数理方程与特殊函数钟尔杰非齐次方程求解.pptx

P.51例例6例例1.求定解问题求定解问题的形式解的形式解.其中其中,A 和和 B 均为常数均为常数.解解:令令u(x,t)=V(x,t)+W(x)utt=Vtt,uxx=Vxx+W”utt=a2uxx+A Vtt=a2Vxx+W”+A 取取 Vtt=a2Vxx 得常微分方程得常微分方程:a2W”+A =0第1页/共14页求常微分方程问题求常微分方程问题 令令 u=V+W 得得第2页/共14页思考题:分析分析:令令u(x,t)=V(x,t)+W(x)utt=Vtt,uxx=Vxx+W”utt=a2uxx C Vtt=a2Vxx+W”C取取 Vtt=a2Vxx 得常微分方程得常微分方程:a2W”=C第3页/共14页例例2令令 u(x，t)=v(x，t)+W(x)utt a2uxx=g vtt a2vxx+W”=g 边界边界:v(0,t)+W(0)=0,v(L,t)+W(L)=0初始初始:v(x，0)+W(x)=0,vt(x，0)=0取取W(x),满足满足 第4页/共14页得齐次方程得齐次方程第5页/共14页非齐次方程非齐次方程令令 u(x,t)=v+W,问题分解为问题分解为问题问题I和和问题问题II 问题问题I第6页/共14页问题问题II设问题设问题II的解可以按固有函数展开的解可以按固有函数展开其中其中,Xn(x)是满足齐次边界条件的固有函数是满足齐次边界条件的固有函数第7页/共14页将将 f(x,t)也展开为固有函数也展开为固有函数Xn(x)的级数的级数代入方程代入方程:Wtt a2Wxx=f(x,t)第8页/共14页由初始条件由初始条件：其中其中齐次常微分方程通解齐次常微分方程通解 非齐次方程特解非齐次方程特解(P.4P.5)第9页/共14页习题3.5第3题固有值问题:第10页/共14页固有值固有值固有函数固有函数将右端函数按固有函数展开将右端函数按固有函数展开对比两端固有函数系数对比两端固有函数系数,得得 fn(t)=0,n=2,3,第11页/共14页积化和差第12页/共14页思考题思考题1.非齐次波动方程的特解齐次化方法的求解方法与非齐次波动方程的特解齐次化方法的求解方法与求非齐次线性方程组的解方法有何不同？求非齐次线性方程组的解方法有何不同？2.特解齐次化方法中微分方程与原问题有何不同？特解齐次化方法中微分方程与原问题有何不同？3.固有函数展开法所针对的微分方程有何特点固有函数展开法所针对的微分方程有何特点？4.二阶线性常系数非齐次常微分方法的解是如何求二阶线性常系数非齐次常微分方法的解是如何求出的？出的？习题3.3.5:25:2，3 3 第13页/共14页感谢您的观看！第14页/共14页