哈尔滨工业大学2006级代数与几何期末考试试题.pdf

哈尔滨工业大学哈尔滨工业大学 20062006 级代数与几何期末考试试题级代数与几何期末考试试题哈尔滨工业大学哈尔滨工业大学 20062006 级代数与几何期末试题级代数与几何期末试题（此卷满分 50 分）注：本试卷中阵；表示单位矩阵.、分别表示的秩，的转置矩阵、的伴随矩一、填空题（每小题一、填空题（每小题 2 2 分，共分，共 1010 分）分）1 若阶方阵2 过点的特征值为，垂直于直线，且与相似,则行列式.的直且平行于平面线方程为.3 设4若是 维欧氏空间的标准正交基，则模为 4 阶方阵，且R（A A）=3，则方程组无关的解向量.的基础解系含个线性5为坐标面上的抛物线.绕轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程二、选择题（每小题二、选择题（每小题 2 2 分，共分，共 1010 分）分）1设（A）（C）2二次型（A）；（B）；（C）是矩阵，则线性方程组；（B）；（D）有解的充分条件是【】的行向量组线性相关；的列向量组线性相关.正定的充要条件为【】；（D）.3设（A）（C）4 设与与相似且合同；（B）相似且合同；（D）与与则与【】相似且合同；相似但不合同.的特征值中,至少有【】是 4 维非零列向量,，则在（A）个；（B）个；（C）个；（D）个.5设是 3 维向量，则下列命题正确的为【】（A）如果线性相关,线性相关，则线性相关；（B）如果线性无关,则线性无关；（C）如果不能由线性表示,则线性相关；（D）如果不能由线性表示,则线性无关.三、（本题三、（本题 5 5 分）分）求过点且过直线的平面方程.四、（本题四、（本题 5 5 分）分）设向量组：.求：（1）为何值时，该向量组的秩等于.（2）求该向量组的一个极大无关组.（3）用所求的极大无关组表示其余向量.五、（本题五、（本题 5 5 分）分）当等于何值时，方程组当有无穷多解时，写出通解.六、（本题六、（本题 5 5 分）分）已知实二次型1写出的矩阵；2求正交变换3方程七、（本题七、（本题 5 5 分）分），将无解，有唯一解，有无穷多解？，化为标准形，并写出所用的正交矩阵；表示空间直角坐标系中何种二次曲面.设阶矩阵正定，是任意维非零列向量.证明：秩.八、（本题八、（本题 5 5 分）分）设是阶矩阵，的特征值都不是是的特征多项式.证明:矩阵可逆的充分必要条件为的特征值.参考答案参考答案一、填空题一、填空题1、二、选择题二、选择题.2、.3、.4、.5、.1、A.2、D.3、B.4、C.5、C.三、解：三、解：因为所以故所求的平面方程为.四、四、解：解：因为所以（1）（2）（3）时该向量组的秩等于;为向量组的一个极大无关组;.五、解：五、解：因为所以（1）当（2）当且时，时，此方程组有唯一解；，此方程组无解；（3）当时，此方程组有无穷多解；为任意常数.六、解：六、解：1的矩阵为.2（1）知特征值为.（2）对，解.得的属于特征值的特征向量为，标准正交化得：对，解.得的属于特征值的特征向量为.，标准正交化得：.（3）令则正交变换3方程使二次型化为标准形为正交阵.,，即表示空间直角坐标系中的旋转单叶双曲面.七、七、证：证：因为又因为正定，所以也正定，则故秩八、证法八、证法 1 1：设.是矩阵的特征值，则所以可逆证法证法 2 2：必要性：必要性设是方阵的特征值,设是方阵的特征值,不妨设的特征值.都不是的特征值.反证法反证法 如果存在一个而又是的特征值也是的特征值.则所以可逆故可逆一定有充分性充分性反证法反证法如果不可逆,则由的特征值都不是的特征值.,而与矛盾.,知,右端至少存在一个行列式等于零,不妨设为即说明方阵的特征值中至少有一个也是的特征值.所以,如果方阵的特征值都不是的特征值.则矩阵可逆.