北京交通大学2006至2007学年第一学期几何与代数B期末考试试题A.pdf

北京交通大学北京交通大学 20062006 至至 20072007 学年第一学期几何与代数学年第一学期几何与代数 B B 期末考试试题期末考试试题 A A北京交通大学北京交通大学 2006-20072006-2007 学年第一学期几何与代数学年第一学期几何与代数 B B 期末考试试卷及评分标准期末考试试卷及评分标准(A A)一填空题（本题满分 24 分，共 8 道小题，每道小题 3 分）1设矩阵，且，则_，_解：2 已知 4 阶方阵解：的行列式，所以，则行列式，所以_3设解：，则_，所以或4设是 3 阶方阵，是的伴随矩阵，则_解：5若矩阵的秩，则的值为_解：6若 4 维列向量均正交，则解：.线性无关，又，因此.非零且与_7已知实二次型取值范围为_正定,则实常数的解：,，计算得，整理得：.82007 阶行列式解：二计算题（每题二计算题（每题 8 8 分，共分，共 5656 分）分）_，所以应填：.9求过点，且与两直线与都相交的直线解：将两已知直线方程化为参数方程为设所求直线与则、和的交叉点分别为 2三点共线，即 4解得所以得的一个方向向量为，6.所求直线的方程为：.810求直线绕轴旋转一周所得的曲面方程解：设直线上有一点，显然有.旋转到达位置。由于绕轴旋转，因此，且和到轴的距离不会应为旋转而改变.因此.由于，故所求旋转曲面方程为11设四阶方阵，求解：应用数学归纳法，可以证明：12设，问当.可以由线性表示，而且表示式唯一；.可以由线性表示，但表示式不唯一 3 5 8 3 8取何值时，解：设，由此得线性方程组（）其系数行列式为.当且时，由系数行列式 4，知线性方程组（）有唯一解，因此此时向量可以由一 6.当线性表示，而且表示式唯时，方程组（）是齐次线性方程组，且其系数行列式，因此此方程组有无穷多组解，因此可以由唯一.当时，向量不能由的特征值为有特征值,设矩阵，所以线性表示，但表示式不线性表示 8，求.13已知三阶矩阵解：由三阶矩阵阵，使可以相似对角化，即存在可逆矩.2 4所以，6 814当、为何值时，线性方程组有唯一解，无解，有无穷多组解，并求出有无穷多组解时的通解解：利用增广矩阵当当时，时，2，此时，方程组有唯一解；4若若，则，则，此时，方程组无解；6，方程组无穷多组解，并且所以，此方程组的通解为 815 已知二次型求参数，以及此二次型所对应的矩阵解：令，则的特征值的秩为，再由的秩为，所以.4因此，二次型由特征方程，可得，.三应用题（每题 10 分，共 20 分）16已知是矩阵的一个特征向量.试确定参数、及特征向量所对应的特征值；.问是否相似于对角阵？说明理由解：由已知，设对应的特征向量为，则解得，.此时，由特征方程，可得.将代入齐次线性方程组，有.8 2 4 6由因此，知 8对应的线性无关的特征向量秩为.不能相似于对角阵.10，将下列二次型化成标准形：17证明：存在一个正交变换并写出标准形的形式证明：二次型的实对称矩阵为根据特征方程，3，可得，.6，使二次型化成标准形。8因此，存在正交变换得到标准形为：.10