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高三文科数学综合练习试题高三文科数学综合练习试题一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.（1）已知集合A=x|x2=1，B=x|x(x-2)0，那么AB=（A）（B）-1（C）1（D）-1,1（2）在等比数列an中，a2=6，a3=-18，则a1+a2+a3+a4=（A）26（B）40（C）54（D）80（3）已知向量a a=(x 1,2),b b=(1,x).若a a与b b垂直，则|b b|=（A）1（B）2（C）2（D）4x2y21的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是（4）过双曲线916（A）3x+4y-15=0（B）3x-4y-15=0（C）4x-3y+20=0（D）4x-3y-20=0（5）执行如图所示的程序框图，输出的k值是（A）5（B）6（C）7（D）8是开始n=5，k=0n为偶数否n 3n 1x y 0（6）若满足条件x y 2 0的整点(x,y)恰有 9 个，其中整点是指横、纵y a坐标都是整数的点，则整数a的值为（A）3（B）2（C）1（D）0n n2k=k+1n=1是否x2ax,x 1,（7）已知函数f(x)若x1,x2R R,x1 x2，使得f(x1)f(x2)x 1,ax1,成立，则实数a的取值范围是输出 k结束（A）a 2（C）-2 a 2或a-2（8）在棱长为1 的正方体ABCD-ABC D中，若点P是棱上一点，则满足PA+PC=2的点P的个数为（A）4（B）6（C）8（D）12BBACACDD二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9）复数2i在复平面内所对应的点的坐标为.1-i22（10）若tan=2，则sin2=.（11）以抛物线y2 4x上的点(x0,4)为圆心，并过此抛物线焦点的圆的方程是.（12 已知三条侧棱两两垂直的正三棱锥的俯视图如图所示，那么此三棱锥的体积是，左视图的面积是.（13）设某商品的需求函数为Q=100-5P，其中Q,P分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性2俯视图EQ大EP于 1（其中EQQ=-P，Q是Q的导数），则商品价格P的取值范围是.EPQ1,x Q Q,（14）已知函数f(x)=则f(f(x)=_；下面三个命题中，所有真命题的序号 0,x R RQ Q.是 .函数f(x)是偶函数；任取一个不为零的有理数T，f(x+T)=f(x)对xR R恒成立；存在三个点A(x1,f(x1),B(x2,f(x2),C(x3,f(x3),使得ABC为等边三角形.三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15）（本小题满分 13 分）已知函数f(x)=sin x+sin(x-).（）求f(x)的单调递 增区间；3（）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c.已知f(A)=形状.3，a=23b，试判断ABC的（16）（本小题满分 13 分）某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是0,100，样本数据分组为0,20)，20,40)，40,60)，60,80)，80,100.（）求直方图中x的值；（）如果上学所需时间不少于1 小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校 600 名新生中有多少名学生可以申请住宿.频率/组距0.025x0.00650.003O20406080100时间(17)（本小题满分 14 分）已知菱形ABCD 中，AB=4，BAD 60（如图 1 所示），将菱形 ABCD 沿对角线BD翻折，使点C翻折到点C1的位置（如图 2 所示），点 E，F，M 分别是 AB，DC1，BC1的中点（）证明：BD/平面EMF；（）证明：AC1 BD；（）当EF AB时，求线段 AC1的长C1DCFMDA图 1BAEB图 2(18)（本小题满分 13 分）已知函数f(x)aln x 121x(aR 且a 0).（）求f(x)的单调区间；22（）是否存在实数a，使得对任意的x1,，都有f(x)0？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由.x2y23（19）（本小题满分 13 分）已知椭圆C:221 (a b 0)的右顶点A(2,0)，离心率为，O为坐ab2标原点.（）求椭圆C的方程；（）已知P（异于点A）为椭圆C上一个动点，过O作线段AP的垂线l交椭圆C于点E,D，求yPDDEAP的取值范围.OEAx参考答案一.选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.（1）C（2）B（3）B（4）D（5）A（6）C（7）A（8）B二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9）(-1,1)（10）4（11）(x-4)2+(y-4)2=255（12）22（13）(10,20)（14）132三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15）（本 小 题 满 分 13 分）解：（）f(x)=sin x+sin(x-13)=sinx+sin x-cosx32233=sin x-cosx=22由2k-骣31=3sin x-cosx 22桫3sin(x-).62 x-2k+,kZ Z，得：2k-x 2k+,kZ Z.262332,2k+)，k Z Z.所以f(x)的单调递增区间为(2k-33（）因为f(A)=3，所以23sin(A-13.所以sin(A-)=.)=62623b，5ab A-b，A=，所以B=.所以C=.2362所以ABC为直角三角形.因为0 A，所以-(16)（本小题满分 13 分）解：（）由直方图可得20 x 0.025 20 0.0065 20 0.003 2 20 1.所以x=0.0125.220=0.12.（）由直方图可知，新生上学所需时间不少于1 小时的频率为：0.003创因为600 0.12 72.所以 600 名新生中有 72 名学生可以申请住宿.(17)（本小题满分 14 分）证明：（）因为点F,M分别是C1D,C1B的中点，所以FM/BD 又FM 平面EMF，BD 平面EMF,所以BD/平面EMF（）在菱形ABCD中，设O为AC,BD的交点,则AC BDC1所以 在三棱锥C1-ABD中，FMDOEBAC1O BD,AO BD.又C1OAO O,所以BD 平面AOC1又AC1平面AOC1，所以BD AC1（）连结DE,C1E在菱形ABCD中，DA AB,BAD 60，所以ABD是等边三角形.所以DA DB因为E为AB中点，所以DE AB又EF AB，EFDE E所以AB 平面DEF，即AB 平 面DECAB C1E 因 为1 又C1E 平 面DEC1，所 以C1FMDAEBAE=EB,AB=4，BC1=AB，所以AC1 BC1 4(18)（本小题满分 13 分）解：（）f(x)的定义域为(0,).ax2af(x)x.当a 0时，在区间(0,)上，f(x)0.xx所以f(x)的单调递减区间是(0,).当a 0时，令f(x)0得x 函数f(x),f(x)随x的变化如下：a或x a（舍）.xf(x)f(x)(0,a)+a0极大值(a,)所以f(x)的单调递增区间是(0,a)，单调递减区间是(a,).综上所述，当a 0时，f(x)的单调递减区间是(0,)；当a 0时，f(x)的单调递增区间是(0,a)，单调递减区间是(a,).（）由（）可知：当a 0时,f(x)在1,)上单调递减.所以f(x)在1,)上的最大值为f(1)0，即对任意的x1,)，都有f(x)0.当a 0时，当a 1，即0 a 1时，f(x)在1,)上单调递减.所以f(x)在1,)上的最大值为f(1)0，即对任意的x1,)，都有f(x)0.当a 1，即a 1时，f(x)在1,a)上单调递增，所以f(a)f(1).又f(1)0，所以f(a)0，与对于任意的x1,)，都有f(x)0矛盾.综上所述，存在实数a满足题意，此时a的取值范围是(,0)(0,1.（19）（本小题满分 13 分）解：（）因为A(2,0)是椭圆C的右顶点，所以a 2.x2c3222 y21.又，所以c 3.所以b a c 431.所以 椭圆C的方程为4a2（）当直线AP的斜率为 0 时，|AP|4，DE为椭圆C的短轴，则|DE|2.所以|DE|1.当直线AP的斜率不为 0 时，|AP|21x.k设直线AP的方程为y k(x 2)，P(x0,y0)，则直线 DE 的方程为y y k(x2),222222由x2得.即x 4k(x 2)4 0(14k)x 16k x 16k 4 0.2 y 1 416k2.所以2 x04k218k2-2x02.所以|AP|(x02)2(y00)2(1 k2)(x02)2.4k 11k242|DE|4k214 1k21k2k 4.即|AP|.类似可求|DE|42.所以2|AP|4 1k24k21k 4k 44k21|DE|4(t24)14t215设t k 4,则k t 4，t 2.(t 2).|AP|tt2224t2154t215(t 2)，则g(t)0.所以g(t)是一个增函数.令g(t)tt2|DE|1|DE|4t21544151所以的取值范围是,+).综上，2|AP|AP|t22（20）（本小题满分 14 分）（）解：fA(1)=1，fB(1)=-1，AB 1,6,10,16.（）设当Card(XA)Card(XB)取到最小值时，X=W.（）证明：假设2W，令Y W2.那么Card(YA)Card(YB)Card(WA)1Card(WB)1 Card(WA)Card(WB).这与题设矛盾.所以2 W，即当Card(XA)Card(XB)取到最小值时，2 X.（）同（）可得：4 W且8 W.若存在a X且a A那么Card(ZA)Card(ZB)B，则令Z Xa.Card(XA)1Card(XB)1 Card(XA)Card(XB).所以 集合W中的元素只能来自A若a AB.B且a AB，同 上 分 析 可 知：集 合X中 是 否 包 含 元 素a，Card(XA)Card(XB)的值不变.综上可知，当W为集合1,6,10,16的子集与集合2,4,8的并集时，Card(XA)Card(XB)取到最小值 4.
