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高考数学一轮第一讲 第 1 页共 6 页 第一讲 集合的概念及运算考点解读【基础性考点知识突破基础性考点知识突破】一、集合的含义及表示方法1元素与集合的含义一般地，把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合构成集合的元素除了常见的数、式、点等数学对象之外，还可以是其他任何对象2集合中元素的性质集合中元素的特征：确定性、互异性和无序性(1)任何一个对象都能确定它是不是某一集合的元素，这是集合的最基本特征(2)集合中的任何两个元素都是不同的对象，即在同一集合里不能重复出现相同元素(3)在同一集合里，通常不考虑元素之间的顺序3集合的表示集合的表示有三种方法，分别是列举法、描述法和 Venn 图法一般地，表示有限集合常用列举法；表示无限集合常用描述法；描述抽象集合常用 Venn 图法正确认识一个集合的关键是理解集合中的元素特征4元素与集合的关系“属于”或“不属于” ，记为“”或“” 二、集合与集合之间的关系1集合与集合之间的关系(1)包含关系子集：如果集合中的任意一个元素都是集合的元素，那么集合叫做集合的ABAB子集，记作或，显然，.ABBAAAA(2)相等关系如果集合中的每一个元素都是集合中的元素，反过来，集合中的每一个元素也ABB都是集合中的元素，那么就说集合等于集合，记作=.AABAB对于两个集合与，如果，同时，那么集合与集合相等，记作ABABBAAB=AB高考数学一轮第一讲 第 2 页共 6 页 (3)真子集关系对于两个集合与，若，且，则集合是集合的真子集，记作ABABABAB或.显然有下面的结论：A BBA对于集合、，如果，则；ABCABBCAC对于集合、，如果，则ABCA BBCAC(4)不包含关系用表示2空集不含任何元素的集合叫做空集，记作空集是任何一个集合的子集，是任何一个非空集合的真子集3有限集的子集、真子集的个数关于有限集的子集个数有下列结论：若有限集合中有个元素，则集合的子集的AnA个数有个，即（个） ，非空子集的个数有（）个；真子集2n02CCC2nn nnn21n的个数有（）个；非空真子集的个数有（）个，21n22n三、集合的交、并、补集的运算1交集(1)定义：由所有属于集合且属于集合的元素组成的集合，叫做与的交集，ABAB记作，=|且.ABABx xAxB(2)性质：=；= (交换律)；AAAABBA=；(A)；(A)；A BABB若，则 A=ABBA2并集(1)定义：由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，叫做与的并集，ABAB记作，=|或.ABABx xAxB(2)性质：=；= (交换律)；AAAABBA=；()；()；AAAABBAB若，则=ABABB3补集高考数学一轮第一讲 第 3 页共 6 页 (1)定义：在研究某一集合问题的过程中，所有集合都是一个给定集合的子集，这个给定的集合就称为全集，记作设，由中所有不属于的元素组成的集合，叫UAUUA做集合在集合中的补集，记作，即=|且（如图） AUUAðUAðx xUxA(2)性质：()=；()=，()=，=, =AUAðUAUAðUðUAðAUðUUUð4集合运算中常用的结论(1)()=()()，()=()()UðABUAðUBðUðABUAðUBð(2)=；=.ABABAABABB【培优性方法技巧综合培优性方法技巧综合】1在处理有关集合的问题时首先确定集合中的元素是点集还是数集，然后明确集合中的元素所满足的条件，理解并正确掌握集合的相关术语及符号表示是解决集合问题的关键2判断两集合间的关系化简集合，从表达式中寻求两集合间的关系；用列举法表示两集合，从元素中寻求关系3根据两集合的关系求参数的方法若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程（组）求解，此时注意集合中元素的互异性；若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式（组）求解，此时需注意端点值能否取到【提示】题目中若有条件，则应分和两种情况进行讨论BAB B 已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常运用数轴、Venn 图帮助分析两集合之间的关系与运算可以相互转化，即ABABBABB4应当考虑空集的几种情况：在，都应当ABA BABAABB高考数学一轮第一讲 第 4 页共 6 页 考虑到时的情况 A5要注意表示集合的语言、文字、符号、图形的沟通与转化，对于某些集合运算的问题，文字描述较为抽象，可借助于 Venn 图及坐标轴，利用几何图形的直观性，以“形”助“数” 同时加强与其他章节的渗透，在复习中要控制难度考点分类精讲考点考点 1 集合的概念集合的概念1集合概念的准确理解2集合的表示方法的准确把握与灵活运用3集合中元素的性质的灵活运用【例 1】集合，若，则的值为0,2, Aa21,Ba0,1,2,4,16AB aA0 B1 C2 D4点拨：解决集合的有关问题，首先要明确集合元素的构成形式；其次要注意集合元素性质（即元素的三性：确定性、互异性、无序性）的灵活运用，它既是解决有些题的切入点，也是问题解决之前的检验点【例 2】若集合中只有一个元素，则( )2|320AxR axxaA B C0 D0 或9 29 89 8点拨：由于方程的不定性导致求解过程用了分类讨论思想考点考点 2 集合之间的关系集合之间的关系1集合间的相等、子集、真子集关系的确定2已知集合的包含关系，确定有关参数的取值范围3求有关集合的子集的个数【例 3】已知集合，1 |,6Ax xaaZ1 |,23bBx xbZ |2cCx x，则，之间的关系1,6cZABCA= B= C D=ABCA BCA BCBCA点拨：辨析集合之间的关系应该从集合中元素的特点入手，可将元素列举出来直观分析，也可从描述法中认识集合中元素具备的特性，定性分析，以上两种思想是解决此类问题的通法，应根据问题的具体情况合理选择高考数学一轮第一讲 第 5 页共 6 页 【例 4】集合，包含的的子集共有( ). , , , , Sa b c d e , a bSA2 个 B3 个 C5 个 D8 个点拨：解决集合的子集的个数的问题，应注意利用排列组合知识，特别是两个基本计数原理来分析解决问题考点考点 3 3 集合的运算集合的运算1进行具体集合的交、并、补运算2利用集合的运算性质解决问题3与集合运算有关的开放性问题【例 5】已知集合，若，求实 |2|Axxa2 |540Bx xx AB 数的取值范围a点拨：解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式（或方程）时，要对参数进行分类讨论，分类时要遵循“不重不漏”的分类原则，然后对于每一类情况都要给出问题的解答【例 6】设全集，已知集合，IR2 |(3)0Mxx2 |60Nx xx(1)求；()IMNð(2)记集合，已知集合，若A()IMNð |15,Bx axa aR，求实数的取值范围BAAa点拨：时，的情况BAAB 考点考点 4 4 集合的综合运用集合的综合运用1集合运算的逆向问题2集合与函数、方程、不等式的综合问题3集合的开放问题与实际应用问题【例 7】已知，是两 |(1,0)(0,1),PmmRa a |(1,1)( 1,1),QnnRb b个向量集合，则PQ IA B C D(1,1)( 1,1)(1,0)(0,1)点拨：解答集合的运算类试题必须彻底弄清楚参与运算的集合的意义，即参与运算的集合是由哪些元素组成的，不然就会得出错误的答案，本题这样设计还不至于有多大问题，如果本题中集合改为，就可能出现得到的方程组是Q |(1,1)( 1,1),QmmRb b高考数学一轮第一讲 第 6 页共 6 页 ，而这个方程组无解，就可能认为，这就是没有理解集合的意义所11 1m mm PQ 致，实际上本题中的集合，都可以看做坐标平面上的点集，集合 P 是直线上的PQ1x 点的集合，集合是直线上的点的集合，所求的交集就是这两条直线的交点坐Q2xy标【例 8】某试验班有 21 个学生参加数学竞赛，17 个学生参加物理竞赛，10 个学生参加化学竞赛，他们之间既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有 12 人，既参加数学竞赛又参加化学竞赛的有 6 人，既参加物理竞赛又参加化学竞赛的有 5 人，三科都参加的有 2人现在参加竞赛的学生都要到外地学习参观，问需要预订多少张火车票？点拨：解决有些集合问题，若充分利用 Venn 图，可以使有些问题得到快速地解决【例 9】定义集合运算:设，则集,A Bz zxy xA yB 1,2A 0,2B 合的所有元素之和为A BA0 B2 C3 D6点拨：本题是属于创新型的概念理解题，准确地理解是解决本题的关键所在，A B并且又考查了集合元素的互异性，因此要准确理解集合含义，明确题目所要解决的问题，才能使问题得以解决，从而培养学生分析问题、解决问题的能力本专题试题训练详见试题精练
