos=;(5)|ab|a|b|.4.平面向量数量积满足的运算律(1)ab=(交换律);(2)(a)b=(为实数);(3)(a+b)c=.ba ab ab ac+bc 第3页/共30页 5.平面向量数量积有关性质的坐标表示 设向量设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则则ab=,由此得到由此得到:若若a=(x,y),则则|a|2=或或|a|=.(2)设设A(x1,y1),B(x2,y2),则则A,B两点间的距离两点间的距离|AB|=|AB|=.(3)设设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则则a b .返回目录 x1x2+y1y2=0 x1x2+y1y2 x2+y2 第4页/共30页返回目录 已知向量已知向量a=(cos x,sin x),b=(cos ,-sin ),且且x -,.(1)求求ab及及|a+b|;(2)若若f(x)=ab-|a+b|,求求f(x)的最大值和最小值的最大值和最小值.考点一考点一 数量积的计算数量积的计算题型分析第5页/共30页返回目录 【解析解析】(1)ab=cos xcos -sin xsin =cos2x,a+b=(cos x+cos ,sin x sin ),x(),cosx0,|a+b|=2cosx.【分析分析】利用数量积的坐标运算及性质即可求解,在求|a+b|时注意x的取值范围.第6页/共30页(2)由（1）可得f(x)=cos2x-2cosx=2cos2x-2cosx-1=2(cosx-)2-.x ,cosx1,当cosx=时,f(x)取得最小值为-;当cosx=1时,f(x)取得最大值为-1.返回目录 第7页/共30页返回目录 【评析评析】(1)与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型.解答此类问题,除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识.(2)求平面向量数量积的步骤:首先求a与b的夹角为,0,180,再分别求|a|,|b|,然后再求数量积即ab=|a|b|cos,若知道向量的坐标 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=x1x2+y1y2.第8页/共30页对应演练对应演练已知已知|a|=3,|b|=4,且且a与与b的夹角为的夹角为=150,求求ab,(a-b)2,|a+b|.ab=|a|b|cos=-6 .（a-b）2=|a|2+|b|2-2ab=25+12 .|a+b|=返回目录 第9页/共30页返回目录 设向量设向量a,b,c满足满足a+b+c=0,(a-b)c,a b.若若|a|=1,则则|a|2+|b|2+|c|2的值是的值是 .【分析分析】由垂直的充要条件,寻找|a|,|b|,|c|之间的关系.考点二考点二 利用向量解决垂直问题利用向量解决垂直问题【解析解析】ab,b=-a-c,ab=a(-a-c)=-|a|2-ac=0,ac=-|a|2=-1.又(a-b)c,(a-b)c=0,ac=bc=-1.a=-b-c,|a|2=|b|2+|c|2+2bc,|b|2+|c|2=|a|2-2bc=3,|a|2+|b|2+|c|2=4.第10页/共30页返回目录 【评析评析】垂直问题是一个重要的知识点,在高考题中常常出现,常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特别注意垂直与平行的区别.若a=(a1,a2),b=(b1,b2),则ab a1a2+b1b2=0,aba1b2-a2b1=0.第11页/共30页返回目录 对应演练对应演练已知已知a=(cos,sin),b=(cos,sin)(0).(1)求证求证:a+b与与a-b互相垂直互相垂直;(2)若若ka+b与与a-kb的模相等的模相等,求求-(其中其中k为非零实数为非零实数).第12页/共30页(1)证明证明:(a+b)(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=(cos2+sin2)-(cos2+sin2)=0,a+b与与a-b互相垂直互相垂直.(2)ka+b=(kcos+cos,ksin+sin),a-kb=(cos-kcos,sin-ksin),|ka+b|=,|a-kb|=.|ka+b|=|a-kb|,2kcos(-)=-2kcos(-).又又k0,cos(-)=0.而而0,-=.返回目录 第13页/共30页返回目录 设两个向量设两个向量e1,e2满足满足|e1|=2,|e2|=1,e1与与e2的夹角为的夹角为 ,若向量若向量2te1+7e2与与e1+te2的夹角为钝角的夹角为钝角,求实数求实数t的范围的范围.【分析分析】由公式cos=可得若为钝角,则cos0,即ab0,从而可求出的取值范围,同时要注意共线反向,即=这一情况.考点三考点三 利用向量解决夹角问题利用向量解决夹角问题 第14页/共30页返回目录【解析解析】由向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为钝角,得 即(2te1+7e2)(e1+te2)0,化简即得2t2+15t+70,解得-7 t-.当夹角为时，也有(2te1+7e2)(e1+te2)0,但此时夹角不是钝角，2te1+7e2与e1+te2反向.设2te1+7e2=(e1+te2),0,第15页/共30页 2t=7=t 0,所求实数t的范围是(-7,)(,).可求得返回目录 第16页/共30页 【评析评析】（1）本题中,当(2te1+7e2)(e1+te2)0得2+-60,2或0),2=k =-3k,故使向量2a+b和a-3b夹角为0的不存在.当2或-3时,向量(2a+b)与(a-3b)的夹角是锐角.解得k2=-.第19页/共30页返回目录 已知向量已知向量m=(cos,sin)和和n=(-sin,cos),(,2),且且|m+n|=,求求cos()的值的值.【分析分析】从向量的模入手，求出满足的条件.考点四考点四 以向量为载体的综合问题以向量为载体的综合问题第20页/共30页【解析解析】解法一：由题意知m+n=(cos-sin+,cos+sin),|m+n|=由已知|m+n|=,得cos+=.又cos(+)=2cos2(+)-1,cos2()=.2,.cos()0.cos()=-.返回目录 第21页/共30页返回目录 解法二解法二：|m+n|2=(m+n)2=m2+2mn+n2=|m|2+|n|2+2mn+2cos(-sin)+sincos=4+2 (cos-sin)=4 1+cos(+)=8cos2().由已知由已知|m+n|=,得得cos =.2,.cos()0.cos()=-.第22页/共30页返回目录 【评析评析】本题主要以向量作为载体，实质上是考查三角中的求值问题，注意倍角公式的运用.第23页/共30页对应演练对应演练设设ABC的三个内角的三个内角A，B，C所对的边长分别为所对的边长分别为a,b,1，已知向量，已知向量u=a(cosB,sinB),v=b(cosA,-sinA).（1）如果）如果u v，指出，指出ABC的形状，并说明理由的形状，并说明理由;（2）求）求|u+v|.返回目录 第24页/共30页（1）由）由u v知知uv=0,即即a(cosB,sinB)b(cosA,-sinA)=0,cosBcosA-sinBsinA=0,cos(A+B)=0.又又0A+B，则，则A+B=.因此因此ABC为直角三角形为直角三角形.返回目录 第25页/共30页返回目录（2）由u=a(cosB,sinB),v=b(cosA,-sinA)知|u|=a,|v|=b,cos=cos(A+B)=-cosC.|u+v|2=u2+v2+2uv=u2+v2+2|u|v|cos=u2+v2+2|u|v|(-cosC)=a2+b2-2abcosC=1.|u+v|=1.第26页/共30页返回目录 1.数量积数量积ab中间的符号中间的符号“”不能省略，也不能用不能省略，也不能用“”来替代来替代.2.要熟练类似要熟练类似(a+b)(sa+tb)=sa2+(t+s)ab+tb2的运算律的运算律(,s,t R).3.求向量模的常用方法求向量模的常用方法:利用公式利用公式|a|2=a2,将模的运算将模的运算转化为向量的数量积的运算转化为向量的数量积的运算.高考专家助教第27页/共30页 4.4.一般地一般地,(ab)c(bc)a,(ab)c(bc)a即乘法的结合律不成立即乘法的结合律不成立.因为因为abab是一个数量是一个数量,所以所以(ab)c(ab)c表示一个与表示一个与c c共线的向量共线的向量,同理右边同理右边(bc)a(bc)a表示一个与表示一个与a a共线的向量共线的向量,而而a a与与c c不一定共线不一定共线,故一般情况下故一般情况下,(ab)c(bc)a.,(ab)c(bc)a.5.5.零向量零向量:(1)0:(1)0与实数与实数0 0的区别的区别,不可写错不可写错:0a=00,a+(-a)=00,a0=00;(2)0:0a=00,a+(-a)=00,a0=00;(2)0 的方向是任意的的方向是任意的,并非没有方向并非没有方向,0,0与任何向量平行与任何向量平行,我们只定义了非零向量的垂直关系我们只定义了非零向量的垂直关系.6.ab=0 6.ab=0不能推出不能推出a=0a=0或或b=0,b=0,因为因为ab=0 aab=0 a b.b.7.ab=ac(a0)7.ab=ac(a0)不能推出不能推出b=c,b=c,即消去律不成立即消去律不成立.8.8.向量夹角的概念要领会向量夹角的概念要领会,比如正三角形比如正三角形ABCABC中中,应为应为120,120,而不是而不是60.60.返回目录 第28页/共30页第29页/共30页