2015年北京高考理科数学试题及答案.pdf

20152015 年北京高考理科数学试题及答案年北京高考理科数学试题及答案一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1复数i2iA12iB12iC12iD12ix y0，2若x，y满足x y1，则z x 2y的最大值为x0，A0B1C32D23执行如图所示的程序框图，输出的结果为A2，2B4，0C4，48D0，12正(主)视图11侧(左)视图y2C俯视图A-1OB2x第 3 题图第 5 题图第 7 题图4设，是两个不同的平面，m是直线且m“m”是“”的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件5某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是A2 5B4 5C2 2 5D56设an是等差数列.下列结论中正确的是A若a1 a2 0，则a2 a3 0B若a1 a3 0，则a1 a2 0C若0 a1 a2，则a2a1a3D若a1 0，则a2a1a2a3 07如图，函数fx的图象为折线ACB，则不等式fxlog2x1的解集是Ax|1 x0Bx|1x1Cx|1 x1Dx|1 x28汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是A消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶5 千米B以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，消耗 10 升汽油D某城市机动车最高限速80 千米/小时.相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分9在2 x的展开式中，x3的系数为5（用数字作答）x210已知双曲线2 y21a 0的一条渐近线为3x y 0，则a a11在极坐标系中，点2到直线cos3sin 6的距离为312在ABC中，a 4，b 5，c 6，则sin2AsinC13在ABC中，点M，N满足AM 2MC，BN NC若MN xAB yAC，则x；y 2xax 1f x 14设函数 4 xax2a x1.若a 1，则fx的最小值为；若fx恰有 2 个零点，则实数a的取值范围是三、解答题（共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）15（本小题 13 分）xxx已知函数f(x)2sincos2sin2222()求f(x)的最小正周期；()求f(x)在区间，0上的最小值16（本小题 13 分）A，B两组各有 7 位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：A组：10，11，12，13，14，15，16B组：12，13，15，16，17，14，a假设所有病人的康复时间互相独立，从A，B两组随机各选 1 人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙()求甲的康复时间不少于 14 天的概率；()如果a 25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；()当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）17（本小题 14 分）BC 4，EF BC，如图，在四棱锥A EFCB中，平面AEF 平面EFCB，AEF为等边三角形，EF 2a，EBC FCB 60，O为EF的中点()求证：AO BE；()求二面角F AE B的余弦值；()若BE 平面AOC，求a的值AFCOEB18（本小题 13 分）1 x1x（）求曲线y fx在点0，f0处的切线方程；已知函数fxlnx31时，fx 2x；（）求证：当x0，3x31恒成立，求k的最大值（）设实数k使得fx kx对x0，319（本小题 14 分）x2y221和点Am，nm0都在椭圆C已知椭圆C：221a b 0的离心率为，点P0，ab2上，直线PA交x轴于点M（）求椭圆C的方程，并求点M的坐标（用m，n表示）；（）设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N 问：y轴上是否存在点Q，使得OQM ONQ？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由20（本小题 13 分）2an，an18，已知数列an满足：a1N N*，a136，且an1n 1，2，2a 36，a 18nn记集合M an|nN N*（）若a1 6，写出集合M的所有元素；（）若集合M存在一个元素是 3 的倍数，证明：M的所有元素都是 3 的倍数；（）求集合M的元素个数的最大值参考答案参考答案1.A2.D3.B4.B5.C6.C7.C8.D9.4010.14.(1)1,(2)15.解:1311.112.113,x 0.5,y 631 a 1或a 22