平面向量的数量积第二课时教案.pdf
教案教案：平面向量的数量积第二课时平面向量的数量积第二课时教学目的：教学目的：1 掌握平面向量数量积运算规律；2 能利用数量积的 5 个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；3 掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题教学重点：教学重点：平面向量数量积及运算规律教学难点：教学难点：平面向量数量积的应用授课类型：授课类型：新授课课时安排：课时安排：1 课时教教具具：多媒体、实物投影仪内容分析内容分析：启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质 教学过程教学过程：一、复习引入：一、复习引入：1两个非零向量夹角的概念 已知非零向量a与b，作OAa，OBb，则（）叫a与b的夹角2平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角是，则数量|a|b|cos叫a与b的数量积，记作a b，即有a b=|a|b|cos，（）并规定0与任何向量的数量积为 0C3“投影”的概念：作图定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为 0；当=0时投影为|b|；当=180时投影为|b|4向量的数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积5两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量1ea=ae=|a|cos；2abab=03当a与b同向时，ab=|a|b|；当a与b反向时，ab=|a|b|特别的aa=|a|2或|a|aa ab4cos=；5|ab|a|b|a|b|6判断下列各题正确与否：1若a=0，则对任一向量b，有ab=0()2若a0，则对任一非零向量b，有ab 0()3若a0，ab=0，则b=0()4若ab=0，则a、b至少有一个为零()5若a0，ab=ac，则b=c()6若ab=ac，则b=c当且仅当a0时成立()7对任意向量a、b、c，有(ab)ca(bc)()8对任意向量a，有a2=|a|2()二、讲解新课：二、讲解新课：平面向量数量积的运算律1交换律：ab=ba证：设a，b夹角为，则ab=|a|b|cos，ba=|b|a|cosab=ba2数乘结合律：(a)b=(ab)=a(b)证：若 0，(a)b=|a|b|cos，(ab)=|a|b|cos，a(b)=|a|b|cos，若 0，(a)b=|a|b|cos()=|a|b|(cos)=|a|b|cos，(ab)=|a|b|cos，a(b)=|a|b|cos()=|a|b|(cos)=|a|b|cos3分配律：(a+b)c=ac+bc在平面内取一点 O，作OA=a,AB=b，OC=c，a+b（即OB）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即|a+b|cos=|a|cos1+|b|cos2|c|a+b|cos=|c|a|cos1+|c|b|cos2 c(a+b)=ca+cb即：(a+b)c=ac+bc说明：（1）一般地，(ab)ca（bc）ab（2）acbc，c0（3）有如下常用性质：aa，（ab）（cd）acadbcbd(ab)aabb三、讲解范例：三、讲解范例：例例 1 1 已知a、b都是非零向量，且a+3b与 7a 5b垂直，a 4b与 7a2b垂直，求a与b的夹角22解：由(a+3b)(7a 5b)=0 7a+16ab15b=022(a 4b)(7a 2b)=0 7a 30ab+8b=02两式相减：2ab=b22代入或得：a=b2abb12=60设a、b的夹角为，则 cos=2|a|b|2|b|例例 2 2 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和 解：如图：ABCD 中，AB DC，AD BC，AC=AB AD 2 2 2 2|AC|=|AB AD|AB AD 2ABAD 而BD=AB AD 2 2 2 2|BD|=|AB AD|AB AD 2ABAD 2 2 2 2 2 2 2 2|AC|+|BD|=2AB 2AD=|AB|BC|DC|AD|例例 3 3 四边形ABCD中，ABa，BCb，CDc，DAd，且abbccdda，试问四边形ABCD是什么图形?分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量解：四边形ABCD是矩形，这是因为：一方面：abcd0 0，ab（cd），(ab)（cd）即a abb c cdd由于abcd，a b c d 同理有a d c b ac由可得，且bd即四边形ABCD两组对边分别相等四边形ABCD是平行四边形另一方面，由abbc，有b（ac），而由平行四边形ABCD可得ac，代入上式得b(2a)即ab，ab也即ABBC综上所述，四边形ABCD是矩形 评述：(1)在四边形中，AB，BC，CD，DA是顺次首尾相接向量，则a其和向量是零向量，即bcd0，应注意这一隐含条件应用；(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系四、课堂练习：1 下列叙述不正确的是（）A 向量的数量积满足交换律B向量的数量积满足分配律C 向量的数量积满足结合律 Dab是一个实数2 已知|a|=6,|b|=4,a与b的夹角为，则(a+2b)(a-3b)等于（）A 72B-72 C36 D-36333|a|=3,|b|=4,向量a+b与a-b的位置关系为（）44A 平行B垂直 C夹角为 D不平行也不垂直34 已知|a|=3,|b|=4,且a与b的夹角为 150，则(a+b)5 已知|a|=2,|b|=5,ab=-3,则|a+b|=_,|a-b|=6 设|a|=3,|b|=5,且a+b与ab垂直，则 参考答案：1C 2B 3B 4+23 532335 65五、小结五、小结通过本节学习，要求大家掌握平面向量数量积的运算规律，掌握两个向量共线、垂直的几何判断，能利用数量积的5 个重要性质解决相关问题六、课后作业六、课后作业1 已知|a|=1,|b|=2,且(a-b)与a垂直，则a与b的夹角是（）A60B30 C135 D2 已知|a|=2,|b|=1,a与b之间的夹角为，那么向量ma-4b的模为（）3 A2B23 C6 D123 已知a、b是非零向量，则|a|=|b|是(a+b)与(a-b)垂直的（）A充分但不必要条件B必要但不充分条件C 充要条件 D既不充分也不必要条件4 已知向量a、b的夹角为，|a|=2,|b|=1,则|a+b|a-b|=35 已知a+b=2i-8j,a-b=-8i+16j,其中i、j是直角坐标系中x轴、y轴正方向上的单位向量，那么ab=6 已知ab、c与a、b的夹角均为 60，且|a|=1,|b|=2,|c|=3,则(a+2b-c)_7 已知|a|=1,|b|=2,(1)若ab,求ab;(2)若a、b的夹角为，求|a+b|；(3)若a-b与a垂直，求a与b的夹角8 设m、n是两个单位向量，其夹角为，求向量a=2m+n与b=2n-3m的夹角9 对于两个非零向量a、b，求使|a+tb|最小时的 t 值，并求此时b与a+tb的夹角参考答案：1D 2B 3C 421 5 63 6 117(1)-2 (2)32 (3)45 8 120 9 90七、板书设计七、板书设计（略）八、课后记及备用资料：八、课后记及备用资料：1 常用数量积运算公式：在数量积运算律中，有两个形似实数的完全平方和(差)公式在解题中的应用较为广泛即(ab)aabb，（ab）aabb上述两公式以及(ab)(ab)ab这一类似于实数平方差的公式在解题过程中可以直接应用2 应用举例例 1 已知a，b，ab，求ab，ab解：ab（ab）aabb（）ab23，（ab）（ab）a2abb2 2（3）35，ab35例 2 已知a8，b10，ab16，求a与b的夹角(精确到)bba2a解：（ab）（ab）a2ab b ，23，40
