同济大学高等数学第六上册定积分的概念与性质.pptx

基本要求正确理解定积分的概念及其实际背景记住定积分的性质并能正确地运用掌握变上限定积分概念，微积分基本定理，并会用N-L公式计算定积分，能正确熟练地运用换元法和分部积分法正确理解两类广义积分概念，并会用定义 计算一些较简单的广义积分。计 算定积分第1页/共40页实例1 （求曲边梯形的面积）求面积问题由来已久，对于由直线所围成的平面图形的面积我们已经会求，下图所示的图形如何求面积将其置于直角坐标系下考察oxyabABmn问题归结为AmBbaA与AnBbaA的面积之差曲边梯形一、问题的提出第2页/共40页abxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积第3页/共40页abxyo（四个小矩形）abxyo（九个小矩形）显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系是越来越接近第4页/共40页曲边梯形如图所示第5页/共40页曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积为第6页/共40页实例2 （求变速直线运动的路程）思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值第7页/共40页部分路程值某时刻的速度（2）求和（3）取极限路程的精确值 （1）分割第8页/共40页问题 以上两个例子，一个是几何问题，求的是以曲线 y=f(x)为曲边，以 a,b 为底边的曲边梯形的面积。一个是物理问题，求的是速度函数为v(t)的变速直线运动的物体在时间区间 a,b 所走过的路程归纳 它们求的都是展布在某个区间上的总量（总面积或总路程）解决方法：通过局部取近似（求微分），求和取极限（微分的无限求和）的方法，把总量归结为 求一种特定和式的极限第9页/共40页 类似的例子还可以举出很多（几何、物理的，在下一章定积分应用中即可见到）这些问题虽然研究的对象不同，但解决问题的思路及形式都有共同之处。为了一般地解决这类问题，就有必要撇开它们的具体含义，而加以概括、抽象得出定积分的概念第10页/共40页定义 二、定积分的定义第11页/共40页记为被积函数被积表达式积分变量积分下限积分上限积分和注意：第12页/共40页定理1定理2三、存在定理第13页/共40页曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值 四、定积分的几何意义第14页/共40页 几何意义：第15页/共40页解例1 利用定义计算定积分第16页/共40页第17页/共40页例2 利用定义计算定积分解在 0,1上连续，故f(x)在0,1上可积为方便计，将 0,1n 等分，左侧取点等比数列第18页/共40页第19页/共40页证明利用对数的性质得极限运算与对数运算换序得第20页/共40页故第21页/共40页对定积分的补充规定:在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小说明定积分的性质一、基本内容第22页/共40页证（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质1第23页/共40页性质2证性质1+性质2 得：第24页/共40页推广：即线性组合的定积分等于定积分的线性组合说明定积分也具有线性运算性质第25页/共40页补充：不论 的相对位置如何,上式总成立.例 若则（定积分对于积分区间具有可加性）性质3第26页/共40页性质5（非负性）证 性质4第27页/共40页令于是性质5的推论：（比较定理）（1）（2）说明：可积性是显然的.解第28页/共40页证（此性质可用于估计积分值的大致范围）解性质6（估值定理）第29页/共40页第30页/共40页积分中值公式证由闭区间上连续函数的介值定理知性质7（定积分中值定理）第31页/共40页使即积分中值公式的几何解释：第32页/共40页解由积分中值定理知有使第33页/共40页例4 设 f(x),g(x)在 a,b 上连续，证明若在 a,b 上则在 a,b 上若在 a,b 上若在 a,b 上则在 a,b 上第34页/共40页证明反证法必有一点 不妨设 a x0 b （端点处的情况类似）由 f(x)的连续性由非负性第35页/共40页由积分中值定理与题设矛盾已知由比较定理则由得而假设第36页/共40页 已知由比较定理由得第37页/共40页定积分的性质（注意估值性质、积分中值定理的应用）典型问题（）估计积分值；（）不计算定积分比较积分大小思考题二、小结第38页/共40页例思考题解答第39页/共40页谢谢您的观看！第40页/共40页