线性代数正定二次型.pptx

一、正一、正(负负)定二次型的概念定二次型的概念 则称f 为正定二次型,并称对称矩阵A是正定矩阵；则称f 为负定二次型,并称对称矩阵A是负定矩阵；设有实二次型 如果对任何 为正定二次型 为负定二次型 例如 第1页/共13页二、正(负)定二次型的判别 推论2 对称矩阵A为正定的充分必要条件是：A的 特征值全为正 推论3 正定二次型的矩阵行列式必大于零.第2页/共13页这个定理称为霍尔维茨定理 定理3 对称矩阵A为正定的充分必要条件是：A的 各阶顺序主子式全为正，即 对称矩阵A为负定的充分必要条件是：奇数阶顺序主子式为负，而偶数阶顺序主子式为正,即 第3页/共13页例1 判别二次型是否正定.解它的顺序主子式 故上述二次型是正定的.第4页/共13页例2 判别二次型是否正定.解二次型的矩阵为用特征值判别法.故此二次型为正定二次型.即知 是正定矩阵，第5页/共13页例3 判别二次型的正定性.解第6页/共13页正定矩阵具有以下一些简单性质 第7页/共13页第8页/共13页第9页/共13页第10页/共13页2.正定二次型（正定矩阵）的判别方法：(1)定义法；(2)顺次主子式判别法；(3)特征值判别法.四、小结1.正定二次型的概念，正定二次型与正定矩阵的区别与联系3.根据正定二次型的判别方法，可以得到负定二次型（负定矩阵）相应的判别方法，请大家自己推导第11页/共13页定理2之证明 充分性 故必要性 故 第12页/共13页感谢您的观看！第13页/共13页