第20讲　等腰三角形.ppt

第第20讲讲等腰三角形等腰三角形 第第20讲讲 考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点考点1 1 等腰三角形的概念与性质等腰三角形的概念与性质 定定义义有有_相等的三角形是等腰三角形相等的两相等的三角形是等腰三角形相等的两边边叫腰，第三叫腰，第三边为边为底底性性质质轴对轴对称性称性等腰三角形是等腰三角形是轴对轴对称称图图形，有形，有_条条对对称称轴轴定理定理1等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等(简简称称为为：_)定理定理2等腰三角形等腰三角形顶顶角的平分角的平分线线、底、底边边上的上的_和底和底边边上的高互相重合，上的高互相重合，简简称称“三三线线合一合一”两边两边 一一 等边对等角等边对等角 中线中线第第20讲讲 考点聚焦考点聚焦考点考点2 2 等腰三角形的判定等腰三角形的判定 定理定理如果一个三角形有两个角相等，那么如果一个三角形有两个角相等，那么这这两个角两个角所所对对的的边边也相等也相等(简简写成：写成：_)拓展拓展(1)一一边边上的高与上的高与这边这边上的中上的中线线重合的三角形是重合的三角形是等腰三角形等腰三角形(2)一一边边上的高与上的高与这边这边所所对对的角的平分的角的平分线线重合的重合的三角形是等腰三角形三角形是等腰三角形(3)一一边边上的中上的中线线与与这边这边所所对对的角的平分的角的平分线线重合重合的三角形是等腰三角形的三角形是等腰三角形等角对等边等角对等边考点考点3 3 等边三角形等边三角形 第第20讲讲 考点聚焦考点聚焦定定义义三三边边相等的三角形是等相等的三角形是等边边三角形三角形性性质质等等边边三角形的各角都三角形的各角都_，并且每一个，并且每一个角都等于角都等于_等等边边三角形是三角形是轴对轴对称称图图形，有形，有_条条对对称称轴轴判定判定(1)三个角都相等的三角形是等三个角都相等的三角形是等边边三角形三角形(2)有一个角等于有一个角等于60的等腰三角形是等的等腰三角形是等边边三角形三角形相等相等 60 3 第第20讲讲 归类示例归类示例归类示例归类示例类型之一等腰三角形的性质的运用类型之一等腰三角形的性质的运用 命题角度：命题角度：1.等腰三角形的性质；等腰三角形的性质；2.等腰三角形等腰三角形“三线合一三线合一”的性质；的性质；3.等腰三角形两腰上的高等腰三角形两腰上的高(中线中线)、两底角的平分线的性质、两底角的平分线的性质.例例1 1 20122012镇镇江江 如如图图20201 1，在四，在四边边形形ABCDABCD中，中，ADBCADBC，E E是是ABAB的中点，的中点，连连接接DEDE并延并延长长交交CBCB的延的延长线长线于点于点F F，点点G G在在边边BCBC上，且上，且GDFGDFADF.ADF.(1)(1)求求证证：ADEBFEADEBFE；(2)(2)连连接接EGEG，判断，判断EGEG与与DFDF的位置关系，的位置关系，并并说说明理由明理由图图20201 1第第20讲讲 归类示例归类示例 解析解析 先通过平行条件得到两对内错角相等，结合线段先通过平行条件得到两对内错角相等，结合线段中点得到的线段相等，可证明两个三角形全等；由角相等中点得到的线段相等，可证明两个三角形全等；由角相等的条件可证明的条件可证明DFGDFG是等腰三角形，再结合点是等腰三角形，再结合点E E是是DFDF的中点，的中点，根据等腰三角形根据等腰三角形“三线合一三线合一”的性质可证明结论的性质可证明结论 第第20讲讲 归类示例归类示例解：(1)证明：ADBC，ADEBFE，DAEFBE.E是AB的中点，AEBE.ADEBFE.(2)EG与DF的位置关系是EGDF.GDFADF，又ADEBFE，GDFBFE，GDGF.由(1)得，DEEF，EGDF.第第20讲讲 归类示例归类示例 (1)(1)利用利用线线段的垂直平分段的垂直平分线进线进行等行等线线段段转换转换，进进而而进进行角度行角度转换转换 (2)(2)在同一个三角形中，等角在同一个三角形中，等角对对等等边边与等与等边对边对等角等角进进行互相行互相转换转换 类型之二等腰三角形判定类型之二等腰三角形判定 命题角度：命题角度：等腰三角形的判定等腰三角形的判定第第20讲讲 归类示例归类示例图图202 例例2 2011扬扬州州 已知：如已知：如图图202，锐锐角角ABC的两条的两条高高BD、CE相交于点相交于点O，且，且OBOC.(1)求求证证：ABC是等腰三角形；是等腰三角形；(2)判断点判断点O是否在是否在BAC的平分的平分线线上，并上，并说说明理由明理由 第第20讲讲 归类示例归类示例 解析解析(1)(1)利用利用BDCBDCCEBCEB 证证明明DCBDCBEBCEBC；(2)(2)连连接接AOAO，通，通过过HLHL证证明明ADOADOAEOAEO，从而得到，从而得到DAODAOEAOEAO，利用角平分利用角平分线线上的点到两上的点到两边边的距离相等，的距离相等，证证明明结论结论解：解：(1)(1)证证明：明：OBOBOCOC，OBCOBCOCBOCB.BDBD、CECE是两条高，是两条高，BDCBDCCEBCEB9090.又又BCBCCBCB，BDCBDCCEBCEB(AAS)(AAS)DBCDBCECB,ECB,ABABACAC.ABCABC是等腰三角形是等腰三角形第第20讲讲 归类示例归类示例(2)点点O是在是在BAC的平分的平分线线上上连连接接AO.BDCCEB，DCEB.OBOC，ODOE.又又BDCCEB90，AOAO，ADOAEO(HL)DAOEAO.点点O是在是在BAC的平分线上的平分线上第第20讲讲 归类示例归类示例 要要证证明明一一个个三三角角形形是是等等腰腰三三角角形形，必必须须得得到到两两边边相相等等，而而得得到到两两边边相相等等的的方方法法主主要要有有(1)(1)通通过过等等角角对对等等边边得得两两边边相相等等；(2)(2)通通过过三三角角形形全全等等得得两两边边相相等等；(3)(3)利利用用垂垂直平分直平分线线的性的性质质得两得两边边相等相等 类型之三类型之三 等腰三角形的多解问题等腰三角形的多解问题 例例3 3 20122012广安广安 已知等腰已知等腰ABC中，中，ADBC于点于点D，且且AD0.5 BC，则则ABC底角的度数底角的度数为为()A45 B75C45或或75 D60第第20讲讲 归类示例归类示例命题角度：命题角度：1.遇到等腰三角形的问题时，注意边有腰与底之分，角遇到等腰三角形的问题时，注意边有腰与底之分，角有底角和顶角之分；有底角和顶角之分；2.遇到高线的问题要考虑高在形内和形外两种情况遇到高线的问题要考虑高在形内和形外两种情况C 第第20讲讲 归类示例归类示例第第20讲讲 归类示例归类示例 因因为为等等腰腰三三角角形形的的边边有有腰腰与与底底之之分分，角角有有底底角角和和顶顶角角之之分分，等等腰腰三三角角形形的的高高线线要要考考虑虑高高在在形形内内和和形形外外两两种种情情况况故故当当题题中中条条件件给给出出不不明明确确时时，要要分分类类讨讨论论进进行行解解题题，才能避免漏解情况，才能避免漏解情况 类型之四等边三角形的判定与性质类型之四等边三角形的判定与性质 例例4 4 2011绍兴绍兴 数学数学课课上，李老上，李老师师出示了如下框中出示了如下框中的的题题目目在在等等边边三三角角形形ABC中中，点点E在在AB上上，点点D在在CB的的延延长长线线上上，且且EDEC，如如图图203.试试确确定定线线段段AE与与DB的的大小关系，并大小关系，并说说明理由明理由第第20讲讲 归类示例归类示例命题角度：命题角度：等边三角形的判定与性质的综合等边三角形的判定与性质的综合图图203第第20讲讲 归类示例归类示例小敏与同桌小小敏与同桌小聪讨论聪讨论后，后，进进行了如下解答：行了如下解答：(1)特殊情况，探索特殊情况，探索结论结论当点当点E为为AB的中点的中点时时，如，如图图204，确定，确定线线段段AE与与DB的大小关系，的大小关系，请请你直接写出你直接写出结论结论：AE_DB(填填“”“”“”或或“”)理由如下：如理由如下：如图图204，过过点点E作作EF BC，交，交AC于点于点F.(请请你完成以下解答你完成以下解答过过程程)(3)拓展拓展结论结论，设计设计新新题题在等在等边边三角形三角形ABC中，点中，点E在直在直线线AB上，点上，点D在直在直线线BC上，且上，且EDEC.若若ABC的的边长为边长为1，AE2，求，求CD的的长长(请请你直接写出你直接写出结结果果)(3)1或或3.第第20讲讲 归类示例归类示例方法一：等边三角形方法一：等边三角形ABC中，中，ABCACBBAC60，ABBCAC.EF BC，AEFAFE60BAC，AEF是等边三角形，是等边三角形，AEAFEF，ABAEACAF，即，即BECF.又又ABCEDBBED60，ACBECBFCE60，且且EDEC，EDBECB，BEDFCE.又又DBEEFC120，DBEEFC，DBEF，AEBD.第第20讲讲 归类示例归类示例方法二：在等边三角形方法二：在等边三角形ABC中，中，ABCACB60，ABD120.ABCEDBBED，ACBECBACE，EDEC，EDBECB，BEDACE.FE BC，AEFAFE60BAC，AEF是正三角形，是正三角形，EFC180ACB120ABD.EFCDBE，DBEF，而由而由AEF是正三角形可得是正三角形可得EFAE.AEDB.第第20讲讲 归类示例归类示例 等等边边三三角角形形中中隐隐含含着着三三边边相相等等和和三三个个角角都都等等于于6060的的结结论论，所所以以要要充充分分利利用用这这些些隐隐含含条条件件，证证明明全全等等或或者者构造全等构造全等