上海交通大学2005至2006第一学期线代数bA卷期末考试试题及答案.pdf

上海交通大学上海交通大学 20052005 至至 20062006 第一学期线代数第一学期线代数 bAbA 卷期末考试试题及答案卷期末考试试题及答案上 海 交 通 大 学线 性 代 数(B)试 卷-A A 卷卷2006-1-4姓名姓名_ _ _班级班级_ _ _学号学号_ _题号题号一二三四总分得分得分一、单项选择题一、单项选择题（每题 3 分，共 15 分）1.向量组线性无关，且可由向量组线性表示，则以下结论中不能成立的是(A)向量组(B)对任一个(C)存在一个(D)向量组线性无关；，向量组，向量组与向量组线性相关；线性无关；等价。2.设三阶矩阵(A)(C)3.设，已知伴随矩阵的秩为 1，则必有；。，则_只有 1 个特征值为 1；没有 1 个特征值为 1。；(B)；(D),是维非零实列向量,矩阵(A)(C)4.(A)(C)至少有1 个特征值为 1；(B)恰有个特征值为 1；(D)；(B)；(D)；。5.设为实矩阵，则必等价于是阶单位矩阵；(A)(C)必合同于阶单位矩阵；(B)必相似于阶单位矩阵；(D)阶单位矩阵。二、填空题填空题（每题 3 分，共 15 分）1已知则为阶方阵，。有特征值，则行列式。正定,则常数的不是的特征值，且，2.若三阶方阵3已知实二次型取值范围为_。4.已知矩阵5.设为阶方阵，则齐次线性方程组为阶实矩阵，且，是的列向量组，行列式，其伴随的通解为。，则行列式。三、计算题计算题(每题 9 分,共 54 分)1线性方程组为，问,各取何值时，线性方程组无解，有唯一解，有无穷多解？在有无穷多解时求出其通解。2.设 3 阶方阵满足方程，试求矩阵，其中，。3计算行列式，其中，4.已知实二次型=，求正交变换,化5.已知为标准形，并写出正交变换为三阶实对称矩阵，秩,是对应特征值（1）的特征向量，试求：及其特征向量；（2）矩阵，矩阵。的另一个特征值6.设的两个基，；，（1）求由基（2）已知向量(3)求在基四四、证明题证明题(每题 8 分,共 16 分)1设为条件为秩2.设为矩阵，证明：存在。的特征值互异。证明:矩阵的特征向量。的充分必要条件非零矩阵，使的充分必要的过渡矩阵，求向量在基；下的坐标；下有相同坐标的所有向量。是阶实矩阵,的特征向量都是线性代数（线性代数（B B）（）（050506061 1）期末试卷（）期末试卷（A A）参考答案）参考答案一、选择题一、选择题1.(B)2.(B)3.(C)4.(D)5.(A)二、填空题二、填空题1.；2.；3.；4.5.是的极大线性无关组；三、计算题1.当当当2.2 时，方程组有唯一解2，2，1 时，方程组无解1 时，2 3，方程组有无穷多组解,其通解为，为任意常数。，3.，。4.的矩阵，有特征值 A 对应的线性无关的特征向量与单位正交特征向量，；，于是正交变换化二次型为标准形5（1）因为即。，所以；设，由正交，得（2）设，则6.(1)设,。(2)（3）设，坐标则解得四、证明题四、证明题1设，则方程组2必要性必要性：设都是，则当，故。都是线性方程组有非零解时，由。的解。故，知的一重特征值，的对应特征值线对应特征值的特征向量，是，使，是性相关。因此，存在常数量。当故时，的特征向是对应的特征值的特征向量。的特征向量都是的特征向量。充分性：的特征值互异，相似于对角阵，即存在可逆阵，使。的特征向量都是的特征向量，故因为，所以。，