数学变化率与导数新人教A选修.pptx

1.1.变化率与导数第1页/共48页教学目标 了解导数概念的实际背景，体会导数的思想及其内涵;了解函数的平均变化率;教学重点：函数的平均变化率;导数概念的实际背景，导数的思想及其内涵;第2页/共48页一、变化率问题研究某个变量相对于另一个变量变化导数研究的问题 的快慢程度变化率问题第3页/共48页微积分主要与四类问题的处理相关:一、已知物体运动的路程作为时间的函一、已知物体运动的路程作为时间的函数数,求物体在任意时刻的速度与加速度等求物体在任意时刻的速度与加速度等;二、求曲线的切线二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值三、求已知函数的最大值与最小值;四、求长度、面积、体积和重心等。四、求长度、面积、体积和重心等。导数是微积分的核心概念之一它是研究导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。问题最一般、最有效的工具。第4页/共48页变化率问题问题1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?气球的体积气球的体积V(单位单位:L)与半径与半径r(单位单位:dm)之间的函数关系是之间的函数关系是如果将半径如果将半径r表示为体积表示为体积V的函数的函数,那么那么第5页/共48页我们来分析一下:当V从0增加到1时,气球半径增加了气球的平均膨胀率膨胀率为当V从1增加到2时,气球半径增加了气球的平均膨胀率膨胀率为显然问题问题1 气球膨胀率气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程的过程,可以发现可以发现,随着气球内空气容随着气球内空气容量的增加量的增加,气球的半径增加越来越慢气球的半径增加越来越慢.从数学角度从数学角度,如何描述这种现象呢如何描述这种现象呢?第6页/共48页思考?当空气容量从当空气容量从V1增加到增加到V2时时,气球的气球的平均膨胀率是多少平均膨胀率是多少?第7页/共48页问题2 高台跳水 在在高台跳水运动中高台跳水运动中,运动员相对于水运动员相对于水面的高度面的高度h(h(单位：米单位：米)与起跳后的时间与起跳后的时间t t（单位：秒）存在函数关系（单位：秒）存在函数关系 h(th(t2 2+6.5t+10.+6.5t+10.如何用运动员在某些时如何用运动员在某些时 间段内的平均速度粗略间段内的平均速度粗略 地描述其运动状态地描述其运动状态?请计算请计算hto第8页/共48页请计算htoh(t2+6.5t+10第9页/共48页平均变化率定义:若设若设x=x2-x1,f=f(x2)-f(x1)则则平均变化率平均变化率为为这里x看作是对于x1的一个“增量”可用x1+x代替x2同样f=y=f(x2)-f(x1)l上述问题中的变化率可用式子 表示称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率第10页/共48页 思考?观察函数观察函数f(x)的图象的图象平均变化率平均变化率表示什么表示什么?OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=xf(x2)-f(x1)=y直线AB的斜率第11页/共48页做两个题吧!1、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+x,-2+y),则y/x=()A 3 B 3x-(x)2C 3-(x)2 D 3-x D2、求、求y=x2在在x=x0附近的平均速度。附近的平均速度。2x0+x 第12页/共48页练习：2.物体按照物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直的规律作直线运动线运动,求在求在4s附近的平均变化率附近的平均变化率.A第13页/共48页小结：1.函数的平均变化率函数的平均变化率2.求函数的平均变化率的步骤求函数的平均变化率的步骤:(1)求函数的增量求函数的增量f=y=f(x2)-f(x1);(2)计算计算平均变化率平均变化率第14页/共48页练习：过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q(1+x,1+y)作曲线的割线，求出当x时割线的斜率.第15页/共48页二、导数的概念 第16页/共48页问题2 高台跳水 在在高台跳水运动中高台跳水运动中,运动员相对于水面的高运动员相对于水面的高度度h(h(单位：米单位：米)与起跳后的时间与起跳后的时间t t（单位：秒）（单位：秒）存在函数关系存在函数关系 h(th(t2 2+6.5t+10.+6.5t+10.如何用运动员在某些时如何用运动员在某些时 间段内的平均速度粗略间段内的平均速度粗略 地描述其运动状态地描述其运动状态?hto第17页/共48页第18页/共48页瞬时速度.在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映他在这段时间里运动状态.又如何求瞬时速度呢?我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.第19页/共48页如何求（比如，如何求（比如，t t=2=2时的）瞬时速度？时的）瞬时速度？通过列表看出平均速度的变化趋势通过列表看出平均速度的变化趋势：当t趋近于0时,平均速度有什么变化趋势?第20页/共48页瞬时速度我们用我们用 表示表示 “当当t=2,tt=2,t趋近于趋近于0 0时时,平均速度趋于平均速度趋于确定值确定值-13.1”.-13.1”.那么那么,运动员在某一时刻运动员在某一时刻t t0 0的瞬时速度的瞬时速度?局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。第21页/共48页导数的定义:从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:第22页/共48页问题:求函数求函数y=3x2在在x=1处的导数处的导数.分析：先求分析：先求f=y=f(x)-f()=6x+3(x)2 再求再求再求再求第23页/共48页应用：例1 物体作自由落体运动,运动方程为：其中位 移单位是m,时间单位是s,g=10m/s2.求：(1)物体在时间区间2,2.1上的平均速度；(2)物体在时间区间2,2.01上的平均速度；(3)物体在t=2(s)时的瞬时速度.分析:第24页/共48页解:(1)将 t=0.1代入上式，得:(2)将 t=0.01代入上式，得:第25页/共48页应用：例例2 将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热。如果第同产品，需要对原油进行冷却和加热。如果第 x(h)时，原油的温度（单位：时，原油的温度（单位：0C）为）为 f(x)=x2-7x+15(0 x8).计算第计算第2（h)和第和第6（h）时，原由温度的瞬时变化率，并说明它）时，原由温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。们的意义。关键是求出：它说明在第2（h)附近，原油温度大约以3 0C/h的速度下降；在第6（h)附近，原油温度大约以5 0C/H的速度上升。第26页/共48页应用：例例3 3质量为质量为kgkg的物体，按照的物体，按照s(t)=3ts(t)=3t2 2+t+4+t+4的规律做直线运动，的规律做直线运动，（）求运动开始后（）求运动开始后s s时物体的瞬时速度；时物体的瞬时速度；（）求运动开始后（）求运动开始后s s时物体的动能。时物体的动能。第27页/共48页小结：1 1求物体运动的瞬时速度：求物体运动的瞬时速度：（1 1）求位移增量）求位移增量s=s(t+t)-s(t)s=s(t+t)-s(t)(2)(2)求平均速度求平均速度（3 3）求极限）求极限1由导数的定义可得求导数的一般步骤：由导数的定义可得求导数的一般步骤：（1）求函数的增量）求函数的增量y=f(x0+t)-f(x0)(2)求平均变化率求平均变化率（3）求极限）求极限第28页/共48页练习：(1)求函数求函数y=在在x=1处的导数处的导数.(2)求函数求函数y=的导数的导数.第29页/共48页三、导数的几何意义三、导数的几何意义第30页/共48页回顾平均变化率函数y=f(x)y=f(x)的定义域为D,xD,x1.1.x x2 2D,f(x)D,f(x)从x x1 1到x x2 2平均变化率为:割线的斜率OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=xf(x2)-f(x1)=y第31页/共48页回顾以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:我们称它为函数y=f(x)y=f(x)在x=xx=x0 0处的导数，记作f f(x(x0 0)或y y|xx|xx0 0即第32页/共48页 由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本方法是:注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负.自变量的增量x的形式是多样的,但不论x选择 哪种形式,y也必须选择与之相对应的形式.回顾第33页/共48页应用：例例1 将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热。如果第同产品，需要对原油进行冷却和加热。如果第 x(h)时，原油的温度（单位：时，原油的温度（单位：0C）为）为 f(x)=x2-7x+15(0 x8).计算第计算第2（h)和第和第6（h）时，原由温度的瞬时变化率，并说明它）时，原由温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。们的意义。关键是求出：它说明在第2（h)附近，原油温度大约以3 0C/h的速度下降；在第6（h)附近，原油温度大约以5 0C/H的速度上升。第34页/共48页PQoxyy=f(x)割割线线切线切线T导数的几何意义:我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即x0时,割线PQ如果有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.第35页/共48页 设切线的倾斜角为,那么当x0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.即:这个概念:提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;切线斜率的本质函数在x=x0处的导数.要注意,曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在 此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.PQoxyy=f(x)割割线线切切线线T第36页/共48页例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.QPy=x2+1xy-111OjMDyDx因此,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:求出P点的坐标;利用切线斜率的定义求 出切线的斜率;利用点斜式求切线方程.第37页/共48页练习:如图已知曲线 ,求:(1)点P处的切线的斜率;(2)点P处的切线方程.yx-2-112-2-11234OP即点P处的切线的斜率等于4.(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.第38页/共48页第39页/共48页在不致发生混淆时，导函数也简称导数函数导函数由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当时,f(x0)是一个确定的数.那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.即:第40页/共48页如何求函数y=f(x)的导数?第41页/共48页看一个例子:第42页/共48页下面把前面知识小结:a.导数是从众多实际问题中抽象出来的具有相同的数 学表达式的一个重要概念，要从它的几何意义和物 理意义认识这一概念的实质，学会用事物在全过 程中的发展变化规律来确定它在某一时刻的状态。b.要切实掌握求导数的三个步骤：（1）求函数的增 量；（2）求平均变化率；（3）取极限，得导数。第43页/共48页（3）函数f(x)在点x0处的导数 就是导函数 在x=x0处的函数值，即 。这也是 求函数在点x0处的导数的方法之一。小结:（2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的,就是函数f(x)的导函数 。（1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改 变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个 常数，不是变数。c.弄清“函数f(x)在点x0处的导数”、“导函数”、“导数”之间的区别与联系。第44页/共48页（1）求出函数在点x0处的变化率 ，得到曲线 在点(x0,f(x0)的切线的斜率。（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即求切线方程的步骤：小结:无限逼近的极限思想是建立导数概念、用导数定义求 函数的导数的基本思想，丢掉极限思想就无法理解导 数概念。第45页/共48页第46页/共48页第47页/共48页感谢您的观看！第48页/共48页