2022-2023学年山西省太原市第五十三中学数学高三第一学期期末达标测试试题含解析.pdf

2022-20232022-2023 学年高三上数学期末模拟试卷学年高三上数学期末模拟试卷注意事项注意事项1 1考生要认真填写考场号和座位序号。考生要认真填写考场号和座位序号。2 2试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B2B 铅笔作答；第二部分必须用黑铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。色字迹的签字笔作答。3 3考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共一、选择题：本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。x y2 0y21 1已知实数已知实数x，y满足约束条件满足约束条件x2y2 0，则目标函数，则目标函数z 的最小值为的最小值为x1x 1234C C3A A541D D2B B2 2某学校调查了某学校调查了 200200 名学生每周的自习时间（单位：小时）名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是围是 17.517.5，3030，样本数据分组为，样本数据分组为 17.517.5，2020），2020，22.522.5），22.5,2522.5,25），2525，27.527.5），27.527.5，3030）.根据直方图，这根据直方图，这 200200 名学名学生中每周的自习时间不少于生中每周的自习时间不少于 22.522.5 小时的人数是（小时的人数是（）A A5656B B6060C C140140D D1201203 3已知全集已知全集U Z,A1,2,3,4,B xx1x3 0,xZ，则集合，则集合ACUB的子集个数为（的子集个数为（）A A2B B4C C8D D16x2y2y2x24 4 连接双曲线连接双曲线C1:221及及C2:221的的 4 4 个顶点的四边形面积为个顶点的四边形面积为S1，连接连接 4 4 个焦点的四边形的面积为个焦点的四边形的面积为S2，abbaS1则当则当取得最大值时，双曲线取得最大值时，双曲线C1的离心率为（的离心率为（）S2A A52B B3 22C C3D D25 5已知已知m,n是两条不重合的直线，是两条不重合的直线，,是两个不重合的平面，下列命题正确的是（是两个不重合的平面，下列命题正确的是（）A A若若m，m，n，n，则，则B B若若mn，m，n，则，则C C若若m n，m，n，则，则D D若若m n，m，n，则，则6 6执行如图所示的程序框图，则输出的执行如图所示的程序框图，则输出的n的值为（的值为（）A A1C C3B B2D D47 7甲、乙、丙、丁四人通过抓阄的方式选出一人周末值班（抓到甲、乙、丙、丁四人通过抓阄的方式选出一人周末值班（抓到“值值”字的人值班）字的人值班）.抓完阄后，甲说：抓完阄后，甲说：“我没抓到我没抓到.”.”乙乙说：说：“丙抓到了丙抓到了.”.”丙说：丙说：“丁抓到了丁抓到了”丁说：丁说：“我没抓到我没抓到.已知他们四人中只有一人说了真话，根据他们的说法，可以断定已知他们四人中只有一人说了真话，根据他们的说法，可以断定值班的人是（值班的人是（）A A甲甲B B乙乙C C丙丙D D丁丁,定义在定义在R上的函数上的函数f(x)满足满足f(x)f(x)x2，8 8 设函数设函数g(x)ex(1e)xa（aR，e为自然对数的底数）为自然对数的底数）且当且当x 0时，时，f(x)x若存在若存在x0 x|f(x)1 f(1 x)x，且，且x0为函数为函数y g(x)x的一个零点，则实数的一个零点，则实数2a的取值范围为（的取值范围为（）eA A2,B B(e,)C C e,)e,D D25a 0,b 0，则，则29 9已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为2，a，b，且，且2ab 此三棱锥外接球表面积的最小值为（此三棱锥外接球表面积的最小值为（）A A174B B214C C4D D51010以下四个命题：两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近以下四个命题：两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近1 1；在回归分析中，可用相关指；在回归分析中，可用相关指数数R2的值判断拟合效果，的值判断拟合效果，R2越小，模型的拟合效果越好；越小，模型的拟合效果越好；若数据若数据x1,x2,x3,xn的方差为的方差为 1 1，则，则2x1+1,2x2+1,2x3+1,2xn+1的方差为的方差为 4 4；已知一组具有线性相关关系的数据已知一组具有线性相关关系的数据x1,y1,x2,y2,x10,y10，其线其线y10”a a bx，bx”是是“x0性回归方程性回归方程y则则“x0,y0满足线性回归方程满足线性回归方程y的充要条件；其中真命题的个数为的充要条件；其中真命题的个数为()A A4 41111设实数设实数A A1 1B B3 3满足条件满足条件B B2 2则则C C3 3C C2 2D D1 1的最大值为（的最大值为（）D D4 4x1 x2 x10y y2，y0110101212已知实数集已知实数集R R，集合，集合A x|1 x 3，集合，集合B x|y 1，则，则ACRB（）x2D Dx|1 x 2A Ax|1 x 2B Bx|1 x 3C Cx|2 x 3二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分。分。1313已知抛物线已知抛物线C:y 4x的焦点为的焦点为F，过点，过点F且斜率为且斜率为 1 1 的直线的直线l交抛物线交抛物线C于于M,N两点，两点，b 2MF NF，2若线段若线段MN的垂直平分线与的垂直平分线与x轴交点的横坐标为轴交点的横坐标为a，则，则a ab b的值为的值为_._.1414若若 x x5 5=a a0 0+a a1 1(x x-2)+-2)+a a2 2(x x-2)-2)2 2+a a5 5(x x-2)-2)5 5，则，则 a a1 1=_=_，a a1 1+a a2 2+a a5 5=_=_x2,x 121515已知已知f(x)x 5,1 x 3，则，则ff(4)的值为的值为_._.log x,x 321616现有一块边长为现有一块边长为 a a 的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为 x x 的小正方形，然后做成一个无盖方盒，该方盒的小正方形，然后做成一个无盖方盒，该方盒容积的最大值是容积的最大值是_三、解答题：共三、解答题：共 7070 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1717（1212 分）如图，正方体分）如图，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为的棱长为 2 2，E为棱为棱B1C1的中点的中点.（1 1）面出过点）面出过点E且与直线且与直线A1C垂直的平面，标出该平面与正方体各个面的交线（不必说明画法及理由）垂直的平面，标出该平面与正方体各个面的交线（不必说明画法及理由）；（2 2）求）求BD1与该平面所成角的正弦值与该平面所成角的正弦值.1818（1212 分）已知函数分）已知函数fx 2 3sin xcosx2cos x1.2（1 1）求函数）求函数fx的单调递增区间；的单调递增区间；（2 2）在）在ABCABC 中，角中，角 A A，B B，C C 所对的边分别是所对的边分别是 a a，b b，c c，若满足，若满足fB2，a 8，c 5，求，求cosA.1919（1212 分）已知分）已知fx xaaR（1 1）若）若fx 2x1的解集为的解集为0,2，求，求a的值；的值；（2 2）若对任意）若对任意xR R，不等式，不等式f(x)12sin(x24)恒成立，求实数恒成立，求实数a的取值范围的取值范围22020（1212 分）已知函数分）已知函数fx cos x2 3sin xcosxsin x.（1 1）求函数）求函数y fx的最小正周期以及单调递增区间；的最小正周期以及单调递增区间；（2 2）已知）已知ABC，若，若fC1，c 2，sinCsinB A 2sin 2A，求，求ABC的面积的面积.2121（1212 分）已知在分）已知在中，角中，角的对边分别为的对边分别为,且且.（1 1）求）求 的值；的值；（2 2）若）若,求求的取值范围的取值范围.2222（1010 分）已知分）已知fxa xba 0，且，且fx 0的解集为的解集为x 3 x 7.（1 1）求实数）求实数a，b的值；的值；（2 2）若）若fx的图像与直线的图像与直线x 0及及y mm3围成的四边形的面积不小于围成的四边形的面积不小于 1414，求实数，求实数m取值范围取值范围.参考答案参考答案一、选择题：本题共一、选择题：本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 1、B B【解析】【解析】作出不等式组对应的平面区域，目标函数作出不等式组对应的平面区域，目标函数z 合即可得到合即可得到z的最小值的最小值y2的几何意义为动点的几何意义为动点Mx,y到定点到定点D1,2的斜率，利用数形结的斜率，利用数形结x1【详解】【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：解：作出不等式组对应的平面区域如图：目标函数目标函数z y2的几何意义为动点的几何意义为动点Mx,y到定点到定点D1,2的斜率，的斜率，x111 25当当M位于位于A1,时，此时时，此时DA的斜率最小，此时的斜率最小，此时z2 min2114故选故选 B B【点睛】【点睛】本题主要考查线性规划的应用以及两点之间的斜率公式的计算，本题主要考查线性规划的应用以及两点之间的斜率公式的计算，利用利用 z z 的几何意义，的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键通过数形结合是解决本题的关键2 2、C C【解析】【解析】试题分析：由题意得，自习时间不少于试题分析：由题意得，自习时间不少于22.5小时的频率为小时的频率为(0.160.080.04)2.50.7，故自习时间不少于，故自习时间不少于22.5小时小时的频率为的频率为0.7200 140，故选，故选 C.C.考点：频率分布直方图及其应用考点：频率分布直方图及其应用3 3、C C【解析】【解析】先求先求 B.B.再求再求CUB，求得，求得ACUB则子集个数可求则子集个数可求【详解】【详解】由题由题CUB xx1x3 0,xZ x 1 x 3,xZ=1,0,1,2,3,则集合则集合ACUB1,2,3,故故其子集个数为其子集个数为23 8故选故选 C C【点睛】【点睛】此题考查了交、并、补集的混合运算及子集个数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键，是基础题此题考查了交、并、补集的混合运算及子集个数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键，是基础题4 4、D D【解析】【解析】先求出四个顶点、四个焦点的坐标，四个顶点构成一个菱形，求出菱形的面积，四个焦点构成正方形，求出其面积，先求出四个顶点、四个焦点的坐标，四个顶点构成一个菱形，求出菱形的面积，四个焦点构成正方形，求出其面积，利用重要不等式求得利用重要不等式求得【详解】【详解】S1取得最大值时有取得最大值时有a b，从而求得其离心率，从而求得其离心率.S2x2y2y2x2双曲线双曲线221与与221互为共轭双曲线，互为共轭双曲线，baab四个顶点的坐标为四个顶点的坐标为(a,0),(0,b)，四个焦点的坐标为，四个焦点的坐标为(c,0),(0,c)，12a2b 2ab，212四个焦点连线形成的四边形的面积四个焦点连线形成的四边形的面积S22c2c 2c，2四个顶点形成的四边形的面积四个顶点形成的四边形的面积S1所以所以S12ababab122，S22ca b22ab2S1c当当取得最大值时有取得最大值时有a b，c 2a，离心率，离心率e 2，S2a故选：故选：D.D.【点睛】【点睛】该题考查的是有关双曲线的离心率的问题，涉及到的知识点有共轭双曲线的顶点，焦点，菱形面积公式，重要不等式该题考查的是有关双曲线的离心率的问题，涉及到的知识点有共轭双曲线的顶点，焦点，菱形面积公式，重要不等式求最值，等轴双曲线的离心率，属于简单题目求最值，等轴双曲线的离心率，属于简单题目.5 5、B B【解析】【解析】根据空间中线线、线面位置关系，逐项判断即可得出结果根据空间中线线、线面位置关系，逐项判断即可得出结果.【详解】【详解】A A 选项，若选项，若m，m，n，n，则，则或或与与相交；故相交；故 A A 错；错；，故，故 B B 正确；正确；或或B B 选项，若选项，若mn，m，则，则n，又，又n，,是两个不重合的平面，则是两个不重合的平面，则C C 选项，若选项，若m n，m，则，则n 或或n或或n与与相交，又相交，又n，,是两个不重合的平面，则是两个不重合的平面，则与与相交；故相交；故 C C 错；错；D D 选项，选项，若若m n，m，则则n 或或n或或n与与相交，相交，又又n，,是两个不重合的平面，是两个不重合的平面，则则或或与与相交；故相交；故 D D 错；错；故选故选 B B【点睛】【点睛】本题主要考查与线面、线线相关的命题，熟记线线、线面位置关系，即可求解，属于常考题型本题主要考查与线面、线线相关的命题，熟记线线、线面位置关系，即可求解，属于常考题型.6 6、B B【解析】【解析】列出循环的每一步，进而可求得输出的列出循环的每一步，进而可求得输出的n值值.【详解】【详解】根据程序框图，执行循环前：根据程序框图，执行循环前：a 0，b0，n 0，执行第一次循环时：执行第一次循环时：a 1，b 2，所以：，所以：9282 40不成立不成立继续进行循环，继续进行循环，当当a 4，b 8时，时，62 22 40成立，成立，n 1，由于由于a 5不成立，执行下一次循环，不成立，执行下一次循环，a 5，b 10，5202 40成立，成立，n 2，a 5成立，输出的成立，输出的n的值为的值为2.故选：故选：B B【点睛】【点睛】本题考查的知识要点：本题考查的知识要点：程序框图的循环结构和条件结构的应用，程序框图的循环结构和条件结构的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型属于基础题型7 7、A A【解析】【解析】可采用假设法进行讨论推理，即可得到结论可采用假设法进行讨论推理，即可得到结论.【详解】【详解】由题意，假设甲：我没有抓到是真的，乙：丙抓到了，则丙：丁抓到了是假的，由题意，假设甲：我没有抓到是真的，乙：丙抓到了，则丙：丁抓到了是假的，丁：我没有抓到就是真的，与他们四人中只有一个人抓到是矛盾的；丁：我没有抓到就是真的，与他们四人中只有一个人抓到是矛盾的；假设甲：我没有抓到是假的，那么丁：我没有抓到就是真的，假设甲：我没有抓到是假的，那么丁：我没有抓到就是真的，乙：丙抓到了，丙：丁抓到了是假的，成立，乙：丙抓到了，丙：丁抓到了是假的，成立，所以可以断定值班人是甲所以可以断定值班人是甲.故选：故选：A.A.【点睛】【点睛】本题主要考查了合情推理及其应用，其中解答中合理采用假设法进行讨论推理是解答的关键，着重考查了推理与分析本题主要考查了合情推理及其应用，其中解答中合理采用假设法进行讨论推理是解答的关键，着重考查了推理与分析判断能力，属于基础题判断能力，属于基础题.8 8、D D【解析】【解析】先构造函数先构造函数Tx fx出结果出结果.【详解】【详解】构造函数构造函数Tx fx212x，由题意判断出函数，由题意判断出函数Tx的奇偶性，再对函数的奇偶性，再对函数Tx求导，判断其单调性，进而可求求导，判断其单调性，进而可求212x，2因为因为fx fx x，所以所以TxTx fx所以所以Tx为奇函数，为奇函数，当当x 0时，时，T x f xx 0，所以，所以Tx在在,0上单调递减，上单调递减，所以所以Tx在在 R R 上单调递减上单调递减.因为存在因为存在x0 x fx1212x fxx fx fx x2 0，221 f1 x x，21 f1 x0 x0，212112所以所以Tx0 x0T1 x01 x0 x0，222所以所以fx0化简得化简得Tx0T1x0，所以所以x01 x0，即，即x0121 xh x g x x e ex a x 令令，2因为因为x0为函数为函数y gxx的一个零点，的一个零点，所以所以hx在在x 因为当因为当x 1时有一个零点时有一个零点211时，时，hx exe e2e 0，21所以函数所以函数hx在在x 时单调递减，时单调递减，2由选项知由选项知a 0，a1 0，2eaea ea eeaea 又因为又因为h ee所以要使所以要使hx在在x 0，1时有一个零点，时有一个零点，21 1 he e a 0，解得，解得a e，只需使只需使222e,所以所以 a a 的取值范围为的取值范围为，故选，故选 D.D.2【点睛】【点睛】本题主要考查函数与方程的综合问题，难度较大本题主要考查函数与方程的综合问题，难度较大.9 9、B B【解析】【解析】根据三视图得到几何体为一三棱锥，并以该三棱锥构造长方体，于是得到三棱锥的外接球即为长方体的外接球，进而根据三视图得到几何体为一三棱锥，并以该三棱锥构造长方体，于是得到三棱锥的外接球即为长方体的外接球，进而得到外接球的半径，求得外接球的面积后可求出最小值得到外接球的半径，求得外接球的面积后可求出最小值【详解】【详解】由已知条件及三视图得，此三棱锥的四个顶点位于长方体由已知条件及三视图得，此三棱锥的四个顶点位于长方体ABCD A1B1C1D1的四个顶点，即为三棱锥的四个顶点，即为三棱锥ACB1D1，且，且长方体长方体ABCD A1B1C1D1的长、宽、高分别为的长、宽、高分别为2,a,b，此三棱锥的外接球即为长方体此三棱锥的外接球即为长方体ABCD A1B1C1D1的外接球，的外接球，22a2b24a2b2且球半径为且球半径为R，224a2b2212三棱锥外接球表面积为三棱锥外接球表面积为4，4a2b2 5a124121当且仅当当且仅当a 1，b 时，三棱锥外接球的表面积取得最小值为时，三棱锥外接球的表面积取得最小值为422故选故选 B B【点睛】【点睛】（1 1）解决关于外接球的问题的关键是抓住外接的特点，解决关于外接球的问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离都等于球的半径，即球心到多面体的顶点的距离都等于球的半径，同时要作一圆同时要作一圆面起衬托作用面起衬托作用（2 2）长方体的外接球的直径即为长方体的体对角线，长方体的外接球的直径即为长方体的体对角线，对于一些比较特殊的三棱锥，对于一些比较特殊的三棱锥，在研究其外接球的问题时可考虑通在研究其外接球的问题时可考虑通过构造长方体，通过长方体的外球球来研究三棱锥的外接球的问题过构造长方体，通过长方体的外球球来研究三棱锥的外接球的问题1010、C C【解析】【解析】根据线性相关性与根据线性相关性与 r r 的关系进行判断的关系进行判断,根据相关指数根据相关指数R2的值的性质进行判断的值的性质进行判断,根据方差关系进行判断根据方差关系进行判断,根据点根据点x0,y0满足回归直线方程，但点满足回归直线方程，但点x0,y0不一定就是这一组数据的中心点，而回归直线必过样本中心点，不一定就是这一组数据的中心点，而回归直线必过样本中心点，可进行判断可进行判断.【详解】【详解】若两个随机变量的线性相关性越强若两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数则相关系数 r r的绝对值越接近于的绝对值越接近于 1,1,故正确故正确;用相关指数用相关指数R2的值判断模型的拟合效果的值判断模型的拟合效果,R2越大越大,模型的拟合效果越好模型的拟合效果越好,故错误故错误;若统计数据若统计数据x1,x2,x3,xn的方差为的方差为 1,1,则则2x1+1,2x2+1,2x3+1,2xn+1的方差为的方差为22 4,故正确故正确;因为点因为点x0,y0满足回归直线方程，但点满足回归直线方程，但点x0,y0不一定就是这一组数据的中心点，即不一定就是这一组数据的中心点，即x0y0y1 y210 x1 x2 x10，10y10 x x2 x10y y2y10不一定成立，而回归直线必过样本中心点，所以当不一定成立，而回归直线必过样本中心点，所以当x01，y011010 a a bx；因此；因此“x0,y0满足线性回归方程满足线性回归方程y bx”是是时，点时，点x0,y0必满足线性回归方程必满足线性回归方程y“x0 x1 x2 x10y y2，y011010y10”必要不充分条件必要不充分条件.故故 错误错误;所以正确的命题有所以正确的命题有.故选：故选：C.C.【点睛】【点睛】本题考查两个随机变量的相关性，本题考查两个随机变量的相关性，拟合性检验，拟合性检验，两个线性相关的变量间的方差的关系，两个线性相关的变量间的方差的关系，以及两个变量的线性回归方程，以及两个变量的线性回归方程，注意理解每一个量的定义，属于基础题注意理解每一个量的定义，属于基础题.1111、C C【解析】【解析】画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案.【详解】【详解】如图所示：画出可行域和目标函数，如图所示：画出可行域和目标函数，即，即，表示直线在表示直线在 轴的截距加上轴的截距加上 1 1，根据图像知，当根据图像知，当时，且时，且时，时，有最大值为有最大值为.故选：故选：.【点睛】【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.1212、A A【解析】【解析】x2 0可得集合可得集合B,求出补集求出补集CRB,再求出再求出ACRB即可即可.【详解】【详解】由由x2 0,得得x 2,即即B (2,),所以所以CRB(,2,所以所以ACRB(1,2.故选故选:A:A【点睛】【点睛】本题考查了集合的补集和交集的混合运算本题考查了集合的补集和交集的混合运算,属于基础题属于基础题.二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分。分。1313、1 1【解析】【解析】设设Mx1,y1,Nx2,y2，写出直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理求得，写出直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理求得x1 x2，由抛物线定义得焦点弦长，求，由抛物线定义得焦点弦长，求得得b，再写出，再写出MN的垂直平分线方程，得的垂直平分线方程，得a，从而可得结论，从而可得结论【详解】【详解】2抛物线抛物线C:y 4x的焦点坐标为的焦点坐标为1,0，直线，直线l的方程为的方程为y x1，y x1据据2得得x26x1 0.设设Mx1,y1,Nx2,y2，y 4x则则x1 x2 6,y1 y2 4,b MF NF1x11 x21 4.22线段线段MN垂直平分线方程为垂直平分线方程为y2 1x3，令，令y 0，则，则x 5，所以，所以a 5，所以所以ab 1.故答案为：故答案为：1 1【点睛】【点睛】本题考查抛物线的焦点弦问题，根据抛物线的定义表示出焦点弦长是解题关键本题考查抛物线的焦点弦问题，根据抛物线的定义表示出焦点弦长是解题关键1414、8080211211【解析】【解析】5由由x 2x2，利用二项式定理即可得，利用二项式定理即可得a1，分别令，分别令x 3、x 2后，作差即可得后，作差即可得a1a2 a5.5【详解】【详解】145a C 2 80，由题意由题意x ，则，则2 x2155令令x 3，得，得a0 a1 a2 a5 3 243，5令令x 2，得，得a0 2 32，5故故a1a2 a5 24332 211.故答案为：故答案为：8080，211.211.【点睛】【点睛】本题考查了二项式定理的应用，属于中档题本题考查了二项式定理的应用，属于中档题.1515、1【解析】【解析】先求先求f4，再根据，再根据f4的范围求出的范围求出f f4即可即可.【详解】【详解】由题可知由题可知f4log24 2，故故f f4 f2 2 5 1.2故答案为：故答案为：1.【点睛】【点睛】本题考查分段函数函数值的求解，涉及对数的运算，属基础题本题考查分段函数函数值的求解，涉及对数的运算，属基础题.1616、23a27【解析】【解析】由题意容积由题意容积V a 2xx，求导研究单调性，分析即得解，求导研究单调性，分析即得解.【详解】【详解】由题意：容积由题意：容积V a 2xx，0 x 222a，2则则V 2(a 2x)(2x)(a 2x)(a 2x)(a 6x)，aa或或x（舍去）（舍去），62aa a令令V 0,x(0,);V 0 x(,)66 2由由V 0得得x 则则x 23aa.为为 V V 在定义域内唯一的极大值点也是最大值点，此时在定义域内唯一的极大值点也是最大值点，此时Vmax62723a27故答案为：故答案为：【点睛】【点睛】本题考查了导数在实际问题中的应用，考查了学生数学建模，转化划归，数学运算的能力，属于中档题本题考查了导数在实际问题中的应用，考查了学生数学建模，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.三、解答题：共三、解答题：共 7070 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1717、（1 1）见解析（）见解析（2 2）【解析】【解析】（1 1）A1C与平面与平面BDC1垂直，过点垂直，过点E作与平面作与平面BDC1平行的平面即可平行的平面即可（2 2）建立空间直角坐标系求线面角正弦值）建立空间直角坐标系求线面角正弦值【详解】【详解】解：解：（1 1）截面如下图所示：其中）截面如下图所示：其中F，G，H，I，J分别为边分别为边C1D1，DD1，AD，AB，BB1的中点，则的中点，则A1C垂直垂直于平面于平面EFGHIJ.1.3（2 2）建立如图所示的空间直角坐标系，）建立如图所示的空间直角坐标系，则则B2,2,0，D10,0,2，H1,0,0，I2,1,0，G0,0,1，所以所以BD12,2,2，HI 1,1,0，HG 1,0,1.设平面设平面EFGHIJ的一个法向量为的一个法向量为n x,y,z，则，则x y 0.x z 0不妨取不妨取n 1,1,1，则，则cos BD1,n 所以所以BD1与该平面所成角的正弦值为与该平面所成角的正弦值为21，2 3 331.3AC（若将（若将AC1作为该平面法向量，需证明作为该平面法向量，需证明1与该平面垂直）与该平面垂直）【点睛】【点睛】考查确定平面的方法以及线面角的求法，中档题考查确定平面的方法以及线面角的求法，中档题.1818、（1 1）【解析】【解析】1k,k,k Z；（2 2）376（1 1）化简得到）化简得到fx 2sin2x，取，取2 2k 2x 62 2k,kZ，解得答案，解得答案.6（2 2）fB 2sin2B【详解】【详解】2，解得，解得B，根据余弦定理得到，根据余弦定理得到b 7，再用一次余弦定理解得答案，再用一次余弦定理解得答案.63（1 1）fx 2 3sin xcos x2cos x13sin 2xcos2x 2sin2x2.6取取2 2k 2x 62 2k,kZ，解得，解得xk,k,k Z.36（2 2）fB 2sin2B 2,6因为因为B0,2B11,666B 2B.，故故，362根据余弦定理：根据余弦定理：b2 a2c22accosB 49，b 7.b2c2a25272821cos A.2bc2577【点睛】【点睛】本题考查了三角恒等变换，三角函数单调性，余弦定理，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用本题考查了三角恒等变换，三角函数单调性，余弦定理，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.21919、（1 1）a 1；（2 2）-，【解析】【解析】（1 1）利用两边平方法解含有绝对值的不等式，再根据根与系数的关系求出）利用两边平方法解含有绝对值的不等式，再根据根与系数的关系求出a的值；的值；（2 2）利用绝对值不等式求出）利用绝对值不等式求出fx xa的最小值，把不等式的最小值，把不等式f(x)12sin(x)化为只含有化为只含有a的不等式，求出不等式解集即可的不等式，求出不等式解集即可4【详解】【详解】（1 1）不等式）不等式fx 2x1，即，即xa 2x1两边平方整理得两边平方整理得3x 2a4x1a 022由题意知由题意知0和和2是方程是方程3x 2a4x1a 0的两个实数根的两个实数根222a402 3即即，解得，解得a 121a02 3（2 2）因为）因为fx xa xa xa xaxa 2 a所以要使不等式所以要使不等式f(x)12sin(x4)恒成立，只需恒成立，只需2 a 3a2当当a 0时，时，2a 3a2，解得，解得a 2，即，即0 a 2；当当a 0时，时，2a 3a2，解得，解得a 综上所述，综上所述，a的取值范围是的取值范围是,2【点睛】【点睛】本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了分类讨论思想，是中档题本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了分类讨论思想，是中档题.2020、（1 1）最小正周期为）最小正周期为，单调递增区间为，单调递增区间为k,kk Z；（2 2）363【解析】【解析】2，即，即a 0；52 3fx 2sin 2xy f x（1 1）利用三角恒等变换思想化简函数利用三角恒等变换思想化简函数 的解析式为的解析式为，利用正弦型函数的周期公式可求利用正弦型函数的周期公式可求6得函数得函数y fx的最小正周期，解不等式的最小正周期，解不等式2k（2 2）由）由fC1求得求得C 2 2x6 2k2k Z可求得该函数的单调递增区间；可求得该函数的单调递增区间；2或或b2a，分两种情况讨论，结合余弦，分两种情况讨论，结合余弦3，由，由sinCsinB A 2sin 2A得出得出A 定理解三角形，进行利用三角形的面积公式可求得定理解三角形，进行利用三角形的面积公式可求得ABC的面积的面积.【详解】【详解】（1 1）fx 2 3sin xcos xcos xsin x 3sin2xcos2x 2sin2x22，6所以，函数所以，函数y fx的最小正周期为的最小正周期为T 由由2k2，22 2x6 2k2kZ得得k x kkZ Z，36,k因此，函数因此，函数y fx的单调递增区间为的单调递增区间为k36k Z；52sin 2C f C 12k，C k或或（2 2）由）由，得，得1，2C 2k或或2C 66666C 3kkZ，C0,，C 又又3，sinCsinB AsinB AsinB A 2sin BcosA，2sin BcosA 2sin 2A，即，即sinBcosA 2sin AcosA.当当cosA0时，即时，即A 2，则由，则由C 3，c 2，得，得a c4 312 3，则，则b a，此时，此时，ABC的面积的面积sinC323为为SABC12 3；bc 23当当cosA 0时，则时，则sinB 2sin A，即，即b2a，a2b2c2112 32 34 3.则由则由cosC，b，SABCabsinC，解得，解得a 2ab23323综上，综上，ABC的面积为的面积为S【点睛】【点睛】本题考查正弦型函数的周期和单调区间的求解，同时也考查了三角形面积的计算，涉及余弦定理解三角形的应用，考本题考查正弦型函数的周期和单调区间的求解，同时也考查了三角形面积的计算，涉及余弦定理解三角形的应用，考查计算能力，属于中等题查计算能力，属于中等题.2121、（1 1）（2 2）ABC2 3.3【解析】【解析】试题分析：试题分析：（1 1）本问考查解三角形中的的本问考查解三角形中的的“边角互化边角互化”.”.由于求由于求 的值，的值，所以可以考虑到根据余弦定理将所以可以考虑到根据余弦定理将分别用边表示，分别用边表示，再根据正弦定理可以将再根据正弦定理可以将转化为转化为，于是可以求出于是可以求出 的值；的值；（2 2）首先根据首先根据求出角求出角 的的值，值，根据第根据第（1 1）问得到的问得到的 值，值，可以运用正弦定理求出可以运用正弦定理求出又因为角又因为角 的值已经得到，所以将的值已经得到，所以将外接圆半径外接圆半径，于是可以将于是可以将转化为转化为，转化为关于转化为关于 的正弦型函数表达式，这样就可求出取值范围；另外的正弦型函数表达式，这样就可求出取值范围；另外，求出，求出的最大值，当然，此时还要注的最大值，当然，此时还要注本问也可以在求出角本问也可以在求出角 的值后，应用余弦定理及重要不等式的值后，应用余弦定理及重要不等式意到三角形两边之和大于第三边这一条件意到三角形两边之和大于第三边这一条件.试题解析：试题解析：（1 1）由）由应用余弦定理，可得应用余弦定理，可得，化简得化简得（2 2）则则即即所以所以法一法一.,则则=又又法二法二因为因为由余弦定理由余弦定理得得，又因为又因为，当且仅当，当且仅当时时“”成立成立.所以所以又由三边关系定理可知又由三边关系定理可知综上综上考点：考点：1.1.正、余弦定理；正、余弦定理；2.2.正弦型函数求值域；正弦型函数求值域；3.3.重要不等式的应用重要不等式的应用.2222、（1 1）a 5，b 2；（2 2）,1【解析】【解析】（1 1）解绝对值不等式得解绝对值不等式得ba x ba，根据不等式的解集为根据不等式的解集为x 3 x 7列出方程组，列出方程组，解出即可；解出即可；（2 2）求出求出fx的图像与直线的图像与直线x 0及及y mm3交点的坐标，通过分割法将四边形的面积分为两个三角形，列出不等式，解不等交点的坐标，通过分割法将四边形的面积分为两个三角形，列出不等式，解不等式即可式即可.【详解】【详解】（1 1）由）由fx 0得：得：xb a，ba x ba，ba 3即即，解得，解得a 5，b 2.ba 7（2 2）fx5 x2 7 x,x 2的图像与直线的图像与直线x 0及及y m围成的四边形围成的四边形ABCD，A2,5，B0,3，3 x,x 2C0,m，D7m,m.过过A点向点向y m引垂线，垂足为引垂线，垂足为E2,m，则，则SABCD SABCE SAED化简得：化简得：m214m13 0，m 13（舍）或（舍）或m1.故故m的取值范围为的取值范围为,1.【点睛】【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求法，以及绝对值不等式在几何中的应用，属于中档题本题主要考查了绝对值不等式的求法，以及绝对值不等式在几何中的应用，属于中档题.1123m5m25m14.22