AP第十五讲 平面向量的概念 线性运算及坐标运算.doc

高考数学一轮第十五讲 第 1 页共 13 页 第十五讲 平面向量的概念、线性运算及坐标表示考点解读【基础性考点知识突破基础性考点知识突破】一、向量的有关概念1定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)2向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，记作AB AB |AB 3特殊向量(1)零向量：长度为 0 的向量，其方向是任意的(2)单位向量：长度等于 1 个单位的向量(3)平行向量：方向相同或相反的非零向量平行向量又叫共线向量规定：0 与任一向量平行(4)相等向量：长度相等且方向相同的向量(5)相反向量：长度相等且方向相反的向量二、向量的线性运算和向量共线定理1向量的线性运算运算定义法则（或几何意义）运算律加法求两个向量和的运算a+b baa+bba三角形法则 平行四边形法则交换律abba结合律()abc =()abc减法求与的相ab反向量的b和的运算叫做与的差abbaa-b三角形法则() abab数乘求实数与向量的积的a运算(1)| |aa(2)当时，与的方向相同；0aa当时，与的方向相同；0aa()() aa()aaa()abab高考数学一轮第十五讲 第 2 页共 13 页 当时，00a2向量共线定理如果且，则；反之且，则一定存在唯一一个实数，ab0babab0b使ab推论：三点，共线，共线；ABCAB AC向量，中三终点，共线存在实数，使得PA PB PC ABCPAPB ，且PC 1三、平面向量的坐标运算1平面向量基本定理如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有1e2ea且仅有一对实数，使得我们把不共线的向量，叫做表示这个121 122aee1e2e平面内所有向量的一组基底2平面向量的坐标表示在平面直角坐标系内，分别取与轴、轴正方向相同的两个单位向量 ，作为基xyij底，对平面内任一向量，有且仅有一个实数对，使得，则实数对a( , )x yxyaij叫做向量的坐标，记作，其中，分别叫做在轴、轴上的坐标，( , )x ya( , )x yaxyaxy相等向量的坐标相同，坐标相同的向量是相等向量3平面向量的直角坐标运算已知点，则，11()A x y22(,)B xy2121(,)ABxx yy 22 2121|()()ABxxyy 已知，则=，11( ,)x ya22(,)xybab1212(,)xxyy11(,)xya，.ab12210x yx yab12120x xy y【培优性方法技巧综合培优性方法技巧综合】高考数学一轮第十五讲 第 3 页共 13 页 一、平面向量的概念1向量是区别于数量的一种量，既有大小，又有方向，任意两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小2向量共线与表示它们的有向线段共线不同：向量共线时表示向量的有向线段可以是平行的，不一定在同一条直线上，而有向线段共线则是指线段必须在同一条直线上相等向量一定是共线向量3由向量相等的定义可知，对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，它是可以任意平行移动的，因此用有向线段表示向量时，可以任意选取有向线段的起点，由此也可得到：任意一组平行向量都可以移到同一条直线上二、平面向量的线性运算1向量的三角形法则适用于任意两个向量的加法，并且可以推广到两个以上的非零向量相加，称为多边形法则一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量2，当且仅当至少有一个为 0 时，向量不等式的| | |ababab, a b等号成立3减法公式：，常用于向量式的化简ABACCB 4、三点共线，这是直线的向量式方程，APB(1)OPt OAtOB ()tR【提示】(1)向量表达式中的零向量写成 O，而不能写成 0(2)要注意三角形法则和平行四边形法则适用的条件，运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合，和向量与差向量分别是平行四边形的两条对角线所对应的向量；运用三角形法则时两个向量必须首尾相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件三、平面向量的基本定理平面向量的基本定理陈述了这样一个事实即：如果已知平面内两个不共线的非零向量，那么对于平面内任一向量都可找到唯一的实数对，把这一向量分解这与物理中力的分解有共同之处，我们可以通过类比的方法加以理解，另外要注意的是这两个基底不是唯一的，只要是平面内不共线的两个非零向量都可以【提示】高考数学一轮第十五讲 第 4 页共 13 页 (1)零向量不能作基底，两个非零向量共线时不能作基底，平面内任意两个不共线的向量都可以作基底，一旦选择了一组基底，则定向量沿基底的分解是唯一的(2)、是同一平面内的一组基底，如果有且只有一对实数，使1e2e12(,) 1 1ae，则、共面22ea1e2e四、平面向量的坐标表示1向量的坐标表示，实质是向量的代数表示，从而可使向量运算代数化，将数与形紧密结合起来，使问题得以简化2向量与它的坐标之间是一一对应的关系，即向量确定，则坐标唯一；坐标确定，则向量唯一，但表示向量的有向线段不唯一，这一点要特别注意3所有相等的向量坐标相同；坐标相同的向量是相等的向量【提示】向量的坐标表示向量的大小和方向，不表示向量的位置，这与用坐标表示的点不同，要注意区别，相等的向量的坐标虽然是相同的，但起点和终点的坐标可以不同五、平面向量线性运算的坐标表示1向量的坐标表示即向量的代数表示形式，它是向量进行代数运算的基础，它使向量同时具备了数与形两方面的特征，是进行代数运算、几何证明转换的工具2向量平行的充要条件中要记清两个向量坐标“交叉乘积的差”为零【提示】若，则的充要条件不能表示成，因为、11( ,)x ya22(,)xybab1122xy xy2x有可能等于 0，所以应表示为同时，若，则2y12210x yx y11( ,)x ya22(,)xybab的充要条件也不能错记为、等12120x xy y11220x yx y考点分类精讲考点考点 1 平面向量的概念平面向量的概念1与平面向量概念有关命题真假的判定2确定单位向量、共线向量、相等向量的个数【例 l】(1)给出下列六个命题：高考数学一轮第十五讲 第 5 页共 13 页 两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；若，则；| |abab若，则为平行四边形；ABDC ABCD在中，一定有；ABCDAABDC 若，则；mnnpmp若，则abbcac其中不正确的个数是A2 B3 C4 D5(2)设为单位向量，若为平面内的某个向量，则|；若与平行，0aaaa0aa0a则|；若与平行且|1，则上述命题中，假命题的个数aa0aa0aaa0a是A0 B1 C2 D3【解析】(1)两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点，故不正确. ，由于与的方向不确定，所以，不一定相| |ababab等，故不正确，可能有 A、B、C、D 在一条直线上的情况，所以不ABDC 正确零向量与任一向量平行，故，时，若，则与不一定平行，abbc0bac故不正确，正确的是故选 C(2)向量是既有大小又有方向的量，与|的模相同，但方向不一定相同，故是aa0a假命题；若与平行，则与的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向a0aa0a时|，故也是假命题综上所述，假命题的个数是 3aa0a点拨：两非零向量模相等是两向量相等的必要不充分条件，在解题过程中，要认真区分零向量、相等向量、平行向量等概念考点考点 2 平面向量的线性运算平面向量的线性运算1与平面向量线性运算及其性质有关的命题真假的判定2平面向量的线性运算3平面向量线性运算几何意义的应用【例 2】(1)设，分别为的三边，的中点，则DEFABCBCCAABEBFC 高考数学一轮第十五讲 第 6 页共 13 页 A B C DBC 1 2ADAD1 2BC (2)在梯形中，已知4，6，若ABCDADBCADBCCDmBAnBC (，R)，则mnm nA3 B C D31 31 3【解析】(1)如图，=EBFC ECCBFBBC 1()2ECFBACAB 122ADAD(2)如图，过作，DDEAB1 3CDmBAnBCCEEDBCBA 所以 ，1，所以3故选 An13mm n点拨：向量的线性运算的求解方法(1)进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解(2)除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解【例 3】(1)在平行四边形中，与交于点是线段的中点， ABCDACBDOE，ODAE的延长线与交于点若，则CDFAC aBD bAF A B C D11 42ab21 33ab11 24ab12 33ab(2)是平面上一定点，、是平面上不共线的三个点，动点满足OABCP，则的轨迹一定通过的()|ABACOPOAABAC 0,)PABC高考数学一轮第十五讲 第 7 页共 13 页 A外心 B内心 C重心 D垂心【解析】(1)如图，作交于，由于，可得，OGEFDCGDEEODFFGEOGFDCBA又由得，于是，AOOCFGGC1111()3322DFDCba那么=，故选 B11111()()22322AFADDF abba21 33ab(2)如图，易知，因为与是单位向量，()|ABACAPABAC |AB AB |AC AC POACB故点在的平分线上，所以点的轨迹通过的内心，选 BPBACPABC考点考点 3 平面向量的基本定理平面向量的基本定理1选用合适的基底，表示平面内的所有向量2平面内的任一向量在基底方向上的分解【例 4】(1)如图甲，点是其阴影部分内任意一点（其中） ，且POMAB，则应满足的条件是_OPxOAyOB , x yB'M'OPBAMABCDEM图甲 图乙(2)如图乙，若点是所在平面内的一点，且满足，则MABC31 44AMABAC 与的面积之比等于ABMABCA B C D3 41 41 31 2高考数学一轮第十五讲 第 8 页共 13 页 【解析】(1)设，由图可知，OPmOBnAB OPOBOM ，且，OBmOB OMnAB 01m0n又而与不共()OPmOBn OBOA ()mn OB nOA xOAyOB OA OB 线，即0xn ymnmxy故应填：且0x01xy(2)由，知、三点共线，所以点在直线上，31 44AMABAC BCMMBC设，则四边形 AEMD 为平行四边形，3|4AEAB1|4ADAC于是，于是点到直线的距离是点到直线距离的，1|4BMBCMABCAB1 4故与的面积之比等于故选 BABMABC1 4点拨：用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功，除利用向量的加减法、数乘运算外，还应充分利用平面几何的一些定理，因此在求向量时要尽可能转化到平衍四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相连的向量，运用向量加减法运算及数乘运算来求解，即充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系，运用加法三角形法则、平行四边形法则、减法三角形法则、三角形中位线定理、相似三角形的对应边成比例等平面几何的性质，把已知向量转化为与未知向量有直接关系的向量来求解利用平面向量的基本定理，可以把向量进行合成与分解，利用它可以解决某些问题，这正是近两年高考的热点问题【例 5】如图，是内一点，且满足条件，设为的延PABC230APBPCP QCP长线与的交点，令，试用表示ABCP ppCQ QCPBA【解析】，,APAQQP BPBQQP ()2()30AQQPBQQPCP ,又、三点共线，、三点共线，3230AQQPBQCP ABQCPQ高考数学一轮第十五讲 第 9 页共 13 页 所以，AQBQ CPQP 3230BQQPBQQP 而为不共线向量，(2)(33 )0BQQP ,BQ QP ，20 330 2 1 CPQPPQ 故22CQCPPQCP p点拨：这里选取两不共线向量作基底，运用化归思想，最终变成,BQ QP 的形式求解或转化同一向量关于基底的不同表示，由平面向量的基本定理将120xyee向量问题转化为方程组的问题，其中把题中向量用基底表示是关键考点考点 4 平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示1平面向量的加法、减法、数乘的坐标运算2共线向量的坐标表示【例 6】已知，且，求、( 2,4)A (3, 1)B( 3, 4)C 3CMCA 2CNCB M的坐标和NMN 【解析】由、的坐标可求出、的坐标ABCCA CB ，( 2,4)A (3, 1)B( 3, 4)C (1,8)CA (6,3)CB ，33(1,8)(3,24)CMCA 22(6,3)(12,6)CNCB 设，则( , )M x y(3,4)CMxy ，得，33 424x y 0 20x y (0,20)M同理可得(9,2)N(90,220)(9, 18)MN 【例 7】已知，则的最小值为_(1, ) ta( , 6)tb|2|ab【解析】由条件得，所以2(2,26)btta|2|ab22(2)(26)tt，当时，的最小值为25(2)20t 2t |2|ab2 5点拨：解决平面向量坐标运算的关键是熟练掌握坐标运算的法则，并注意平面向量运算的几何意义利用向量的坐标运算解题，主要就是根据相等的向量坐标相同这一原则，高考数学一轮第十五讲 第 10 页共 13 页 通过列方程（组）进行求解；在将向量用坐标表示时，要看准向量的起点和终点坐标，也就是要注意向量的方向，不要写错坐标考点考点 5 平面向量的综合问题平面向量的综合问题1利用平面向量的共线定理判定点共线或直线平行等2平面向量与平面几何的综合问题3平面向量与解析几何、函数、三角函数的综合问题【例 8】(1)已知向量，若，则锐角_.(1 sin ,1)a1( ,1 sin )2bab(2)已知向量，若 A，B，C 三点能(1, 3)OA (2, 1)OB (1,2)OCkk构成三角形，则实数应满足的条件是_. k【解析】(1)由，得=，所以，ab(1 sin )(1 sin )1 221cos2所以或，又为锐角，所以2cos22 24(2)若点 A，B，C 能构成三角形，则向量，不共线AB AC因为，AB OB OA (2, 1)(1, 3)(1,2)，ACOCOA (1,2)(1, 3)( ,1)kkk k所以，解得1 (1)20kk1k 【例 9】已知，均为单位向量，且·0.若|4|3|5，则|的取ababcacbca值范围是A B C D3, 10)3,53,4 10,5【解析】，均为单位向量，且·0，abab设(1,0)，(0,1)，abc( , )x y代入|4|3|5，得cacb2222(4)(3)5xyxy即到 A(4,0)和 B(0,3)的距离和为 5( , )x y的终点轨迹是点(4,0)和(0,3)之间的线段，c又|，表示到线段上点的距离，ca22(1)xy( 1,0)M AB高考数学一轮第十五讲 第 11 页共 13 页 最小值是点(1,0)到直线的距离，34120xy|min3.ca| 3 12| 5 又最大值为，| 5MA |的取值范围是故选 B.ca3,5【例 10】在中，角，的对边分别为，且满足ABCABCabc. ( 2)ac BA BCcCB CA (1)求角的大小；B(2)若，求面积的最大值|6BABC ABC【解析】(1)由题意得.( 2)coscosacBbC根据正弦定理得，( 2sinsin)cossincosACBBC所以，2sincossin()ABCB即，因为，所以，2sincossinABAA(0, )sin0A 所以，又，所以2cos2B B(0, )B4(2)因为，所以，|6BABC |6CA 即，根据余弦定理及基本不等式得6b (当且仅当时取等号)226222(22)acacacacacac即，3(22)ac故的面积，ABC13( 21)sin22SacB即的面积的最大值为ABC3( 21) 2【例 11】的外接圆的圆心为，两条边上的高的交点为，ABCOH，则实数= ()OHm OAOBOC m高考数学一轮第十五讲 第 12 页共 13 页 【解析】解法一：如图所示，连接，并延长交圆于点，连接，BOODCHCDAD则，90BCDBAD CDBCADAB又为的垂心HABCAHBCCHAB，CDAHADHC四边形 AHCD 为平行四边形AHDCOCOD为的中点，OBDOBOD OHOAAHOAOCODOAOBOC 故填 11m 解法二：，OHOAAH (1)()AHmOAm OBOC 又，AHBC22(1)()0AH BCmOA BCm OCOB 又为外心，而不一定为 0，OABC| |OCOB OA BC ，即10m 1m 点拨：由本例可知，平面向量与平面几何有着千丝万缕的联系，并且解决平面向量与平面几何的综合问题需要较强应变能力，这类试题能有效地检测考生的能力，因而这类问题成了高考的新热点问题解决这类问题的关键是准确把握平面向量和平面几何的各自特征，取长补短，充分发挥各自功效另外，运用向量知识考查三角形的“心”是常见题型常用结论有：高考数学一轮第十五讲 第 13 页共 13 页 (1)为的重心；1()3PGPAPBPC GABC(2)向量所在直线过的内心；()|ABAC ABAC (0)ABC(3)是的垂心PA PBPB PCPC PA PABC本专题试题训练详见试题精练