函数零点易错点分析.doc

让函数零点的错误不再现让函数零点的错误不再现函数的零点是函数图象的一个重要的特征，同时也沟通了函数、方程、不等式以及算法等内容，在分析解题思路、探求解题方法中起着重要的作用，因此要重视对函数零点的学习下面就函数的零点判定中的几个误区进行剖析，希望对大家有所帮助1 因望文生义而致误因望文生义而致误例例函数23)(2xxxf的零点是（）0,10,20,1，0,2，错解：错解：错解剖析错解剖析：错误的原因是没有理解零点的概念，望文生义，认为零点就是一个点 而函数的零点是一个实数，即使 0 xf成立的实数x，也是函数 xfy 的图象与x轴交点的横坐标正解：正解：由 0232xxxf得，x和，所以选点拨点拨：求函数的零点有两个方法，代数法：求方程 0 xf的实数根，几何法：由公式不能直接求得，可以将它与函数的图象联系起来，函数的图象与x轴交点的横坐标即使所求2 因函数的图象不连续而致误因函数的图象不连续而致误例例函数 xxxf1的零点个数为（）错解错解：因为2)1(f，21 f，所以 011ff，函数 xfy 有一个零点，选错解剖析错解剖析：分析函数的有关问题首先考虑定义域，其次考虑函数 xxxf1的图象是不是连续的，这里的函数图像是不连续的，所以不能用零点判定定理正解正解：函数的定义域为,00,，当0 x时，0 xf，当0 x时，0 xf所以函数没有零点也可由01xx得012x方程无实数解点拨点拨：对函数零点个数的判定，可以利用零点存在性定理来判定，涉及多个零点的往往借助于函数的单调性若函数 xfy 在区间ba,上的图象是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即 0bfaf,则在区间ba,内，函数 xf至少有一个零点，即相应的方程 0 xf在区间ba,至少有一个实数解然而对于函数的 xf，若满足 0bfaf，则 xf在区间ba,内不一定有零点；反之，xf在区间ba,内有零点也不一定有 0bfaf前者是因为图象不连续，后者是因为方程有重根如下图所示：3 因函数值同号而致误因函数值同号而致误例例判定函数 32xxf在区间1,1内是否有零点错解错解：因为 111ff，所以 011ff，函数 32xxf在区间1,1内没有零点错解剖析错解剖析：上述做法错误地用了函数零点判定定理，因为函数 xf在区间ba,上的函数图像是连续曲线，且 0bfaf，也可能在ba,内有零点如函数 12xxg在区间1,1上有 011gg，但在1,1内有零点21x正解正解：当x1,1时，132xxf，函数 xfy 在1,1上的图象与x轴没有交点，即函数 32xxf在区间1,1内没有零点法二：由032x得23x1,1，故函数 32xxf在区间1,1内没有零点点拨点拨：对有些函数，即使它的图象是连续不断的，当它通过零点时，函数值也不一定变号如函数2)1(xy有零点，（如上图）但函数值没变号对函数零点的判定一定要抓住两点：函数 xfy 在区间ba,上的图象是连续曲线，在区间端点的函数值符号相反，即 0bfaf4 因忽略区间端点而致误因忽略区间端点而致误例例 已知二次函数 mxmxxf2)1(2在1,0上有且只有一个零点，求实数m的取值范围错解错解：由函数的零点的性质得 010ff，即022mm，解得02m所以实数m的取值范围为0,2错解剖析错解剖析：错解的原因是只注意到函数零点的应用，而忽略问题的其它形式：在1,0上有二重根；终点的函数值可能为正 解正 解：当 方 程02)1(2mxmx在1,0上 有 两 个 相 等 实 根 时，0812mm且1210m，此时无解当方程02)1(2mxmx有两个不相等的实根时，1有且只有一根在1,0上时，有 010ff，即022mm，解得02m当 00 f时，m，02xxxf，解得1,021xx，合题意当 01 f时，2m，方程可化为0432 xx，解得4,121xx合题意综上所述，实数m的取值范围为0,2点拨点拨：在求参数时，要注意将函数零点的特殊性质与函数的有关性质相结合，进行分类讨论使复杂的问题简单化