高中数学经典错题深度剖析及针对训练-导数的应用.pdf

【标题 01】没有理解“0()0fx是0 xx是极值点的必要非充分条件”【习题 01】 3221f xxaxbxax在处有极小值10，则ab.【经典错解】由题得2( )32fxxaxb，所以2(1)320(1)110fabfaba .所以33ab 或411ab ，所以0ab或7ab .【详细正解】由题得2( )32fxxaxb，所以2(1)320(1)110fabfaba .所以33ab 或411ab .当33ab 时，22( )3633(1)0fxxxx，所以函数( )f x是增函数，与题意不相符，所以舍去. 经检验，411ab 时，满足题意. 所以7ab .【习题 01 针对训练】已知函数3( )()f xx xm在2x 处取得极小值，则常数m的值为（）A2B8C2 或 8D以上答案都不对【标题 02】求函数的单调性时忽略了函数的定义域的研究【习题 02】已知函数ln( )1xf xx，试判断函数( )f x的单调性.【经典错解】由已知得21ln( )xfxx令( )0fx，得xe因为当xe时，( )0fx；当xe时，( )0fx所以函数( )f x在(, ) e上单调递增，在 ,)e 上单调递减【详细正解】 ）函数( )f x的定义域是(0,)由已知21ln( )xfxx令( )0fx，得xe因为当0 xe时，( )0fx；当xe时，( )0fx所以函数( )f x在(0, e上单调递增，在 ,)e 上单调递减【习题 02 针对训练】已知函数Raxxaxf, 1ln)(求)(xf的单调区间.【标题 03】导函数及其单调性的关系理解不到位【习题 03】 设函数6531)(23xaxxxf在区间1.3上是单调减函数， 则实数a的取值范围是 （）A5,B3,C, 3 D5,5【经典错解】根据题意2( )250fxxax在区间1,3上恒成立，所以2( )25fxxax的最大值小于零，因为函数开口向上，故最大值在区间端点处取得，所以， 10,30ff，解得3a ,所以选择C.【详细正解】根据题意2( )250fxxax在区间1,3上恒成立，所以2( )25fxxax的最大值小于或等于零，因为函数开口向上，故最大值在区间端点处取得，所以， 10,30ff，解得3a ,所以选择B.【深度剖析】 （1）经典错解错在导函数及其单调性的关系理解不到位.（2）函数单调递减时，相应的导数值应该小于或等于零（等于零的点为有限个孤立点） ，不能写成导数小于零.错解漏掉了等号.【习题 03 针对训练】已知函数2( )ln,af xxaRx（1）若函数( )f x在2,)上是增函数，求实数a的取值范围；（2）若函数( )f x在1, e上的最小值为3，求实数a的值【标题 04】解题不规范没有严格按照教材的要求求函数的极值【习题 04】设函数3( )125,f xxxxR.（1）求)(xf的单调区间和极值；（2）若关于x的方程axf)(有3个不同实根，求实数a的取值范围.【经典错解】 （1）2( )3123(2)(2)fxxxx令( )0fx 得：122,2xx 所以( )f x的增区间是(, 2) 和(2,)，减区间是( 2,2)；当2x 时，( )f x取得极大值，极大值( 2)21f ；当2x 时，( )f x取得极小值，极小值(2)11f .（2）由（1）得，作出函数( )f x的草图如图所示：数形结合得实数a的取值范围是( 11,21).【详细正解】 （1）2( )3123(2)(2)fxxxx令( )0fx 得：122,2xx 当x变化时，( ),( )fxf x的变化情况如下表：x(, 2) 2( 2,2)2(2,)( )fx00( )f x增极大减极小增所以( )f x的增区间是(, 2) 和(2,)，减区间是( 2,2)；当2x 时，( )f x取得极大值，极大值( 2)21f ；当2x 时，( )f x取得极小值，极小值(2)11f .（2）由（1）得，作出函数( )f x的草图如图所示：所以，实数a的取值范围是( 11,21).【习题 04 针对训练】已知函数axaxxf(ln)(R）.（1）若曲线)(xfy 在点)1 (, 1 (f处的切线与直线01 yx平行，求a的值；（2）在（1）条件下，求函数)(xf的单调区间和极值； （3）当1a，且1x时，证明：. 1)(xf【标题 05】对于函数的图像分析不透彻推理不严谨碰巧做对了【习题 05】已知函数.ln)(,2)23ln()(xxgxxxf（1）求函数( )f x的单调区间； （2）如果关于x的方程mxxg21)(有实数根，求实数m的取值集合；（3）是否存在正数k，使得关于x的方程)()(xkgxf有两个不相等的实数根？如果存在，求k满足的条件；如果不存在，说明理由.【经典错解】 （1）函数)(xf的定义域是)., 0()0 ,23(对)(xf求导得)23()3)(1(2231)(22xxxxxxxf由31230)(xxxf或，得，由. 30010)(xxxf或，得因此)3) 1,23(，和（是函数)(xf的增区间；( 1,0)和(0,3)是函数)(xf的减区间.（2）因为.21ln21ln21)(xxmmxxmxxg所以实数m的取值范围就是函数xxx21ln)(的值域对.211)()(xxx求导得令0)(20; 0)(220)(xxxxxx时，当时，并且当，得当2x 时)(x取得最大值，且. 12ln)2()(maxx因此函数xxx21ln)(的值域是 12ln,(,即实数m的取值范围是 12ln,(.（3）结论：这样的正数k不存在. 下面采用 反证法来证明：假设存在正数k，使得关于x的方程)()(xkgxf有两个不相等的实数根21xx 和，则.ln2)23ln(,ln2)23ln()()()()(2221112211xkxxxkxxxkgxfxkgxf根据对数函数定义域知21xx 和都是正数.又由（1）可知，当0 x 时，032)233ln()3(f)x(fmin)(1xf=0 x3)23xln(11，)x( f2=0 x3)23xln(22，再由 k0，可得. 1, 10ln)(, 0ln)(212211xxxxgxxg由于所以,21xx 不妨设211xx ，由和可得222111ln2)23ln(ln2)23ln(xxxxxx利用比例性质得22221111lnln2)23ln(lnln2)23ln(xxxxxxxx即.(*)ln2)231ln(ln2)231ln(222111xxxxxx由于), 1 (ln是区间x上的恒正增函数，且. 1lnln,12121xxxx又), 1 (2)231ln(是区间xx上的恒正减函数，且.121xx . 12)231ln(2)231ln(2211xxxx222111221121ln2)231ln(ln2)231ln(2)231ln(2)231ln(lnlnxxxxxxxxxxxx，这与（*）式矛盾.因此满足条件的正数k不存在 .【详细正解】 （1）同上（2）因为.21ln21ln21)(xxmmxxmxxg所以实数m的取值范围就是函数xxx21ln)(的值域.对.211)()(xxx求导得令0)(20; 0)(220)(xxxxxx时，当时，并且当，得当2x 时)(x取得最大值，且. 12ln)2()(maxx又当x无限趋近于0时，xln无限趋近于x21,无限趋近于0，进而有xxx21ln)(无限趋近于.因此函数xxx21ln)(的值域是 12ln,(,即实数m的取值范围是 12ln,(（3）同上.【习题 05 针对训练】已知函数( ), ( )ln()xf xeg xxm.直线: l ykxb经过点( 10)P ，且与曲线( )yf x相切.（1）求切线l的方程;（2）若关于x的不等式( )kxbg x恒成立，求实数m的最大值.（3）设( )( )( )F xf xg x，若函数( )F x有唯一的零点0 x，求证0112-x .【标题 06】求函数的极值时忽略了函数的定义域【习题 06】已知函数2( )2lnf xxax来源:学科网（1）若4a ，求函数( )f x的极小值；（2）设函数23( )12g xxa x ，试问：在定义域内是否存在三个不同的自变量(1,2,3)ix i 使得 iif xg x的值相等，若存在，请求出a的范围，若不存在，请说明理由？【经典错解】（1）由已知得244(1)( )4xfxxxx，令( )011fxxx 或则当11x 时( )0fx，( )f x在( 1,1)上是减函数，当1x 时或1x 时( )0fx，( )f x在(, 1) ，(1,)上是增函数，故函数( )f x的极小值为(1)2f（2）若存在，设 (1,2,3)iif xg xm i，则对于某一实数m方程( )( )0f xg xm在(0,)上有三个不等的实根，设223( )( )( )2ln(1)2F xf xg xmxaxxa xm，则函数( )( )0f xg xm的图象与x轴有三个不同交点，即2(1)( )431axa xaF xxxaxx 在(0,)有两个不同的零点显然2(1)(1)()( )xa xaxxaF xxx在(0,)上至多只有一个零点.则函数( )( )( )F xf xg xm的图象与x轴至多有两个不同交点，则这样的不存在.【详细正解】（1）定义域为(0,)，由已知得244(1)( )4xfxxxx，则当01x时( )0fx，( )f x在(0,1)上是减函数，当1x 时( )0fx，( )f x在(1,)上是增函数，故函数( )f x的极小值为(1)2f（2）若存在，设 (1,2,3)iif xg xm i，则对于某一实数m方程( )( )0f xg xm在(0,)上有三个不等的实根，设223( )( )( )2ln(1)2F xf xg xmxaxxa xm，则函数( )( )( )F xf xg xm的图象与x轴有三个不同交点，即2(1)( )431axa xaF xxxaxx 在(0,)有两个不同的零点显然2(1)(1)()( )xa xaxxaF xxx在(0,)上至多只有一个零点.则函数( )( )( )F xf xg xm的图象与x轴至多有两个不同交点，则这样的不存在.【习题 06 针对训练】 设2( )(5)6lnf xa xx， 其中aR， 曲线( )yf x在点(1,(1)f处的切线与y轴相交于点(0,6)(1)确定a的值；(2)求函数( )f x的单调区间与极值【标题 07】审题错误把单调函数理解为单调增函数【习题 07】已知0a ，且函数2( )(2)xf xxax e在 1,1上是单调函数，求a的取值范围【经典错解】22( )e (2)e (22 )e 2(1)2 xxxfxxaxxaxa xa又( )f x在 1,1上是单调函数，( )0fx在 1,1上恒成立.即2e 2(1)2 0 xxa xa在 1,1上恒成立 0 xe ，2( )2(1)20g xxa xa在 1,1上恒成立即0) 1(12)1 (2ga或24(1)80aa 或. 0) 1 (12)1 (2ga解得：a故( )f x在 1,1上不可能为单调函数【详细正解】22( )e (2)e (22 )e 2(1)2 xxxfxxaxxaxa xa( )f x在 1,1上是单调函数(1)若( )f x在 1,1上是单调递增函数则( )0fx在 1,1上恒成立，即2e 2(1)2 0 xxa xa在 1,1上恒成立0 xe 2( )2(1)20g xxa xa在 1,1上恒成立，则有11( 1)0ag 或24(1)80aa 或11(1)0ag 解得，a(2)若( )f x在 1,1上是单调递减函数，则( )0fx在 1,1上恒成立2e 2(1)2 0 xxa xa在 1,1上恒成立0 xe 2( )2(1)20h xxa xa在 1,1上恒成立则有.43043010) 1 (0) 1(aahh当3 ,)4a时，( )f x在 1,1上是单调函数【习题 07 针对训练】已知函数2( )()xf xxa e（1）若函数( )f x在R上不是单调函数，求实数a的取值范围；（2）当1 a时，讨论函数( )( )4(1)xg xfxxex x的零点个数【标题 08】对“任意”和“存在”问题的区别没有理解到位【习题 08】已知函数( )lnf xaxx（aR）（1）求( )f x的单调区间；（2）设2( )22g xxx，若对任意1(0,)x ，均存在20,1x ，使得12()()f xg x，求实数a的取值范围【经典错解】 （1）1( )(0)fxaxx当0a 时，由于(0,)x，( )0fx，所以函数( )f x的单调增区间为(0,)，当0a 时，令( )0fx，得1xa 来源:学科网 ZXXK当x变化时，( )fx与( )f x变化情况如下表：x1(0,)a1a1(,)a( )fx0( )f x单调递增极大值单调递减所以函数( )f x的单调增区间为1(0,)a，函数( )f x的单调减区间为1(,)a（2）由已知，转化为max( )( )minf xg x接下来，求函数max( )f x和( )ming x.【详细正解】 （1）同上.（2）由已知，转化为maxmax( )( )f xg x因为22( )22(1)1g xxxx，0,1x，所以max( )g x=2由（）知，当0a 时，( )f x在(0,)上单调递增，值域为R，故不符合题意（或者举出反例：存在33()32f eae，故不符合题意 ）当0a 时，( )f x在1(0,)a上单调递增，在1(,)a上单调递减，故( )f x的极大值即为最大值，11()1ln()1 ln()faaa ，所以21 ln()a ，解得31ae 若存在1,xM存在2,xN使得12()()f xg x，等价于minmax( )( )f xg x；若存在1,xM任意2,xN使得12()()f xg x，等价于minmin( )( )f xg x.对于这 4 个关于“任意”和“存在”的命题，大家要理解透彻，不要死记硬背.【习题 08 针对训练】已知函数( )2xf xex，2( )g xxm（mR）（1） 对于函数( )yf x中的任意实数 x， 在( )yg x上总存在实数0 x， 使得0()( )g xf x成立， 求实数m的取值范围；（2）设函数( )( )( )h xaf xg x，当a在区间1,2内变化时，（1）求函数( )yh x0,ln2x的取值范围；（2）若函数( )yh x0,3x有零点，求实数m的最大值.【标题 09】对命题( )( )f xg x恒成立错误理解为minmax( )( )f xg x【习题 09】已知2( )ln , ( )3f xxx g xxax .（1）求函数( )f x在 ,1 (0)t tt上的最小值；（2）对一切(0,),2 ( )( )xf xg x恒成立，求实数a的取值范围；（3）证明：对一切(0,)x，都有12lnxxeex成立.【经典错解】 （1）( )ln1fxx.当1(0, ),( )0,( )xfxf xe单调递减，当1( ,),( )0,( )xfxf xe单调递增.101tte ，即10te 时，min11( )( )f xfee ；11tte ，即1te时，( )f x在 ,1t t 上单调递增，min( )( )lnf xf ttt所以min11,0.( )1ln ,teef xtt te .（2）对一切(0,),2 ( )( )xf xg x恒成立，等价于minmax(0,),2 ( )( )xf xg x，接下来求minmax2 ( ), ( )f xg x，再解答.（3）问题等价于证明2ln(0,)xxxxxee，由（1）可知( )ln (0,)f xxx x的最小值是1e，当且仅当1xe时取到设2( )(0,)xxm xxee，则1( )xxm xe，易知max1( )(1)m xme ，当且仅当1x 时取到，从而对一切(0,)x，都有12lnxxeex成立.【详细正解】 （1）( )ln1fxx.当1(0, ),( )0,( )xfxf xe单调递减，当1( ,),( )0,( )xfxf xe单调递增101tte ，即10te 时，min11( )( )f xfee ；11tte ，即1te时，( )f x在 ,1t t 上单调递增，min( )( )lnf xf ttt所以min11,0.( )1ln ,teef xtt te .（2）22 ln3xxxax ，则32lnaxxx，设3( )2ln(0)h xxxxx，则2(3)(1)( )xxh xx，(0,1),( )0, ( )xh xh x单调递减，(1,),( )0, ( )xh xh x单调递增，所以min( )(1)4h xh，对一切(0,),2 ( )( )xf xg x恒成立，所以min( )4ah x.（3）同上.来源:Zxxk.Com【习题 09 针对训练】已知函数xaxxfln21)(2，xaxg) 1()(（1）若直线)(xgy 恰好为曲线)(xfy 的切线时，求实数a的值；（2）当ex1， e时（其中无理数71828. 2e） ，)()(xgxf恒成立，试确定实数a的取值范围【标题 10】函数在区间（-1,1）上为减函数和减区间为（-1，1）没有区分清楚【习题 10】已知函数3( )1f xxax的单调减区间为( 1,1)，求a的取值范围.【经典错解】22( )330-1,1fxxaxa由题得在（）上恒成立所以23-1,13axa在（）上恒成立所以a的取值范围为3,).【详细正解】222( )3303033aafxxaxaxaax令由题得所以133aa所以a的取值范围为3a .所以23-1,13axa在（）上恒成立所以a的取值范围为3,).【习题 10 针对训练】已知函数xxaxxfln)(，aR.（）若( )f x在1x 处取得极值，求a的值；（）若)(xf在区间)2 , 1 (上单调递增, 求a的取值范围；（）讨论函数xxfxg)()(的零点个数.高中数学经典错题深度剖析及针对训练第 25 讲：导数的应用参考答案【习题 01 针对训练答案】B【习题 01 针对训练解析】 32234fxxmx xmxmxm,由题意可知 2 2280fmm,解得2m或8m 当2m时,在2x 两侧 fx均为正,此时2x 不是函数 f x的极值点,故舍,所以8m ,故选B【习题 02 针对训练答案】当0a 时，( )f x减区间为(0,)；当0a 时，( )f x递增区间为0,a，递减区间为, a .【习题 03 针对训练答案】 （1）(,1； （2）ae.【习题 03 针对训练解析】 （1）2( )lnaf xxx，212( )afxxx( )f x在2,)上是增函数212( )afxxx0 在2,)上恒成立，即a2x在2,)上恒成立令( )2xg x ，则amin( ),2,)g xx( )2xg x 在2,)上是增函数，min( )(2)1g xg1a 所以实数a的取值范围为(,1（2）由（1）得22( )xafxx，1, xe【习题 04 针对训练答案】(1)0a ；(2)详见解析； （3）证明见解析.【习题 04 针对训练解析】 （1）函数( ) |0,f xx x 的定义域为所 以21ln( ).xafxx又 曲 线( )(1,(1)yf xf在点处 的 切 线 与 直 线10 xy 平 行 ， 所 以(1)11,0.faa 即（2）令( )0,fxxe得当 x 变化时，( ),( )fxf x的变化情况如下表：由表可知：( )f x的单调递增区间是(0,)e，单调递减区间是(,)e x(0, ) ee( ,)e ( )fx+0( )f x极大值所以( )f xxe在处取得极大值，ln( )().ef xf ee极大值（3）当ln11,( ).xaf xx时由于ln11,( )1,xxf xx要证只需证明ln1.xx 令11( )ln1,( )1.xh xxxh xxx 则因为1x，所以, 1)(, 0)( 在故xhxh上单调递增，当, 0) 1 ()(,1hxhx时即xx1ln成立.故当1x时，有. 1)(, 11lnxfxx即因此要使不等式成立，则(1)20hmm，所以m的最大值是2.（3）由题设条件知，函数211( )(),( )0()xxF xexm Fxexmxm ，则0(,)xm x 时，0( )0,(,)F xxx时，( )0F x所以函数( )F x有唯一的极小值，也是最小值.当xm时，( ),F x 当x 时，( ),F x 所以函数( )F x有唯一零点的充要条件是其最小值为0.即0()0F x，故00ln()0 xexm，由于001xexm，所以000 xex设( ),( )10 xxH xex H xe ，又因为12111()0,( 1)1022HeHe 由零点存在性定理知0112x .当02x或3x 时，( )0fx，故( )f x在(0,2)，(3,)上为增函数;当23x时，( )0fx，故( )f x在(2,3)上为减函数由此可知( )f x在2x 处取得极大值9(2)6ln22f，在3x 处取得极小值(3)26ln3f【习题 07 针对训练答案】 （1）12 a； （2）只有一个零点来源:学科网【习题 07 针对训练解析】（1）2( )(2)xfxxxa e， 由题意知方程220 xxa有两个不同的实数解，=4+80所以a，解得12 a因此，实数a的取值范围是12 a（2）2( )(1)(1)xg xxex x，2( )(1) 1xg xex设2( )(1) 1(1)xh xexx，2( )(21)xh xexx，因为1x，所以( )0h x，故( )h x在(1,)上是增函数，又(1)10 h，2(2)310 he，因此在(1,2)内存在唯一的实数0 x，使得0()0h x，因为( )h x在(1,)上市增函数，所以在(1,)内存在唯一的实数0 x，使得0()0h x( )h x与( ) h x随x的变化情况如下表：x0(1,)x0 x0(,)x( )g x0( )g x极小值由上表可知，0()(1)10 g xg，又2(2)20ge，故( )g x的大致图象右图所示：所以函数( )g x在(1,)内只有一个零点【习题 08 针对训练答案】 （1）22ln2m； （2） （1）2, 1； （2）3221e 当ln2,3x时，因为20 xe ，1,2a，故( )h x的值在区间(2)2 ,2(2)2 xxexex上变化，此时，对于函数( )M x，存在0ln2,3x ，( )M x在0ln2,xx单调递减，在0,3xx单调递增，所以，( )h x在ln2,3x的最大值为3(3)(6)9ha em ，因为1,2a，3(3)(0)(7)90hha e，所以(3)(0)hh，故( )h x的最大值是3(3)(6)9ha em ，又因为1,2a，故当函数( )yh x有零点时，实数m的最大值是32(6)9me3221e.【习题 09 针对训练答案】 （1）21a； （2）实数a的取值范围是）， ) 1(222eee【习题 09 针对训练解析】 （1）设切点为)0(),000 xyxP（，由题意得：000) 1()(1)(xaxfaxf，即)2() 1(ln21) 1 (1002000 xaxaxaxax，所以不等式（4）可化为：xxxxaln212； 设xxxxxtln21)(2，ex1， e，222)ln()ln121)(1()ln()21)(11 ()ln)(1()(xxxxxxxxxxxxxxt当1 (x， e时，0ln121)(, 01xxx知由，所以0)( xt；当ex1，1）时，0ln121)(, 01xxx知由，所以0)( xt；所以)(xt在 1,1e上单调递减，在1，e上单调递增,所以)(),1(max)(etetxt最大值，又) 1(221)1(eeeet，) 1(22)(2eeeet，) 1)(1(21) 3()()1(23eeeeeeetet，又718. 2e，所以0323ee，来源:学科网 ZXXK所以，) 1(22)()(2eeeetxt最大值，所以，当ex1， e时，)()(xgxf恒成立时实数a的取值范围是）， ) 1(222eee【习题 10 针对训练答案】 （）2a； （）2a； （）当1a 时，函数 g x无零点，当1a 或0a 时，函数 g x有一个零点，当01a时，函数 g x有两个零点.