华中科技大学复变函数与积分变换试题及解答.pdf

华中科技大学复变函数与积分变换试题及解答2006.11系别_班级_学号_姓名_题号得分得分一二三四五六七八九总分评卷人一、填空题（每小题 3 分，共 24 分）1的值为，主值为.2；且所表示的平面点集是区域吗？是，单连域还是多连域？单连域。34在映射0。下，集合的像集为：.5为的1阶极点。67在处展开成 Taylor 级数的收敛半径为.。的频谱密度函数8已知。得分，其中，则评卷人二、（6 分）设a、b是实数，函数复平面解析，则分别求a、b之值，并求.在解：是复平面上的解析函数，则在平面上满足 CR 方程，即：故得分对成立，评卷人三、（8 分）验证数，并求以是z平面上的调和函为实部的解析函数，使故是调和函数。.解：（1）（2）利用 CR 条件，先求出的两个偏导数。则由故得分评卷人四、（64=24 分）计算下列各题：1解：令原式，设C为正向圆周。，则由高阶求导公式得：2，C为正向圆周。解:在C内，有本性奇点，由留数定理：原式在内将展为 Laurent 级数：故：3解：由于是偶函数，故原式则定积分可化为复积分令令则在内有 2 个简单极点与由留数定理知：故原式4解：令容易验证在上半平面有两个简单极点满足若尔当引理原式得分评卷人级数。在复平面有孤立奇异点时，与，解：（1）（2）时（3）时（4）时得分评卷人六、（6 分）试求z平面的下半平面在分式线性映射下的象区域.解：在实轴上依次取，由分式线性映射的保圆性知：故 实轴在决定了下的象区线为单位圆周，再由边界对应原理知：在得分下的象区域为评卷人。七、（8 分）求一保形映射，把区域圆内映成单位部。解：得分评卷人八、（8 分）用 Laplace 变换求解常微分方程：解：令，对方程两边求拉氏变换得：得分评卷人九、（6 分）证明题：设续，在内解析，在上连试证：当证：令时，因为在在内解析，在上连续，所以也在内解析，上连续。根据 Cauchy 积分公式有：