必修二232平面与平面垂直的判定1.ppt

2.3.3 2.3.3 平平平平面与平面垂直的判定面与平面垂直的判定面与平面垂直的判定面与平面垂直的判定想一想想一想 AOBBBBBBB 角角两个面组成的图形两个面组成的图形?平面内的一条直线，把这个平面分成平面内的一条直线，把这个平面分成两两部分，每部分，每 一一部分都叫做部分都叫做半平面半平面。从一条直线引出的两个从一条直线引出的两个半平面半平面所组成的图形叫做所组成的图形叫做二面角二面角。这条直线叫做二面角的。这条直线叫做二面角的棱棱，这两个半平，这两个半平面叫做二面角的面叫做二面角的面面。1、半平面：、半平面：2、二面角：、二面角：半平面及二面角的定义半平面及二面角的定义棱面面半平面半平面二面角二面角的记法：的记法：面面1棱面棱面2（1）、以直线）、以直线 为为棱，以棱，以 为半平面的二面角记为：为半平面的二面角记为：（2）、以直线）、以直线AB 为为棱，以棱，以 为半平面的二面角记为：为半平面的二面角记为：AB二面角的二面角的 画法与记法画法与记法l AB 二面角二面角 AB l二面角二面角 l 二面角二面角CAB DABCD5OBAAOB 上述变化过程中图形在变化，形成的上述变化过程中图形在变化，形成的“角度角度”的的大小大小如何来确定如何来确定？在二面角在二面角-l-的棱的棱l上上任取任取一点一点O，如图，如图，在半平面在半平面 和和 内，内，从点从点 O 分别作垂直于棱分别作垂直于棱 l 的射线的射线OA、OB，射线，射线OA、OB组成组成AOB再再在棱在棱l上取一点上取一点O1，在半平面，在半平面 和和 内，从点内，从点 O1 分别作垂直于棱分别作垂直于棱 l 的射线的射线O1A1、O1B1，射线，射线O1A1、O1B1组成组成A1O1B1则把AOB叫做二面角的平面角叫做二面角的平面角 怎样度量二面角的大小？能否转化为怎样度量二面角的大小？能否转化为两相交两相交直线直线所成的角？所成的角？OO1BAB1l A13二面角的大小二面角的大小=?等角定理等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等。）（1）、）、二面角的平面角：二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面上分别引以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面上分别引垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的二面角的平面角平面角。注注1:（1）二面角的平面角与点的位置）二面角的平面角与点的位置 无关，只与二面角的张角大小有关。无关，只与二面角的张角大小有关。（2）二面角是用它的平面角来度）二面角是用它的平面角来度 量的，一个二面角的平面角多大，就量的，一个二面角的平面角多大，就 说这个二面角是多少度的二面角。说这个二面角是多少度的二面角。（3）平面角是直角的二面角叫做）平面角是直角的二面角叫做 直二面角直二面角。（4）二面角的取值范围一般规定）二面角的取值范围一般规定 为为【0,】。3、二面角的、二面角的 大小大小注意2二面角的平面角必须满足二面角的平面角必须满足：3）角的边都要垂直于二面角角的边都要垂直于二面角的棱的棱.1）角的顶点在角的顶点在棱上棱上;2）角的两边分别在两个角的两边分别在两个面内面内;以二面角的以二面角的棱上任意一点棱上任意一点为端点，为端点，在在两个面内两个面内分别作分别作垂直于棱垂直于棱的两条射线，这的两条射线，这两条射线所成的两条射线所成的角角叫做叫做二面角的平面角。二面角的平面角。10 lOABAOB1、定义法定义法 根据定义作出来根据定义作出来2、垂面法垂面法 作与棱垂直的平面与作与棱垂直的平面与 两半平面的交线得到两半平面的交线得到 l12 lOAB lDOA3、垂线法（在其中一垂线法（在其中一平面上选一点做另一平面上选一点做另一平面的垂线）平面的垂线）二二面面角角的的平平面面角角的的作作法法AOB寻找平面角寻找平面角D端点端点中点中点寻找平面角寻找平面角中点中点E EGGF F练习：练习：指出下列各图中的二面角的平面角：指出下列各图中的二面角的平面角：AABCCDDB二面角二面角B-BC-AOEOOBACD二面角二面角A-BC-DADBCl二面角二面角-l-AClBD lD二面角小结：求二面角大小的步骤为：小结：求二面角大小的步骤为：（1 1）找出或作出二面角的平面角；）找出或作出二面角的平面角；（2 2）证明其符合定义）证明其符合定义垂直于棱垂直于棱；（3 3）计算）计算.角角BAO边边边边顶点顶点从一点出发的两条射线从一点出发的两条射线所组成的图形叫做所组成的图形叫做角角。定义定义构成构成边边点点边边 （顶点）（顶点）表示法表示法AOB二面角二面角AB面面面面棱棱a从一条直线出发的两个从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫半平面所组成的图形叫做做二面角二面角。面面直线直线面面 （棱）（棱）二面角二面角l或二面角或二面角AB图形图形角与二面角的比较角与二面角的比较AO lD例例1、已知锐二面角已知锐二面角 l ，A为面为面 内一点内一点，A到到 的距离为的距离为 2 ，到到 l 的距离为的距离为 4，求求二面角二面角 l 的的大小。大小。解解：过过 A作作 AO 于于O，则则AO l,过过 A作作 AD l 于于D，连连ODAO=2 ，AD=4 AO为为 A到到 的距离的距离，AD为为 A到到 l 的距离的距离ADO就是二面角就是二面角 l 的平面角的平面角sinADO=ADO=60二面角二面角 l 的大小为的大小为60 在在RtADO中，中，AOAD17 l 平面平面AOD,l OD 例例2 2 在正方体在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，求二面角求二面角B B1 1-AC-B-AC-B大小的正切值大小的正切值.A AA A1 1B BC CD DB B1 1C C1 1D D1 1O 例例3、已知正三已知正三棱锥棱锥V-ABCV-ABC所有的棱所有的棱长均相等，求二面角长均相等，求二面角 A-VC-BA-VC-B的大小。的大小。VBCABDCAS 练习：如练习：如图，正四棱锥图，正四棱锥S-ABCDS-ABCD中，相邻两个侧面所中，相邻两个侧面所成的二面角为成的二面角为120120O O，若底面，若底面边长边长AB=2AB=2，则侧棱长应为多，则侧棱长应为多少？少？OE例例4 三棱锥三棱锥D-ABCD-ABC中，中，DC=2aDC=2a，DCDC 平面平面ABCABC，ACB=90ACB=90o o，AC=aAC=a，BC=2aBC=2a，求二面角求二面角D-AB-CD-AB-C的大小。的大小。E 例例5如如图，在三棱锥图，在三棱锥S-ABCS-ABC中，中，SASA 平面平面ABCABC，AB BCAB BC，BD ACBD AC于于D D，SA=AB=aSA=AB=a，BC=BC=a a，E E为为SCSC中点，求二面角中点，求二面角E-BD-CE-BD-C的大小。的大小。EDCBAS ABP M N C DO解：解：在在PBPB上取不同于上取不同于P P 的一点的一点O O，在在 内过内过O O作作OCABOCAB交交PM PM 于于C C，在在 内作内作ODABODAB交交PNPN于于D D，连结连结CDCD，可得：可得：设设PO=a PO=a，BPM=BPN=45BPM=BPN=45CO=a，DO=a，PC a，PD a又又MPN=60MPN=60 CD=PC aCOD=90因此，二面角的度数为因此，二面角的度数为90例例6.6.如如图图,已已知知P P是是二二面面角角 棱棱上上一一点点，过过P P 分分别别在在、内内引引射射线线PMPM、PNPN，且且MPN=60MPN=60，BPM BPM=BPN=BPN=45=45，求此二面角的度数。求此二面角的度数。CODCOD是二面角是二面角 的平面角的平面角一一“作作”二二“证证”三三“计算计算”定义法定义法 ABC D 例例7.7.A A为为二二面面角角 CDCD 的的棱棱CDCD上上一一点点，ABAB在在平平面面 内内且且与与棱棱CDCD成成4545角角，又又ABAB与与平平面面 成成3030，求求二二面面角角 CDCD 的大小。的大小。CO解：作解：作BC于于C，则，则BC CD,连连结结AC ,过过C作作CO CD于于O，连结连结OB则则CD 平面平面BOC，BO CDBOC是二面角是二面角 的平面角的平面角则则所求二面角的大小为所求二面角的大小为45设设AO=a 在在Rt AOB中，中，BO=a,AB=a 在在Rt ACB中，中，BAC=30,AB=a,BC=a 在在Rt BCO中，中，sin BOC=垂垂线线法法PEDACBD1A1C1B1F例例8.正方体正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为的棱长为1，P是是AD的中点的中点,求二面角求二面角ABD1P的大小的大小.例例9.已已知知正正方方体体ABCD-A1B1C1D1，M、N 是是棱棱B1C1,、C1D1之之中中点点，求求平平面面 MNDB与与平平面面 B1BCC1所成二面角所成二面角 的大小的大小。分析：分析：当当两两个个半半平平面面的的图图形形的的面面积积较较容容易易计计算算，或或二二面面角角没没有有现现成成的的棱棱时时，可可采采用用射射影影面面积积法法，以避免繁杂的添线与计算。以避免繁杂的添线与计算。因因此此分分别别计计算算SBDNM和和SBCC1M的的面面积，再用公式积，再用公式 两个平面相交两个平面相交,如果它们所成的二面角如果它们所成的二面角是直二面角，就说这是直二面角，就说这两个平面相互垂直两个平面相互垂直.记作记作:三、两个平面互相垂直的意义三、两个平面互相垂直的意义问题：问题：如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？问题：问题：如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？如如果一个平面经过了另一个平面的果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂一条垂线，那么这两个平面互相垂直直.猜想：猜想：如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，那如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。么这两个平面互相垂直。已知：已知：AB，AB 求证：求证：.证明：证明：C CD DA AB BE E在平面在平面内过内过B点作直线点作直线BECD，则，则ABE就是二面角就是二面角-CD-的平面角，的平面角，设设=CD,则则BCD.AB，CD ，ABCD.AB，BE ，ABBE.二面角二面角-CD-是是直二面角，直二面角，.两个平面垂直的判定定理：两个平面垂直的判定定理：线线垂直线线垂直线面垂直线面垂直面面垂直面面垂直如果一个平面如果一个平面经过经过了另一个平面的了另一个平面的一一条垂线条垂线，那么这两个平面，那么这两个平面互相垂直互相垂直.证明面面垂直的本质和关键是什么？证明面面垂直的本质和关键是什么？本质：本质：线面垂直线面垂直 面面垂直面面垂直关键：关键：找垂直平面的线找垂直平面的线课堂练习：课堂练习：1.如果平面如果平面内有一条直线垂直于平面内有一条直线垂直于平面内的内的一一条直条直线，则线，则.（）3.如果平面如果平面内的一条直线垂直于平面内的一条直线垂直于平面内的内的两两条相条相交直线交直线,则则.（）一、判断：一、判断：2.如果平面如果平面内有一条直线垂直于平面内有一条直线垂直于平面内的内的两两条直条直线，则线，则.（）1.过平面过平面的一条垂线可作的一条垂线可作_个平面个平面 与平面与平面垂直垂直.2.过一点可作过一点可作_个平面与已知平面垂个平面与已知平面垂 直直.二、填空题：二、填空题：3.过平面过平面的一条斜线，可作的一条斜线，可作_个平个平 面与平面面与平面垂直垂直.4.过平面过平面的一条平行线可作的一条平行线可作_个平个平 面与面与垂直垂直.一一无数无数无数无数一一ABCDA1B1C1D1例例1:1:在正方体在正方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，求证：求证：.例例2:如图，如图，AB是圆是圆O的直径，的直径，PA垂直于圆垂直于圆O所在所在的平面，的平面，C是圆周上不同于是圆周上不同于A,B的任意一点，求证：的任意一点，求证：PABCOA AB BC CD DE EEPACBFDG小结：小结：小结：小结：11 1、二面角定义、二面角定义、二面角定义、二面角定义、二面角定义、二面角定义22 2、二面角平面角作法、范围、二面角平面角作法、范围、二面角平面角作法、范围、二面角平面角作法、范围、二面角平面角作法、范围、二面角平面角作法、范围33、直二面角、直二面角、直二面角、直二面角44、平面与平面垂直判定定理、平面与平面垂直判定定理、平面与平面垂直判定定理、平面与平面垂直判定定理作业作业:教材教材P73 习题习题2.3A组组 1、3、4、6.求二面角 课时作业（十三）课时作业（十三）