线性方程组解判定.PPTx

一、线性方程组有解的判定条件问题：问题：证证必要性.(),nDnAnAR阶非零子式中应有一个则在设=(),根据克拉默定理个方程只有零解所对应的 nDn从而第1页/共34页这与原方程组有非零解相矛盾，().nAR 即充分性.(),nrAR=设.个自由未知量从而知其有rn-任取一个自由未知量为，其余自由未知量为，即可得方程组的一个非零解.第2页/共34页证证必要性()().BRAR=因此,有解设方程组第3页/共34页并令 个自由未知量全取0 0，rn-即可得方程组的一个解充分性.()(),BRAR=设()()(),nrrBRAR=设证毕其余 个作为自由未知量,把这 行的第一个非零元所对应的未知量作为非自由未知量,第4页/共34页小结小结有唯一解bAx=()()nBRAR=()()nBRAR=有无穷多解.bAx=齐次线性方程组齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵，便可写出其通解；非齐次线性方程组：非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有解若有解，化成行最简形矩阵，便可写出其通解；第5页/共34页例例1 1 求解齐次线性方程组解解二、线性方程组的解法第6页/共34页即得与原方程组同解的方程组第7页/共34页由此即得第8页/共34页例例 求解非齐次线性方程组解解对增广矩阵B进行初等变换，故方程组无解第9页/共34页例例 求解非齐次方程组的通解解解 对增广矩阵B进行初等变换第10页/共34页故方程组有解，且有第11页/共34页所以方程组的通解为第12页/共34页例例 解证解证对增广矩阵B进行初等变换，方程组的增广矩阵为第13页/共34页第14页/共34页由于原方程组等价于方程组由此得通解：第15页/共34页证：设对X、B按列分块，得第16页/共34页第17页/共34页例例 设有线性方程组解解第18页/共34页第19页/共34页其通解为第20页/共34页这时又分两种情形：第21页/共34页第22页/共34页()()nBRAR=()()nBRAR=有无穷多解.bAx=非齐次线性方程组齐次线性方程组三、小结第23页/共34页思考题第24页/共34页思考题解答解解第25页/共34页第26页/共34页第27页/共34页故原方程组的通解为第28页/共34页有关矩阵秩的重要结论：(2)设矩阵若则存在可逆矩阵使得即矩阵A可以经过初等变换化为 形式。(3)若都可逆，则第29页/共34页2.矩阵秩的不等式的证明证：设因为A的最高阶非零子式也是 的非零子式，所以第30页/共34页第31页/共34页又综上，证：设第32页/共34页证：设第33页/共34页感谢您的观看！第34页/共34页